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2012届高考数学知识点复习测试题8-T


2012 届高考数学知识点复习测试题 8 第2讲 一元二次不等式及其解法 ★ 知 识 梳理 ★ 一.解不等式的有关理论 (1) 若两个不等式的解集相同,则称它们是同解不等式; (2) 一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的同解变形; (3) 解不等式时应进行同解变形; (4) 解不等式的结果,原则上要用集合表示。 二.一元二次不等式的解集

? ?0 ? ?0 ??0
y ? ax ? bx ? c
2

y ? ax ? bx ? c
2

y ? ax ? bx ? c
2

二次函数
y ? ax ? bx ? c
2

( a ? 0 )的图 象

一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0 ?的根
ax ? bx ? c ? 0
2

有两相异实根 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )
1 2

有两相等实根 b x1 ? x 2 ? ? 2a
? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

无实根

?x x ? x 或 x ? x ?
?x x
? x ?x2?

( a ? 0 )的解集

R

ax ? bx ? c ? 0
2

( a ? 0 )的解集

1

?

?

三.解一元二次不等式的基本步骤: (1) 整理系数,使最高次项的系数为正数; (2) 尝试用“十字相乘法”分解因式;

(3) 计算 ? ? b 2 ? 4 ac (4) 结合二次函数的图象特征写出解集。

四.高次不等式解法: 尽可能进行因式分解,分解成一次因式后,再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数) 五.分式不等式的解法:分子分母因式分解,转化为相异一次因式的积和商的形式,再利用数轴标根法求解; ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单 的含参数的不等式 3.重难点: 掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数 的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解 ax ?1 问题 1. 设 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 log 2 x ?1 ax ax ax ? 2 x ? 2 ax ?1 ?0 ? ?2 由 ? 0 得:x ? 0 或 x ? 1 ? 0 , ? ? a ? 2 ? x ? 2 ?? x ? 1? ? 0 点拨:? log 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 2 2 / ? x ? 0 (3)当 0 ? a ? 2 时,x ? 讨论: (1)当 a ? 2 时,得 x ? 0 (2)当 a ? 2 时,? 或x ? 0 a?2 2?a 综上所述,所求的解为:当 a ? 2 时,解集为 ? x | x ? 0?
2 ? ? ? x ? 0? . 当 a ? 2 时,解集为 ? x | ? a?2 ? ? (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 2 ? ? / 或 x ? 0 ? 12 当 0 ? a ? 2 时,解集为 ? x | x ? 2?a ? ?

问题 2. 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? a 2 x ? 2 b ? a 3 当 x ? ( ? 2,6 ), f ( x ) ? 0, 当 x ? ( ?? , ? 2 ) ? ( 6, ?? ), f ( x ) ? 0 ,求 f ( x ) 的解析式; 点拨:据题意: x1 ? ? 2 , x 2 ? 6 是方程 ax 2 ? a 2 x ? 2 b ? a 3 ? 0 的两根

1

?? a ? ?2 ? 6 ? ? ? 2b ? a 3 ? ( ? 1) ? 6 ? 由韦达定理知: ? a

?a ? ?4 ? ?b ? ?8

故 f ( x ) ? ? 4 x ? 16 x ? 80 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
2

考点 1 一元二次不等式的解法 题型 1.解一元二次不等式 [例 1] 不等式 x 2 ? x 的解集是( A. ? ?? , 0 ? B.

) C. ?1, ?? ?

? 0,1 ?

【解题思路】严格按解题步骤进行,[解析]由 x 2

? ?? , 0 ? ? ?1, ?? ? ? x 得 x ( x ? 1) ? 0 ,所以解集为 ? ?? , 0 ? ? ?1, ?? ? ,故选 D;别解:抓住
D.

选择题的特点,显然当 x ? ? 2 时满足不等式,故选 D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型 2.已知一元二次不等式的解集求系数. 1 1 [例 2]已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) ,求 ? cx 2 ? 2 x ? a ? 0 的解集. 3 2 【解题思路】由韦达定理求系数 1 1 1 1 2 2 [解析] 由 ax ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) 知 a ? 0 , ? , 为方程 ax ? 2 x ? c ? 0 的两个根,由韦达定理得 3 2 3 2 1 1 2 1 1 c 2 2 ? ? ? ? , ? ? ? ,解得 a ? ? 12, c ? 2 ,∴ ? cx ? 2 x ? a ? 0 即 2 x ? 2 x ? 12 ? 0 ,其解集为 ( ? 2, 3) . 3 2 a 3 2 a 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数 【新题导练】 1.不等式( a -2) x 2+2( a -2) -4<0,对一切 x ∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-∞,2) 解析:∵



可推知-2<a<2,另 a=2 时,原式化为-4<0,恒成立,∴-2<a≤2. 选 B <x<2},则 m 的取值范围是

2. 关于 x 的不等式( m x -1)( x -2)>0,若此不等式的解集为{ x | A. m >0 B.0< m <2 C. m >

D. m <0

解析:由不等式的解集形式知 m<0. 答案:D 考点 2 含参数不等式的解法 题型 1:解含参数有理不等式 2 例 1:解关于 x 的一元二次不等式 x ? (3 ? a ) x ? 3 a ? 0 【解题思路】比较根的大小确定解集
2 解析:∵ x ? (3 ? a ) x ? 3 a ? 0 ,∴ ? x ? 3 ? ? x ? a ? ? 0

⑴当 a ? 3时 , x ? a或 x ? 3 ,不等式解集为 ? x x ? a 或 x ? 3? ; ⑵当 a ? 3 时,不等式为 ? x ? 3 ? ? 0 ,解集为 ? x x ? R 且 x ? 3? ;
2

⑶当 a ? 3时 , x ? 3或 x ? a ,不等式解集为 ? x x ? 3或 x ? a ? 【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于 0,小于 0,等于 0);②根据根的判别 式讨论( ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ).③根据根的大小讨论( x1 ? x 2 , x1 ? x 2 , x1 ? x 2 ). 题型 2:解简单的指数不等式和对数不等式 例 2. 解不等式 loga(1-
1 x

)>1

( a ? 0, a ? 1)

【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
? ?1 ? ? 解析(1)当 a>1 时,原不等式等价于不等式组 ? ?1 ? ? ? 1 x 1 x ?0 ?a

2

由此得 1-a>

1 x

1? a 1 ? ?1 ? x ? 0 ? (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于不等式组: ? ?1 ? 1 ? a ? x ?

.因为 1-a<0,所以 x<0,∴

1

<x<0. ① ②
1 1? a

由 ①得 x>1 或 x<0,由②得 0 <x< 综上,当 a>1 时,不等式的解集是{x|

1 1? a 1

,∴1<x<

.
1 1? a

1? a

<x<0 } ,当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|1<x<

}.

【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解,当 底数含参数时要进行分类讨论. 【新题导练】 3.关于 x 的不等式 63 x 2 ? 2 mx ? m 2 ? 0 的解集为( ) m m m m m m A. ( ? , ) B. ( , ? ) C. ( ?? , ? ) ? ( , ?? ) D.以上答案都不对 9 7 7 9 9 7 m m 解析:原不等式可化为 ( x ? )( x ? ) ? 0 ,需对 m 分三种情况讨论,即不等式的解集与 m 有关. 9 7 2 4.解关于 x 的不等式: ax ? 2 ( a ? 1) x ? 4 ? 0 解析: ( ax ? 2 )( x ? 2 ) ? 0 当a ?1? 2 ?
2 2? 2 a ? 2 ( a ? 1) a

? 2 ? ? ?x | ? x ? 2? ; a ? a ?

当0 ? a ? 1 ? 2 ?

2? ? ? ?x | 2 ? x ? ?, a? a ?
2

2 ? ? 当 a ? 0 ? ( ? ax ? 2 )( x ? 2 ) ? 0 ? ? x | x ? 或 x ? 2 ? a ? ? 5. 考点 3 分式不等式及高次不等式的解法

a ? 0 ? x ? 2; a ? 1 ? x ? ?

x -1 1 4 2 2 2 [例 5] 解不等式: ( x ? 1)( x ? 6 x ? 8) ? 0 【解题思路】先分解因式,再标根求解 [解析]原不等式 ? ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下: 所以不等式的解集为 ( ?? , ? 1] ? [1, 2] ? [4, ?? ) . 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】 x?a ? 0 的解集是 ( ? 3, ? 1) ? (2, ?? ) ,则 a 的值为_______ 5.若关于 x 的不等式 ( x ? 3)( x ? 1) 解析:原不等式 ? ( x ? a )( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,结合题意画出图可知 a ? ? 2 . 6. 解关于 x的不等式 解:①若 0 ? a ? ②若 a ? ③若 a ?
5 ?1 2

( a ? 1) x ? 1
2

ax ? 1

? x (a ? 0)
(?
5 2

5 ?1 2

,则原不等式的解集为
( 1?

1 1? 5 1? 5 , )?( , ?) ; ? a 2 2

,则原不等式的解集为

, ?) ; ?

5 ?1 2

,则原不等式的解集为

(

1? 2

5

, ?

1 a

)?(

1? 2

5

, ?) ?
x?2

7.( 广东省深圳中学 2008—2009 学年度高三第一学段考试)解不等式 x
?2 ?2 ?( ) ? 2 2 考点 4 简单的恒成立问题 题型 1:由二次函数的性质求参数的取值范围

1 4?2 x ?( ) ? 2 5 6

2. 5 6 }

.解析:? 2

x?2

1

1
4?2 x

1

x?2

2 x?4

?2

2

即2

3x?2

? 22 得x ?

所以原不等式的解集为 { x | x ?

3

例 1.若关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解 [解析]当 a ? 0 时,不等式 2 x ? 2 ? 0 解集不为 R ,故 a ? 0 不满足题意; ?a ? 0 1 1 当 a ? 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 ? 2 ,解得 a ? 综上,所求实数 a 的取值范围为 ( , ?? ) 2 2 ?2 ? 4 ? 2a ? 0
?a ? 0 ?a ? 0 ? 【名师指引】不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 恒成立 ? ? b ? 0 或 ? 2 ? ? ? b ? 4 ac ? 0 ?c ? 0 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? 不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 ? ? b ? 0 或 ? 2 ? ? ? b ? 4 ac ? 0 ?c ? 0 ? 题型 2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围 【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.

[解析] (1)设 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0) .由 f (0) ? 1 得 c ? 1 ,故 f ( x ) ? ax ? bx ? 1 .
2 2

∵ f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x

∴ a ( x ? 1) ? b ( x ? 1) ? 1 ? ( ax ? bx ? 1) ? 2 x
2 2

即 2 ax ? a ? b ? 2 x ,所以 2 a ? 2, a ? b ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ? 1
3 2 5 4

∴ f ( x) ? x ? x ? 1
2

2 2 (2)由(1)知 x ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 [ ? 1,1] 恒成立,即 m ? x ? 3 x ? 1 在 [ ? 1,1] 恒成立.

令 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? ( x ?
2

) ?
2

,则 g ( x ) 在 [ ? 1,1] 上单调递减.所以 g ( x ) 在 [ ? 1,1] 上的最大值为 g (1) ? ? 1 .所

以 m 的取值范围是 ( ?? , ? 1) . 【名师指引】 m ? f ( x ) 对一切 x ? R 恒成立,则 m ? [ f ( x )]min ; m ? f ( x ) 对一切 x ? R 恒成立,则 m ? [ f ( x )]max ; 【新题导练】 2 2 8.不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______.
2 2 [解析]:不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ? R 恒成立, 即 ( a ? 2 ) x ? 4 x ? a ? 1 ? 0

2

对一切 x ? R 恒成立

若 a ? 2 =0,显然不成立 9.若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x?(0, A.0 B. –2
1 2

?a ? 2 ? 0 若 a ? 2 ? 0,则 ? ?? ? 0

∴a ? 2 ( )

)成立,则 a 的取值范围是 C.a 2
5 2

D.-3
a 2

解析:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= - 有 f(
1 2

,若 -

?

1 2

,即 a?-1 时,则 f(x)在〔0,
1 2

1 2

〕上是减函数,应

)?0?-
a

5 2

?x?-1

若-

a 2

?0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0,
a 2

〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0
5 2

若 0? -

2 2 ★ 抢 分 频 道 ★
2

?

1

,即-1?a?0,则应有 f( -

)=

a

2



a

2

4

2

+1 =1 -

a

2

4

? 0 恒成立,故-1?a?0. 综上,有-

?a,故选 C .

基础巩固训练 1. 不等式 ? x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是__________
2 解析:将不等式转化成 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,即 ? x ? 1 ? ? x ? 6 ? ? 0 .] 2 2 2. 若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 { x | 2 ? x ? 3} ,则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为 __________.

1? ? 1 2 2 .解析:先由方程 x ? ax ? b ? 0 的两根为 2 和 3 求得 a , b 后再解不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 .得 ? ? , ? ? 3? ? 2

3. (广东省五校 2008 年高三上期末联考) 若关于 x 的不等式 g ( x ) ? a ? a ? 1( x ? R ) 的解集为空集,则实数 a 的取值 范围是 .
2
2 解析: g ( x ) ? a ? a ? 1( x ? R ) 的解集为空集,就是 1= [ g ( x ) ]max< a ? a ? 1

2

所以 a ? ( ?? , ? 1) ? (0, ?? )

4

a ) 的定义域为 R;命题 q:不等式 1 ? 2 x ? 1 ? ax 对一切正实数均 16 成立。如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围。 1 2 a ) 定义域为 R ? 解:命题 P 为真命题 ? 函数 f ( x ) ? lg( ax ? x ? 16 a?0 ? 1 ? 2 1 2 ? a?2 ax ? x ? a ? 0 对任意实数 x 均成立 ? a ? 0时 ? x ? 0 解集为 R,或 ? ∴ 命题 P 为真命 1? a ? 0 16 ? 4 ? 题? a ? 2

4(08 梅州)设命题 P:函数 f ( x ) ? lg( ax ? x ?
2

1

5.解关于 x 的不等式 原不等式即

k (1 ? x )

? 0, x?2 1°若 k=0,原不等式的解集为空集; 2?k 1? k )( x ? 2 ) ? 0 ,

x?2 (1 ? k ) x ? k ? 2

? 1 ? 0 (k≥0,k≠1).

2°若 1-k>0,即 0<k<1 时,原不等式等价于 ( x ? 此时
2?k 1? k

-2=

2?k 1? k

>0,
2?k 1? k

∴若 0<k<1,由原不等式的解集为{x|2<x<

};
2?k

3°若 1-k<0,即 k>1 时,原不等式等价于 ( x ?

)( x ? 2 ) ? 0 , 1? k 2?k 2?k 此时恒有 2> ,所以原不等式的解集为{x|x< ,或 x>2}. 1? k 1? k

综合拔高训练 6.. 已知a>0,且a≠1,解关于 x 的不等式:? 1 x x ? log 2 ( a ? 1) ? log 4 ( 4 ? a ). 2 解:原不等式等价于 1 1 x x x x ? log 2 ( a ? 1) ? log 2 ( 4 ? a ),1 ? 2 log 2 ( a ? 1) ? log 2 ( 4 ? a ) 2 2 x 2 x log 2 [( a ? 1) ? 2 ] ? log 2 ( 4 ? a )

?a x ? 1 ? 0 (1) ? x 原不等式同解于 ? 4 ? a ? 0 7 分? (2) ? x 2 x ? 2 ( a ? 1) ? 4 ? a ( 3) x 由①②得1<a <4,? 1 x 2 x x 由③得 2 ( a ) ? 3 a ? 2 ? 0 , ? ? a ? 2 2 x 从而 1<a ≤2 10分?
①当a>1 时,原不等式解为{x|0<x≤loga2

?? ?

②当0<a<1时,原不等式解为{x|loga2≤x<0

6.(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3000 元,为了 增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农 民进入加工企业工作,据估计,如果有 x(x>0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为 3000a 元(a>0) 。 (I)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (II)在(I)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民的人均年收入达到最大。 解: (I)由题意得(100-x)· 3000· (1+2x%)≥100×3000,

5

即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50, 又∵x>0 ∴0<x≤50; (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, (100-x)× 3000× (1+2x%)+3000ax -60x2+3000(a+1)x+300000 则 y= = 100 100 3 2 2 =- [x-25(a+1)] +3000+475(a+1) (0<x≤50) 5 (i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大; (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增,∴当 x=50 时,y 取最大值 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a +1)万人进入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人进入企业工作,才能使这 100 万人的人均 年收入最大 7.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c , ( a , b , c ? R ) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x ) ? x ,且当 x ? (1,3)时,有
2

8 (1)证明: f ( 2 ) ? 2 ; (2)若 f ( ? 2 ) ? 0 , f ( x ) 的表达式;

f ( x) ?

1

( x ? 2 ) 成立。
2

(3)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 实数 m 的取值范围。

m 2

x , x ? [ 0 , ?? ) ,若 g ( x ) 图上的点都位于直线 y ?

1 4

的上方,求

解析: (1)由条件知 f ( 2 ) ? 4 a ? 2 b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f ( 2 ) ? 4 a ? 2 b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .
? 4 a ? 2b ? c ? 2 (2)∵ ? ? 4 a ? 2b ? c ? 0
2

1 8

( 2 ? 2 ) ? 2 与恒成立,
2

∴ 4 a ? c ? 2 b ? 1, ∴ b ?

1 2

,

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x ) ? x 恒成立,即 ax ? ( b ? 1) x ? c ? 0 恒成立. ∴ a ? 0, ? ? ( 解出: a ?
1

1 2

? 1) ? 4 a (1 ? 4 a ) ? 0 ,
2

8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2

,b ?

1

,c ?

1

,

(3)由分析条件知道,只要 f ( x ) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ?
1 2 1 1 ? ?y ? 8 x ? 2 x ? 2 ? 于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: ? ?y ? m x ? 1 ? 2 4 ?

m 2

x?

1 4

上方即可,也就是直线的斜率

m 2



∴ m ? ( ?? ,1 ? 解法 2: g ( x ) ?
2

2 2 1
8

).
2

x ?(

1 2

?

m 2

)x ?

1 2

?

1 4

在 x ? [ 0 , ?? ) 必须恒成立,

即 x ? 4 (1 ? m ) x ? 2 ? 0 在 x ? [ 0 , ?? ) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2

? m ?1?

2 2

;

?? ? 0 ? ② ? ? 2 (1 ? m ) ? 0 ? f (0) ? 2 ? 0 ?

解出: m ? 1 ?

2 2

.

总之, m ? ( ?? ,1 ?

2 2

).

6


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