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广东省佛山市高明区第一中学2015届高三上学期第二次段考数学(理)试题


高明区第一中学 2015 届高三第二次段考 数学(理科)试题
2014-10-25 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

??? ? ??? ? ??? ? 1.若向量 BA ? ? 2,3? , CA ? ? 4,7 ? ,则 BC ? (
A. ? ?2, ?4 ? B. ? 2, 4 ?

) C. ? 6,10 ? D. ? ?6, ?10 ? )

2. 函数周期为 ? ,其图像的一条对称轴是 x ?

?
3

,则此函数的解析式可以是(

?? ? A.y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

?? ?? ? ? ?x ?? B.y ? sin ? 2 x ? ? C.y ? sin ? 2 x ? ? D.y ? sin ? ? ? 6 3? ? ? ?2 6? ?
3,1) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? (
C. 2 3 ) D. 2 7

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? (

A.2

B. 7

4.已知

? x) ? sin(? ? x) 3? 2 ? 2 ,则 tan( x ? ) 的值为 cos( ? x) ? sin( 2? ? x) 4 1 A. 2 B. ? 2 C. 2 sin(
x y 6 2 8 3 10 5 12 6

?



) D. ?

1 2

5.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
的值为 0.7 ,则记忆力为 14 的同学的判断力约为(
? ?

?

)

? ?a ? ? bx ? 中, a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均值) (附:线性回归方程 y
A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5 6.在 《爸爸去哪儿》 第二季第四期中, 村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已 知:①食物投掷地点有远、近两处; ②由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务, 但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻 任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处。则不同的搜寻方案有( ) A.40 种 B.70 种 C.80 种 D.100 种
1

7.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四 位数的个数为( ) A.300 B.216 C.180 D.162
( 网

8. 设 向 量

a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 :

1 ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 2 6
y ? cos x 的图象上运动,点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n (其
中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 在区间 [ A.2 (一)必做题(9~13 题)
n * 9.若二项式 ( ? 2 x ) n ? N 的展开式中的第 5 项是常数项,则 n=_______.

? ?

, ] 上的最大值是( 6 3
C. 2 3

) D. 4

B. 2 2

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分

1 x

?

?

10 错误!未指定书签。 .由数字 0 、1、 2 、 3 、 4 组成无重复数字的五位数,其中奇数有

个. 11. 已 知 cos? ?

1 13 π , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? 则 7 14 2,

D E

C

cos ? ?



12.如右图,在四边形 ABCD 中, DC ?

???? 1 ??? ?
3

AB , E 为 BC 的中点,且

A

B

??? ?

AE ? x ? AB ? y ? AD ,则 3 x ? 2 y ? _______.

??? ?

??? ?

?
13.某学生在参加政、史、地三门课程 的学业水平考试中,取得 A 等级的概 率分别为

0
6 125

1
a

2

3
24 125

P

b

4 3 2 、 、 , 且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立.记 ? 为该生取得 A 等 5 5 5

级的课程数,其分布列如表所示,则数学期望 E? 的值为______________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)

2

1 ? x?t? ? ? t ( t 为参 14.(参数方程与极坐标)已知在直角坐标系中曲线 C1 的参数方程为 ? ? y ? t2 ? 1 ? t2 ?
数且 t ? 0 ) ,在以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C2 的极坐 标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为__________.

15.(几何证明选讲)如图, PT 切圆 O 于点 T , PA 交圆 O 于

A、 B 两 点 , 且 与 直 径 CT 交 于 点 D , 若

C D ? 2,

A ? D , 3

B?,则 D 6 PB ? ___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 图象时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的

x
?x ? ?
A sin(?x ? ? )

x1
0 0

1 3

x2
?
0

7 3

x3
2?
0

?
2
3

3? 2
? 3

(1)请写出上表的 x1 、 x2 、 x 3 ,并直接写出函数的 解析式; (2)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函 3

数 g ( x) 的图象,P 、Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点 和最低点(如图) ,求 ?OQP 的大小.

17.(本小题满分 12 分) 已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球, 其中白球 2 个, 黑球 4 个. 现从
3

中随机取球,每次只取一球. (1)若每次取球后都放回 袋中,求事件“连续取球四次,至少两次取得白球”的概率; .. (2) 若每次取球后都不 放回 袋中, 且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏, . .. 记游戏结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望. 18.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 向量 m ? ?cos? A ? B ?, sin ? A ? B ?? ,
? ? 3 n ? ?cos B,? sin B ? ,且 m? n ? ? . 5 (1)求 sin A 的值;

?

?

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 BA 在
?? ?

?? ?

BC 方向上的投影.

19.(本题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底面

ABCD 是直角梯形, AB / / CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .
(1) 求证: BE / / 平面 PAD ; (2) 求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (3) 设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? . 20. (本小题满分 14 分) (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n ? 4n ? 4, n ? N 。

??? ?

??? ?

?

?

?1, n ? 1 ? 1 2 3 n (2)数列 ?bn ? 中,令 bn ? ? a ? 5 , Tn ? b1 2 ? b2 2 ? b3 2 ???? ? bn 2 ,求 Tn ; n ,n ? 2 ? ? 2 (3)设各项均不为零的数列 ?c n ?中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数 4 列 ?c n ?的变号数。令 cn ? 1 ? ( n 为正整数) ,求数列 ?c n ?的变号数. an
21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? 4 x , 过点 M (0,2) 的直线与抛物线交于 A, B 两点, 且直线与 x 轴交
2

于点 C (1)求证: MA , MC , MB 成等比数列;
4

(2)设 MA ? ? AC, MB ? ? BC 试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;若 不是,请说明理由.

??? ?

??? ? ????

??? ?

高明区第一中学2015届高三第二次段考 数学(理科)答题卷
一.选择题(本题共8小题,每题5分,共40分) 题号 答案 二.填空题(本题共6小题,每题5分,共30分) (一)必做题 姓名 9. 。 10. 。 11. 。12. 。13. 。 (二)选做题 14. 。15. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 解:

1

2

3

4

5

6

7

8

2015
学号

线











17. (本小题满分 12 分) 解:

班 高三





5

18. (本小题满分 14 分) 解:

19. (本题满分 14 分) 解: ,

6

20. (本小题满分 14 分) 解:

7

21. (本小题满分 14 分) 解:

8

高明区第一中学 2015 届高三第二次段考 数学(理科)试题答案
一、选择题: 1.A 二、填空题: 9.6 10.36 11. 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A. 7.C 8.D

1 . 2

12.1

13.

9 5

14. (2, 2)

15.15

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

2 10 4 , x2 ? , x3 ? ………………………………………3 分 3 3 3 ? ? 所以f ( x) ? 3sin( x ? ) ………………………………………………6 分 2 3 ? 2 (2)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g ( x ) ? 3 sin x ……7 分 3 2 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) ………8 分
解: (1) x1 ? ? 所以 OP ? 2, PQ ? 4, ……………………………………9 分

OQ ? 12, ……………………………………………………10 分

? cos? ?
所以 ? ?

OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 3 ……………………………11 分 ? 2OQ ? QP 2

?
6

…………………………………12 分

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o

??? ? ???? QP ? QO (?2, 2 3) ? (?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? , 所以? =30o 。 ? ???? ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO
17..(本小题满分 12 分) 解: (1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”( i ? N ) ,事件 B 表示“连续取球四次,至少
*

两次取得白球”,则: B= A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 ……2 分

P B ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4

? ?

?

? ?

? ?
9

? ?

? ?

?

16 ?4? 2 ? 4? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 27 ?6? 6 ?6?
11 ? P ? B? ?1 ? P B ? 27

4

3

……4 分 ……5 分

? ?

或者:记随机变量 ? 表示连续取球四次,取得白球的次数. 易知 ? ~B ? 4, ?
0 4 1 3

? ?

1? 3?

……2 分

11 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? 则 P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? 1 ? C ? ? ? ? ? C4 …5 分 ? ?? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 27
0 4

(2)易知:随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5

……6 分

? P ? X ? 2? ?

2 C2 1 ? , 2 C6 15

P ? X ? 3? ?

1 1 C2 C4 1 2 ? ? 2 C6 4 15

1 2 C2 C 1 1 P ? X ? 4? ? 3 4 ? ? , C6 3 5

P ? X ? 5? ? 1 ?

1 2 1 3 ? ? ? ……10 分 15 15 5 5
4 5

∴随机变量 X 的分布列为: X P 2 3

1 15

2 15

1 5

3 5
……11 分 ……12 分

∴随机变量 X 的期望为: EX ? 2 ? 18.(本题满分 14 分)

1 2 1 3 13 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 15 15 5 5 3

3 3 ,得 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , ………2 分 5 5 3 ? cos ? A ? B ? B ? ? ? , 5 3 ……………4 分 ? cos A ? ? . 5
解:(1)由 m ? n ? ?

?? ?

4 ? 3? ? 0 ? A ? ? ?sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? 5 ? 5?
2

2

……………6 分

10

4 5? a b b sin A 5= 2 ? ? (2)由正弦定理,有 , ? sin B ? sin A sin B a 2 4 2
? a ? b ,? A ? B ,
由余弦定理,有 4 2

……………8 分

?B ?
2 2

?
4
2

……………10 分

?

? =5 +c

? 3? ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? c ? 1 或 c ? ?7 (舍去) …12 分 ? 5?

故向量 BA 在 BC 方向上的投影为

??? ?

??? ?

??? ? 2 2 BA cos B ? c cos B ? 1? ? ……………14 分 2 2
19.(本题满分 14 分) 解:令 PD 中点为 F ,连接 EF , ??? 1 分

P E H C

F D

? 点 E , F 分别是 ?PCD 的中点,

1 CD ,? EF // AB . 2 ? 四边形 FABE为平行四边形 ??? 2 分 ? BE / / AF , AF ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD
? EF //
(三个条件少写一个不得该步骤分) ??? 3 分

A

B

? BE // 面PAD

??? 4 分

(2)在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BH ? CD 于 H ,
0 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1 ,??BCH ? 45 . ???5 分

又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1 ,??ADB ? 45 ,
0

??BDC ? 450 ,??DBC ? 900

? BC ? BD

??? 6 分

? 面 PCD ? 面 ABCD ,面 PCD ? 面 ABCD ? CD , PD ? CD , PD ? 面 PCD , ?PD ? 面 ABCD , ??? 7 分 ? PD ? BC , BD ? PD ? D , BD ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD ? BC ? 平面 PBD , ??? 8 分 BC ? 平面 PBC , ? 平面 PBC ? 平面 PBD ??? 9 分
11

(3)以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . ??? 10 分 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,? PQ ? ? PC , Q ? 0, 2?,1 ? ? ? .

??? ?

??? ?

??? ? ? ? BC ? 平面 PBD , ? BC 即平面 PBD 的法向量 n ? ? ?1,1,0? ?? 11 分
设面 QBD 的法向量为 m ? ? x, y, z ?

??

z
P

?? ??? ? ?x ? ? y ?m ? DB ? 0 ? ? 则 ? ?? ???? ,即 ? 2? . z ? y m ? DQ ? 0 ? ? ? ? ?1 ?

Q D C

?? ? 2? ? 令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1, ? ?1 ? ? ?
0

y
B

??? 12 分

? 二面角 Q ? BD ? P 为 45 , ?? ? ?? ? m?n 2 2 ? cos m, n ? ?? ? ? ? ,解得 ? =-1 ? 2 ??? 13 分 2 2 m n ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ? ? Q 在 PC 上,? 0 ? ? ? 1 ,? ? = 2 ? 1为所求 ??? 14 分
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)? Sn ? n2 ? 4n ? 4 ,∴ S1 ? 1 ………………………1 分 又当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 ………………………3 分 所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? ?

x

A

[来源:学科网 ZXXK]

?1, n ? 1 ? ……………………………4 分 ? ?2n ? 5, n ? 2

?1, n ? 1 ? (2)∵ bn ? ? a ? 5 ,∴ bn ? n ,…………………5 分 n ,n ? 2 ? ? 2 Tn ? 1? 2+2 ? 22 +3? 23 +?+n ? 2n ………………………………6 分

2Tn ? 1? 22 +2 ? 23 +3? 24 +?+(n-1) ? 2n +n ? 2n?1 ,∴ Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 ……9 分
(3)解法一:由题设
12

?? 3, n ? 1 ? ……………………………………………………10 分 cn ? ? 4 1? ,n ? 2 ? ? 2n ? 5 4 4 8 ? ? ? 0, ∵ n ? 3 时, c n ?1 ? c n ? 2n ? 5 2n ? 3 ?2n ? 5??2n ? 3? ∴ n ? 3 时,数列 ?c n ?递增………………………………………………12 分 4 1 ? 0 ? n ? 5 ,可知 C4 ? C5 ? 0 ,即 n ? 3 时,有且只有1 ∵ C4 ? ? ? 0 ,由 1 ? 2n ? 5 3
个变号数; 又∵ c1 ? ?3, c2 ? 5, c3 ? ?3 ,即 c1 ? c2 ? 0, c2 ? c3 ? 0 ,∴此处变号数有 2 个.…13 分 综上,数列 ?c n ?共有 3 个变号数,即变号数为 3 。…………14 分

?? 3, n ? 1 ? 解法二:由题设 c n ? ? …………………………10 分 4 1? ,n ? 2 ? ? 2n ? 5 n ? 2 时,令 2n ? 9 2n ? 7 3 5 7 9 c n ? c n ?1 ? 0 ? ? ? 0 ? ? n ? 或 ? n ? ? n ? 2或n ? 4 ;又 2n ? 5 2n ? 3 2 2 2 2 ∵ c1 ? ?3, c2 ? 5 ,∴ n ? 1 时也有 c1 ? c2 ? 0 .……………13 分 综上得:数列 ?c n ?共有 3 个变号数,即变号数为 3 。 ………14 分
21. (本小题满分 14 分) 解:(1)证明:设直线的方程为: y ? kx ? 2(k ? 0) , 联立方程可得 ? ………1 分 ………2 分

? y ? kx ? 2
2 ? y ? 4x

得 k x ? ? 4k ? 4? x ? 4 ? 0 ①
2 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( ?

2 4 ? 4k 4 , 0) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 ,②……3 分 2 k k k

MA ? MB ? 1 ? k 2 x1 ? 0 ? 1 ? k 2 x2 ? 0 ?
而 MC ? ( 1 ? k ?
2
2

4(1 ? k 2 ) ,………5 分 k2

2

2 4(1 ? k 2 ) ,………6 分 ? 0 )2 ? k k2

∴ MC ? MA ? MB ? 0 ,即 MA , MC , MB 成等比数列. ………7 分 (2)由 MA ? ? AC, MB ? ? BC ,得

??? ?

??? ? ????

??? ?

2 2 ( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? 2) ? ? (? x2 ? ,? y2 ) ,………8 分 k k
13

即得: ? ?

?kx1 ?kx2 ,………10 分 ,? ? kx1 ? 2 kx2 ? 2

则? ? ? ?

?2k 2 x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ………11 分 k 2 x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4

由(1)中②代入得 ? ? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为-1.………14 分

14



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