tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)


J3 参数方程和极坐标系
一、 知识要点
(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )

并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线 的参数

方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 ○ A 、 B 是 直 线 上 任 意 两 点 , 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 tA 和 tB , 则 AB = t B ?t A =

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .○ 2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于

t A ? tB . 2

2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?
x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

( ? 为参数) (或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中心在点(x0,y0)焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 ?

? x ? x0 ? a cos ? , (?为参数) ? y ? y 0 ? b sin ? .

4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

x ? a sec? ( ? 为参数) (或 y ? btg?
(t 为参数,p>0)

x ? btg? y ? asec?



5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt

直线的参数方程和参数的几何意义 过定点 P(x0,y0) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 J3.2 极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一 个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角, 有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。 这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方 向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对应惟一点 P( ? ,? ), 但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一. 一个点可以有无数个坐标, 这些坐标又有规律可循的, P( ? ,

? x ? x 0 ? t cos? ? y ? y ? t sin ? 0 ?

(t 为参数) .

M

?
?

O

图1

x

? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径为 0,而极角任
意取.若对 ? 、? 的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对 应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴
(? , ? M )

? ? ?0
??
a cos ?

?
?

M

M

?
?

⑵ ⑶? ? ? ⑷ ⑸


?

0

O

x

O

a

图1
?
? ?
0

a O

a cos ?

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?

a sin ? a ? ?? sin ?

??

M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

⑹? ?

a cos(? ? ? )

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin ?

图6
??
a cos( ? ? ?)

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2a sin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

5、极坐标与直角坐标互化公式:

y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

例题(j3.1 参数方程)
例 1.讨论下列问题: 1、已知一条直线上两点 M 1 ?x1 , y1 ?、 M 2 ?x2 , y2 ? ,以分点 M(x,y)分 M 1 M 2 所成的比 ? 为参数,写出参数 方程。

? 3 x ? 3? t ? ? 2 2、直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 ?y ? 1? 1 t ? 2 ?

A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

? x ? ?1 ? t cos ? 3、方程 ? (t 为非零常数, ? 为参数)表示的曲线是 ? y ? 3 ? t sin ?
A.直线 B.圆 C.椭圆

( D.双曲线

)

4 、已知 椭圆的参 数方程是 ? A.

? x ? 5 cos? 5 ( ? 为参数 ) ,则 椭圆上一 点 P ( , ? 2 3 ) 的离心角 可以 是 2 ? y ? 4 sin ?
D.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

5? 3

例 2 把弹道曲线的参数方程 ?

x ? v0 cos? ? t , 1 2 y ? v sin ? ? t ? gt , 0 ? 2 ? ? ?

(1) ( 2)

化成普通方程.

例 3. 将下列数方程化成普通方程.

2 ? 1 ? 1? t 2 ? x ? x ? a(t ? ) x ? ? 2 ? ? 2 ? x ? 2t ? x ? ?m y ? 1 ? ? 1? t t 1 ? t ,④ ? ①? ,② ? ,③ ? ,⑤ ? . ? ? y ? 2t ? y ? m x? 1 ? y ? 2t ? y ? b(t ? 1) ? y ? 2t ? ? ? t 1? t2 ? ? 1? t 2 ?
2

6 ? ○

? x ? a cos? , (?为参数, a ? b ? 0) ? y ? b sin ? .

7 ? ○

? x ? cos 2 ? ? y ? sin ?

例 4. 直线 3x-2y+6=0,令 y = tx +6(t 为参数) .求直线的参数方程.

例 5.已知圆锥曲线方程是 ?

? x ? 3t ? 5 cos? ? 1 2 ? y ? ?6t ? 4 sin ? ? 5

(1) 若 t 为参数, ? 为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离; (2) 若 ? 为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。

例 6. 在圆 x2+2x+y2=0 上求一点,使它到直线 2x+3y-5=0 的距离最大.

例 7. 在椭圆 4x2+9y2=36 上求一点 P,使它到直线 x+2y+18=0 的距离最短(或最长) .

例 8.已知直线;l: ? ?

x ? ?1 ? 3t 与双曲线(y-2)2-x2=1 相交于 A、B 两点,P 点坐标 P(-1,2)。求: ? y ? 2 ? 4t

(1)|PA|.|PB|的值; (2)弦长|AB|; 弦 AB 中点 M 与点 P 的距离。

2 例 9.已知 A(2,0),点 B,C 在圆 x2+y2=4 上移动,且有 ?BAC ? ? 求 ?ABC重心 G 的轨迹方程。 3

例 10.已知椭圆 此最大值。

x2 y2 ? ? 1 和圆 x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点 P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|达到最大值,并求出 32 8

例 11.已知直线 l 过定点 P(-2,0),与抛物线 C: x2+ y-8=0 相交于 A、B 两点。 (1)若 P 为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (2)若 l 绕 P 点转动,求 AB 的中点 M 的方程. 例 12.椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上是否存在点 P,使得由 P 点向圆 x2+y2=b2 所引的两条切线互相垂直?若存 2 a b

在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。

例题(J3.2 极坐标系) 例 1 讨论下列问题:
1.在同一极坐标系中与极坐标 M(-2, 40°)表示同一点的极坐标是( ) (A) (-2, 220°) (B)(-2, 140°) (C)(2,-140°) (D)(2,-40°) 2.已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A(4,0°), B(-4,-120°), C(2 3 +2, 30°),则△ABC 为( )。 (A)正三角形 (C)直角非等腰三角形 例 2..把点 A( ?5, (B)等腰直角三角形 (D)等腰非直角三角形

?

), B (3,? ) 的极坐标化为直角坐标。 6 4

?

例 3.把点 M (? 3,?1), N (0,?3), P( 2, 0) 的直角坐标化为极坐标。 例 4.已知正三角形 ABC 中,顶点 A、B 的极坐标分别为 A(1,0), B( 3 , 例 5.化圆的直角方程 x2+y2-2ax=0 为极坐标方程。 例 6.化圆锥曲线的极坐标方程 ? ?

?
2

) ,试求顶点 C 的极坐标。

ep 为直角坐标方程。 i ? e cos ?


例 7.讨论下列问题: 1.在极坐标系里,过点 M(4,30°)而平行于极轴的直线 ? 的方程是( (A) ? sin ? =2 (B) ? sin ? =-2 (C) ? cos? ? 2

(D) ? cos? ? ?2 ) 。

3. 已知 P 点的极坐标是(1,π ),则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( (A)ρ =1 (B)ρ =cosθ (C)ρ cosθ =-1 (D)ρ cosθ =1 4. 若ρ >0,则下列极坐标方程中,表示直线的是( ) 。 (A)θ =

3 (0≤θ ≤π ) (C)tgθ =1 (D)sinθ =1(0≤θ ≤π ) 2 7 ? 5. 若点 A(-4, π )与 B 关于直线θ = 对称, 在ρ >0, -π ≤θ <π 条件下, B 的极坐标是 6 3 ? 6. 直线ρ cos(θ - )=1 与极轴所成的角是 。 4 7. 直线ρ cos(θ -α )=1 与直线ρ sin(θ -α )=1 的位置关系是 。
(B)cosθ =

? 3



8. 直线 y=kx+1 (k<0 且 k≠-

1 )与曲线ρ 2sinθ -ρ sin2θ =0 的公共点的个数是( ) 。 2

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 例 8.讨论下列问题; 1. 圆的半径是 1,圆心的极坐标是(1, 0),则这个圆的极坐标方程是( ) 。 (A)ρ =cosθ (B)ρ =sinθ (C)ρ =2cosθ (D)ρ =2sinθ 2. 极坐标方程分别是ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( ) 。

2 2 3. 在极坐标系中和圆ρ =4sinθ 相切的一条直线方程是( ) (A)ρ sinθ =2 (B)ρ cosθ =2 (C)ρ sinθ =4 (D)ρ cosθ =4 4.圆 ? =Dcosθ -Esinθ 与极轴相切的充分必要条件是( )
(A)2 (B) 2 (C)1 (D) (A)D·E=0 (B)D2+E2=0 (C)D=0,E≠0 (D)D≠0,E=0 5.圆

? ? 2 3 sinθ -2cosθ 的圆心的极坐标为



6. 若圆的极坐标方程为ρ =6cosθ ,则这个圆的面积是 。 7. 若圆的极坐标方程为ρ =4sinθ ,则这个圆的直角坐标方程为 。 8. 设 有 半 径 为 4 的 圆 , 它 在 极 坐 标 系 内 的 圆 心 的 极 坐 标 为 ( - 4, 0) , 则 这 个 圆 的 极 坐 标 方 程 为 。 例 9.当 a、b、c 满足什么条件时,直线 ? ?

1 与圆 ? ? 2c cos? 相切? a cos ? ? b sin ?

例 10.试把极坐标方程

2 2 化为直角坐标方程,并就 m 值的变化 m? cos ? ? 3? sin ? ? 6cos? ? 0
1 1 ? 为常数学。 | FA | | FB |

讨论曲线的形状。 例 11.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 且倾角为 ? 的弦长|AB|,并证明:

例 12.设椭圆左、右焦点分别为 F1、F2,左、右端点分别为 A、A’,过 F1 作一条长度等于椭圆短轴长的 弦 MN,设 MN 的倾角为 ? .(1)若椭圆的长、短轴的长分别为 2a,2b,求证:

cos2 ? ?

a ; a?b

(2)若|AA’|=6,|F1F2|= 4 2 ,求 ? .
2 2 例 13.求椭圆 x ? y ? 1 的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值。 a2 b2


推荐相关:

参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)

参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)_数学_高中教育_教育专区。J3 参数方程和极坐标系一、 知识要点(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲...


极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

极坐标及参数方程知识点例题 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念:在平面内...2=0,∴ 直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为 ? ...


极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数 t 的函数...


讲义~4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

讲义~4-4极坐标参数方程知识点及高考题汇编_数学...点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点...方程为 3ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为 ρ...


4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

极​坐​标​知​识​点1. 极坐标参数方程知识点 1. 伸缩变换: 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ? 的作用下...


极坐标和参数方程基础知识及重点题型

极坐标和参数方程基础知识及重点题型_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。...极轴建立极坐标系,求过点 P 的圆 C 的切线(1)极坐标和直角坐标转化的必要...


2015极坐标和参数方程知识点及高考试题详解,重要考点必考

2015极坐标和参数方程知识点及高考试题详解,重要考点...方 程将其代入直角坐标方程,化简整理可得极坐标方程...(t 为参数)过椭圆 C : ? 在平面直角坐标系 xoy...


2014-2015学年高二数学选修4-4 极坐标与参数方程知识点及高考真题训练(含答案)

2014-2015学年高二数学选修4-4 极坐标与参数方程知识点及高考真题训练(含答案)...过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些 图形在极坐标系和平面直角坐标系...


专题:极坐标与参数方程知识点及对应例题

专题:极坐标与参数方程知识点及对应例题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。极坐标、参数方程知识点例题 极坐标及参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com