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2016年安徽省江南十校高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年安徽省江南十校高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|﹣x2﹣x+6>0,x∈Z},B={1,2,3},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{1,2,3} C.{0,1} D.{1} 2.复数 z= A. B.

的虚部为( i C.﹣ ) D.﹣ i

3.已知{an}是公比为 2 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 2(S6+1)=a7,则 a3= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知命题 p:? α∈R,使得 sinα+2cosα=3;命题 q:? x∈(0, 判断正确的是( ) A.p 为真 B.¬q 为假 C.p∧q 为真 D.p∨q 为假 ) ,x>sinx,则下列

5.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为(



A.

B.4

C.5

D.

6.若新高考方案正式实施,甲,乙两名同学要从政治,历史,物理,化学四门功课中分别 选取两门功课学习,则他们选择的两门功课都不相同的概率为( A. B. C. D. ) )

7.如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

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A.80﹣

π B.80+

π C.112+(2

﹣4)π

D.112+2

π

8.已知边长为 2 的等边△ABC,其中点 P,Q,G 分别是边 AB,BC,CA 上的三点,且 AP= AB,BQ= BC,CG= CA,则 A. B. C. D. ? =( )

9.已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x) ,对于? x∈R 都有 f(1+x)=f(1﹣x) ,当﹣1≤x<0 时,f(x)=log2(﹣x) ,则函数 g(x)=f(x)﹣2 在(0,8)内所有的零点之和为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 10.如果函数 y= sinωx 在区间[﹣ A.[﹣6,0)
2



]上单调递减,那么 ω 的取值范围为( D. (0,6]



B.[﹣4,0)

C. (0,4]

11.抛物线 y =4x 的准线与 x 轴相交于点 P,过点 P 作斜率 k(k>0)的直线交抛物线于 A, B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FA|=3|FB|,则直线 AB 的斜率 k=( ) A. B. C. D.

12.已知函数 f(x)=

,若 f(a)=5,则 a 的取值集合为(



A.{﹣2,3,5} B.{﹣2,3} C.{﹣2,5} D.{3,5} 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f(x)=x3﹣x+2,则 f(x)在[0,1]上的最小值为 14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是

. .

第 2 页(共 22 页)

15.在数列{an}中,a1=﹣11,2an=2an﹣1+3(n≥2) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 Sn 的最 小值为 . 16.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0) ,其左,右焦点分别为 F1,F2,若以右焦点 F2

(c,0) (c>0)为圆心作半径为 c 的圆与双曲线的右支的一个交点为 M,且直线 F1M 恰好 与圆相切,则双曲线的离心率为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2cos2 +(cosB+ cosC=1. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2 ,且△ABC 的面积为 ,求 a,b 的值. 18.某数学老师对所任教的两个班级各抽取 30 名学生进行测试,分数分布如表: 分数区间 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 4 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 5 0.2 0.2 0.4 0.1 0.1 sinB)

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(1)若成绩 120 分以上为优秀,求从乙班参加测试的成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生 中,随机任取 2 名学生,恰有 1 人为优秀的概率; (2)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表,则犯错概率小于 0.1 的前提下,是否有足够的 把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关? 优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d.

下面的临界值供参考: k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 19.如图所示的多面体中,已知菱形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,其中 ∠FAC 为直角,∠ABC=60°,EF∥AC,EF= AB=1,FA= (1)求证:DE⊥平面 BEF; (2)求多面体 ABCDEF 的体积. .

20.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣1,0) ,B(2,3) ,C(1,2 ) ,且定点 P (1,1) . (1)求△ABC 的外接圆的标准方程; (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E,F 两点,求弦 EF 中点的轨迹方程. 21.已知函数 f(x)= ﹣ax+(1+a)lnx,a∈R,且 y=f(x)在 x=1 处的切线垂直于 y 轴. (1)若 a=﹣1,求 y=f(x)在 x= 处的切线方程; (2)讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ACD 的外接圆交 BC 于 E 点. (Ⅰ)证明: = ;

第 4 页(共 22 页)

(Ⅱ)若 2AD=BD=AC,求

的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,取相同

的长度单位, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2

sinθ, 直线 l 的参数方程为

(t

为参数) . (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程. (Ⅱ)若 P(3, ) ,直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,求|PM|+|PN|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+ |+a|x﹣ |. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤3x; (Ⅱ)当 a=2 时,若关于 x 的不等式 2f(x)+1<|1﹣b|的解集为空集,求实数 b 的取值范 围.

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2016 年安徽省江南十校高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|﹣x2﹣x+6>0,x∈Z},B={1,2,3},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{1,2,3} C.{0,1} D.{1} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集,确定出解集中的整数解得到 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+3) (x﹣2)<0,x∈Z, 解得:﹣3<x<2,x∈Z,即 x=﹣2,﹣1,0,1, ∴A={﹣2,﹣1,0,1}, ∵B={1,2,3}, ∴A∩B={1}, 故选:D.

2.复数 z= A. B.

的虚部为( i C.﹣

) D.﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则答案可求. 【解答】解:z= 则复数 z= 故选:C. 3.已知{an}是公比为 2 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 2(S6+1)=a7,则 a3= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前 n 项和公式能求出 【解答】解:∵{an}是公比为 2 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,2(S6+1)=a7, ∴ = ,解得 a1=1, = . ,

的虚部为:

∴a3= 故选:D.



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4.已知命题 p:? α∈R,使得 sinα+2cosα=3;命题 q:? x∈(0,

) ,x>sinx,则下列

判断正确的是( ) A.p 为真 B.¬q 为假 C.p∧q 为真 D.p∨q 为假 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据条件判断命题 p,q 的真假命题,结合复合命题的真假关系进行判断即可. 【解答】解:sinα+2cosα= sin(α+θ)∈[﹣ , ],θ 是参数, ∵3> , ∴? α∈R,sinα+2cosα≠3; 故命题 p 为假命题, 设 f(x)=x﹣sinx,则 f′(x)=1﹣cosx≥0, 则函数 f(x)为增函数, ∵则当 x>0 时,f(x)>f(0) , 即 x﹣sinx>0,则 x>sinx,故命题 q 是真命题, 则¬q 为假,其余为假命题, 故选:B

5.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为(



A.

B.4

C.5

D.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 由 z=x+2y,得 y= 直线 y= ,平移直线 y= 的截距最小,此时 z 最小, ,由图象可知当直线经过点 A 时,



,得

,即 A( , )

此时 z= +2× =4. 故选:B.

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6.若新高考方案正式实施,甲,乙两名同学要从政治,历史,物理,化学四门功课中分别 选取两门功课学习,则他们选择的两门功课都不相同的概率为( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数,再求出他们选择的两门功课都不相同包含的基本事件个数, 由此能求出他们选择的两门功课都不相同的概率. 【解答】解:甲,乙两名同学要从政治,历史,物理,化学四门功课中分别选取两门功课学 习, 基本事件总数 n= =36, =6.

他们选择的两门功课都不相同包含的基本事件个数 m= ∴他们选择的两门功课都不相同的概率 p= = 故选:A. = .

7.如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



第 8 页(共 22 页)

A.80﹣

π B.80+

π C.112+(2

﹣4)π

D.112+2

π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】通过三视图判断几何体的形状,利用三视图的数据,求出几何体的表面积即可. 【解答】解:由三视图可知,由三视图可得,几何体是一个长、宽、高为 4、4、5 的长方体 挖去一个以长方体的内切圆为底面,下底面圆心为顶点的圆锥, 几何体的表面积为:圆锥的侧面积+长方体的侧面积﹣圆的面积. 即 S= +2?4?4+16?5﹣π×22=112+(2 ﹣4)π. 故选:C. 8.已知边长为 2 的等边△ABC,其中点 P,Q,G 分别是边 AB,BC,CA 上的三点,且 AP= AB,BQ= BC,CG= CA,则 A. B. C. D. ? =( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据题意画出图形,利用平面向量的线性表示与数量积运算,即可求出 值.

?



【解答】解:如图所示,

等边△ABC 中,AB=2,AP= AB,BQ= BC,CG= CA, ∴ = ∴ ? = + + = =﹣ =﹣ + + + , , ? ﹣ ? + ?

=﹣ ×22+ ×2×2×cos60°﹣ ×2×2×cos120°+ ×2×2×cos60° = .

故选:B. 9.已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x) ,对于? x∈R 都有 f(1+x)=f(1﹣x) ,当﹣1≤x<0 时,f(x)=log2(﹣x) ,则函数 g(x)=f(x)﹣2 在(0,8)内所有的零点之和为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【考点】函数奇偶性的性质.

第 9 页(共 22 页)

【分析】 根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为 4 的周期函数, 作出函数在 一个周期内的图象,利用数形结合进行求解. 【解答】解:∵奇函数 y=f(x) ,对于? x∈R 都有 f(1+x)=f(1﹣x) , ∴f(1+x)=f(1﹣x)=﹣f(x﹣1) , 则 f(2+x)=﹣f(x) , 即 f(4+x)=f(x) , 则函数 f(x)是周期为 4 的周期函数. 若 0<x≤1,则﹣1≤﹣x<0, 则 f(﹣x)=log2x=﹣f(x) , f x = log x 0 x 则 ( ) ﹣ 2 , < ≤1, 若 1≤x<2,则﹣1≤x﹣2<0, ∵f(2+x)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x)=﹣f(x﹣2)=﹣log2(2﹣x) ,1≤x<2, 若 2<x<3,则 0<x﹣2<1,f(x)=﹣f(x﹣2)=log2(x﹣2) ,2<x<3, 由 g(x)=f(x)﹣2=0 得 f(x)=2, 作出函数 f(x)在(0,8)内的图象如图: 由图象知 f(x)与 y=2 在(0,8)内只有 4 个交点, 当 0<x≤1 时,由 f(x)=﹣log2x=2,得 x= , 当 1≤x<2 时,由 f(x)=﹣log2(2﹣x)=2 得 x= , 则在区间(4,5)内的函数零点 x=4+ = 在区间(5,6)内的函数零点 x= +4= 则在(0,8)内的零点之和为 + + 故在(0,8)内所有的零点之 12, 故选:D + , , = =12

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10.如果函数 y= sinωx 在区间[﹣ A.[﹣6,0) B.[﹣4,0)



]上单调递减,那么 ω 的取值范围为( D. (0,6]



C. (0,4]

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由题意利用正弦函数的单调性,可得 ω<0 且函数 y= sin(﹣ωx)在区间[﹣ ]上单调递增,由此求得 ω 的范围. 【解答】解:∵函数 y= sinωx 在区间[﹣ ∴ω<0 且函数 y= sin(﹣ωx)在区间[﹣ , , ]上单调递减, ]上单调递增, ,



,即

,求得﹣4≤ω<0,

故选:B. 11.抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴相交于点 P,过点 P 作斜率 k(k>0)的直线交抛物线于 A, B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FA|=3|FB|,则直线 AB 的斜率 k=( ) A. B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设出 A,B 的坐标,再设出 AB 的方程,联立直线方程和抛物线方程,由焦半径结 合|FA|=3|FB|,求得 A 的坐标,代入两点求斜率公式得答案. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由已知|FA|=3|FB|,得:x1+1=3(x2+1) ,即 x1=3x2+2,① P 1 0 AB y=kx k ∵ (﹣ , ) ,则 的方程: + , 与 y2=4x 联立,得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,则 x1x2=1,② 由①②得 x2=3,则 A( , ) ,

∴k=

=



故选:B.

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12.已知函数 f(x)=

,若 f(a)=5,则 a 的取值集合为(



A.{﹣2,3,5} B.{﹣2,3} C.{﹣2,5} D.{3,5} 【考点】函数的值. 【分析】当 a>0 时,f(a)=3+log2(a﹣1)=5,当 a≤0 时,f(a)=a2﹣a﹣1=5.由此能 求出 a 的取值集合. 【解答】解:∵函数 f(x)= ,f(a)=5,

∴当 a>0 时,f(a)=3+log2(a﹣1)=5,解得 a=5, 当 a≤0 时,f(a)=a2﹣a﹣1=5,解得 a=﹣2 或 a=3(舍) . ∴a 的取值集合为{﹣2,5}. 故选:C. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f(x)=x3﹣x+2,则 f(x)在[0,1]上的最小值为 .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先求导函数,确定极值,再比较端点处函数值的大小,从而得解. 【解答】解:由函数 f(x)=x3﹣x+2,得 f'(x)=3x2﹣1=0,即 ∵f(0)=2, ,f(1)=2, . .

∴函数 f(x)=x3﹣x+2 在[0,1]上的最小值为 故答案为: .

14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是 0.

第 12 页(共 22 页)

【考点】程序框图. 【分析】根据题中的流程图,模拟运行,依次根据条件计算 s 和 n 的值,直到 n>2016 运行 结束,输出此时的 s 的值即为答案. 【解答】解:根据题中的流程图,模拟运行如下: 输入 s=0,n=1,此时 n≤2016,符合条件, ∴s=0+cos ∴s= ∴s= ∴s= ∴s= +cos +cos +cos +cos = = = = ,n=2,此时 n≤2016,符合条件, ,n=3,此时 n≤2016,符合条件, ,n=4,此时 n≤2016,符合条件, ,n=5,此时 n≤2016,符合条件,

=0,n=6,此时 n≤2016,符合条件,

… 通过运行即可发现运行中的 s 的值具有周期性,周期为 12,由于 2016=12×168, ∴s=0,n=2017,此时不满足条件 n≤2016, 结束运行,输出 s=0. 故答案为:0.

第 13 页(共 22 页)

15.在数列{an}中,a1=﹣11,2an=2an﹣1+3(n≥2) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 Sn 的最 小值为﹣46. 【考点】数列的求和. 【分析】根据数列的递推关系,得到数列{an}是等差数列,结合等差数列的前 n 项和公式以 及一元二次函数的性质进行求解即可. 【解答】解:∵a1=﹣11,2an=2an﹣1+3(n≥2) , ∴an=an﹣1+ , (n≥2) , 即 an﹣an﹣1= , 即数列{an}是公差 d= 的等差数列, 则 Sn=na1+ d=﹣11n+ × = n2﹣ n,

对应的抛物线开口向上,对称轴为 n=﹣

=



∴当 n=8 时,Sn 取得最小值,最小值为 S8=﹣11×8+ 故答案为:﹣46;

× =﹣88+42=﹣46,

16.已知双曲线



=1(a>0,b>0) ,其左,右焦点分别为 F1,F2,若以右焦点 F2

(c,0) (c>0)为圆心作半径为 c 的圆与双曲线的右支的一个交点为 M,且直线 F1M 恰好 与圆相切,则双曲线的离心率为 . . 【考点】双曲线的简单性质. MF1⊥MF2, F1F2=2c, 【分析】 由题意可得 M 在双曲线的右支上, 且|MF2|=c, |MF1|=2a+c, 运用勾股定理和离心率公式,计算即可得到. 【解答】解:由题意可得 M 在双曲线的右支上,MF1⊥MF2, 且|MF2|=c,|MF1|=2a+c,F1F2=2c, 由勾股定理可得,c2+(2a+c)2=4c2, 化简可得 e2﹣2e2﹣2=0, ∵e>1 ∴e= . 故答案为: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2cos2 +(cosB+ cosC=1. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2 ,且△ABC 的面积为 sinB)

,求 a,b 的值.

第 14 页(共 22 页)

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系化简已知的式子,由内角的范围和 特殊角的正切值求出 C; b 的值. (2) 由题意和三角形的面积公式列出方程, 由余弦定理列出方程, 联立方程求出 a, 【解答】解: (1)由题意得, , 又 A=π﹣(B+C) ,∴ , sinBsinC+ sinBcosC=0, 因 sinB≠0,所以 sinC+ cosC=0,∴tanC= , ∵0<C<π,∴C= ; ,∴ ,

(2)∵△ABC 的面积为 则 ab=4,① 又 ,∴



则(a+b)2﹣ab=12,解得 a+b=4,② 由①②得,解得 a=2,b=2. 18.某数学老师对所任教的两个班级各抽取 30 名学生进行测试,分数分布如表: 4 5 分数区间 0.1 0.2 [0,30) 0.2 0.2 [30,60) 0.3 0.4 [60,90) [90,120) 0.2 0.1 [120,150] 0.2 0.1 (1)若成绩 120 分以上为优秀,求从乙班参加测试的成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生 中,随机任取 2 名学生,恰有 1 人为优秀的概率; (2)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表,则犯错概率小于 0.1 的前提下,是否有足够的 把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关? 优秀 不优秀 总计 24 30 甲班 6 27 30 乙班 3 51 60 总计 9 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d.

下面的临界值供参考: k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 【考点】独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)乙班参加测试的成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 6 人,记为 A,B,C, D,E,F,其中成绩优秀的有 3 人,记为 A,B,C,由此利用列举法能求出随机任取 2 名 学生,恰有 1 人为优秀的概率.

第 15 页(共 22 页)

(2)由题意,甲班有 6 人成绩为优秀,乙班有 3 人成绩为优秀,求出 2×2 列联表和 K2≈ 1.176<2.706.从而得到在犯错概率小于 0.1 的前提下,没有足够的把握认为学生的数学成 绩优秀与否和班级有关. 【解答】解: (1)乙班参加测试的成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 6 人, 记为 A,B,C,D,E,F,其中成绩优秀的有 3 人,记为 A,B,C, 从这 6 名学生中随机抽取 2 名的基本事件有:

共 15 个. 设事件 G 表示恰有 1 人为优秀, 则 G 包含的事件有{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C, E},{C,F}, 共 9 个. 所以随机任取 2 名学生,恰有 1 人为优秀的概率 .

(2)由题意,甲班有 6 人成绩为优秀,乙班有 3 人成绩为优秀,2×2 列联表如下: 优秀 不优秀 总计 24 30 甲班 6 27 30 乙班 3 9 51 60 总计 ∴ .

在犯错概率小于 0.1 的前提下,没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关. 19.如图所示的多面体中,已知菱形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,其中 ∠FAC 为直角,∠ABC=60°,EF∥AC,EF= AB=1,FA= (1)求证:DE⊥平面 BEF; (2)求多面体 ABCDEF 的体积. .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO,证明 EF⊥ED,ED⊥BE,即可证明:DE ⊥平面 BEF; (2)利用两个四棱锥的体积求多面体 ABCDEF 的体积.
第 16 页(共 22 页)

【解答】 (1)证明:连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO. 因为∠ABC=60°,且四边形 ABCD 为菱形,所以 AC=AB=2AO. 又 EF∥AC, ,∠FAC 为直角,所以四边形 AOEF 为矩形,则 EO⊥AC,

由四边形 ABCD 为菱形得 BD⊥AC, 又 EO∩CO=O,所以 AC⊥平面 ODE, 而 ED? 平面 ODE,则 AC⊥ED, 又 EF∥AC,所以 EF⊥ED, 因为 ,故∠BEO=∠DEO=45°,则∠BED=90°,即 ED⊥BE, EF BE=E DE ∩ 又 ,所以 ⊥平面 BEF. (2)解:由(1)知,BD⊥平面 ACEF, 所以 .

20.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣1,0) ,B(2,3) ,C(1,2 ) ,且定点 P (1,1) . (1)求△ABC 的外接圆的标准方程; (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E,F 两点,求弦 EF 中点的轨迹方程. 【考点】直线与圆的位置关系;轨迹方程. 【分析】 (1)确定△ABC 的外接圆圆心为(2,0) ,半径 r=2+1=3,即可求出△ABC 外接圆 的标准方程; (2)设弦 EF 的中点为 M,坐标为(x,y) ,由垂径定理的推论知 MN⊥MP,即 , EF 由此求弦 中点的轨迹方程. 【解答】解: (1)由题意得 AC 的中点坐标为 ∴AC 中垂线的斜率为 , , =﹣ x,

,直线 AC 的中垂线的方程为 y﹣

AB 的中点坐标为( , ) ,斜率为 1, ∴直线 AB 的中垂线的方程为 y﹣ =﹣(x﹣ ) ,







∴△ABC 的外接圆圆心为(2,0) ,半径 r=2+1=3, 故△ABC 外接圆的标准方程为(x﹣2)2+y2=9
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(2)设弦 EF 的中点为 M,坐标为(x,y) ,△ABC 外接圆的圆心 N,则 N(2,0) 由垂径定理的推论知 MN⊥MP,即 , ∴(x﹣2,y)?(x﹣1,y﹣1)=0, 故弦 EF 中点的轨迹方程为 .

21.已知函数 f(x)= ﹣ax+(1+a)lnx,a∈R,且 y=f(x)在 x=1 处的切线垂直于 y 轴. (1)若 a=﹣1,求 y=f(x)在 x= 处的切线方程; (2)讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f( ) ,f′( )的值,从而求出切线方程即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可. 【解答】解: ,

由题意 f'(1)=﹣b﹣a+1+a=0,故 b=1; (1)若 a=﹣1, 因为 故所求切线方程为 ,则 ,所以 , , ,即 y=﹣3x+4.

(2) 当 a=0 时,由 f'(x)=0 得 x=1, 则 f(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,由 f'(x)=0 得 x=1 或 ,



则 f(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,由 f'(x)=0 得 x=1 或 若 0<a<1,则 递减; 若 a=1,则 当 a>1,则 ,f(x)在(0,+∞)上单调递减; ,则 f(x)在 内单调递增,在 和[1,+∞)上单调递减. ,则 f(x)在 , 内单调递增,在(0,1]和 上单调

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1: 几何证明选讲]
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22.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ACD 的外接圆交 BC 于 E 点. (Ⅰ)证明: = ; 的值.

(Ⅱ)若 2AD=BD=AC,求

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)延长 CD 至点 F,使得 BF=BD,连接 BF.证明△CAD∽△CBF,即可得出 结论; (Ⅱ)利用 CD 是∠ACB 的角平分线,BD=AC=2AD,得出 BC=2AC=4AD.由割线定理可 得 BE?BC=BD?BA,即可得出结论. 【解答】 (Ⅰ)证明:延长 CD 至点 F,使得 BF=BD,连接 BF. 因为 BF=BD,所以∠BFD=∠ADC, 因为 CD 是∠ACB 的角平分线,所以∠ACD=∠BCF, 所以△CAD∽△CBF 所以 = , = ;

因为 BF=BD,所以

(Ⅱ)解:因为 CD 是∠ACB 的角平分线,BD=AC=2AD, 所以 =2,

所以 BC=2AC=4AD. 由割线定理可得 BE?BC=BD?BA, ∴BE= AD, ∴EC=4AD﹣ AD= AD, 所以 = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

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23.在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,取相同

的长度单位, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2

sinθ, 直线 l 的参数方程为

(t

为参数) . (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程. (Ⅱ)若 P(3, ) ,直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,求|PM|+|PN|的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ, 即 ρ2=2 ρsinθ, 利用 ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,

即可化为直角坐标方程.直线 l 的参数方程为

(t 为参数)消去参数 t 可得普

通方程. (II)把直线 l 的方程代入圆的方程可得:t2﹣3 t+4=0,利用根与系数的关系可得 PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|. 【解答】解: (I)曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ,即 ρ2=2 ρsinθ,可得直角坐标方程: x2+y2﹣2 y=0.

直线 l 的参数方程为

(t 为参数)消去参数 t 可得普通方程:x+y﹣3﹣

=0.

(II)把直线 l 的方程代入圆的方程可得:t2﹣3 则 t1+t2=3 ,t1t2=4. ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3 . [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+ |+a|x﹣ |.

t+4=0,

(Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤3x; (Ⅱ)当 a=2 时,若关于 x 的不等式 2f(x)+1<|1﹣b|的解集为空集,求实数 b 的取值范 围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x,再等价转化为与之等价 的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)当 a=2 时,由题意可得,|1﹣b|>7+1 的解集为?,即|1﹣b|≤8 恒成立,即﹣8≤b ﹣1≤8,由此求得实数 b 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x,

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等价于

①;或

②;或



解①求得﹣ ≤x<﹣ ,解②求得﹣ ≤x< ,解③求得 x≥ , 故原不等式的解集为{x|x≥﹣ }. (Ⅱ)当 a=2 时,若关于 x 的不等式 2f(x)+1<|1﹣b|,即 2(|2x+ |+2|x﹣ |)+1< |1﹣b|, 即|4x+1|+|4x﹣6|+1<|1﹣b|. 由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|(4x+1)﹣(4x﹣6)|=7,∴|1﹣b|>7+1 的解集为?,即|1﹣b| ≤8 恒成立, ∴﹣8≤b﹣1≤8,即﹣7≤b≤9,即要求的实数 b 的取值范围为[﹣7,9].

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2016 年 9 月 7 日

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