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江苏省高邮市界首中学2016届高三上学期数学天天练试题(12月4日-12月9日)


高邮市界首中学高三数学天天练 姓名 班级 2015 年 12 月 4 日 .

1. 设双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为
2

13 13 或 2 3
.8

2. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n —7n, 且满足 16<ak+ak+1<22, 则

正整数 k= 3. 不 等 式 x ? 为

1 ?a? 2 ? s i n y对 一 切 非 零 实 数 x , y 均 成 立 , 则 实 数 a 的 范 围 x

. ?1,3?

4. 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ,若存在实数 t ,当 x ? ?1, m? 时, f ? x ? t ? ? 3x 恒成立,则实 数 m 的最大值为 .8

2 5. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ,若 f ? a ? ? f ?b ? ,且 0 ? a ? b ,则满足条件的点 ? a, b ? 所围

成区域的面积为



? 2

2 6.已知椭圆 x ? y 2 ? 1的左顶点为 A,过 A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点.

4

(1) 当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2) 当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点,若过定点,请给出证明, 并求出该定点,若不过定点,请说明理由. (1)直线 AM 的斜率为 1 时,直线 AM: y ? x ? 2 , 代入椭圆方程并化简得: 5 x ? 16 x ? 12 ? 0 ,
2

解之得 x1 ? ?2, x2 ? ? ,∴ M ( ?

6 5

6 4 , ). 5 5

(2)设直线 AM 的斜率为 k ,则 AM: y ? k ( x ? 2) ,

y ? k ( x ? 2), ? ? 2 2 2 2 2 则? x 化简得: (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1, ? ? 4
2 ? 8k 2 2k 2 ? 8 ∵此方程有一根为 ?2 ,∴ xM ? ,同理可得 xN ? 2 .由(1)知若存在定 1 ? 4k 2 k ?4
点,则此点必为 P (?

6 , 0) .∵ kMP 5

2 ? 8k 2 k( ? 2) 2 yM 5k ,同理可计算得 ? ? 1 ? 4k2 ? 2 6 2 ? 8 k 6 4 ? 4 k xM ? ? 5 1 ? 4k 2 5

k PN ?

5k . 4 ? 4k 2 6 5

∴直线 MN 过 x 轴上的一定点 P (? , 0) .

7(理科)如图:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一 点,且 D1E ? ? ? EO . (Ⅰ)求证: DB1 ? 平面CD1O ; (Ⅱ)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值. D1 A1 E D A O B C B1 C1

???? ?

??? ?

解: (Ⅰ)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,

1 1 2 2 ???? ? ???? ? ???? 1 1 于是: DB1 ? (1,1,1),, CD1 ? (0, ?1,1), OC ? (? , , 0) 2 2 ???? ? ???? ? ???? ? ??? ? 因为 DB1 ? CD1 ? 0, DB1 ? OC ? 0 ,
则 D(0, 0, 0), B1 (1,1,1), O( , , 0), C (0,1, 0), D1 (0, 0,1) 所以 DB1 ? CD1 , DB1 ? OC ,因为 CD1 , OC 为平面 CD1O 内两条相交直线 故 DB1 ? 平面CD1O ··························· 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 CD1O 的法向量取 m ? DB1 ? (1,1,1) 由 D1E ? ? ? EO ,则 E (

?? ???? ?

???? ?

??? ?

1 ) 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? , ,

?

?

又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由 n ? CD ? 0, n ? DE ? 0

?

? ??? ?

? ??? ?

?y ? 0 ? 得 ? ?x , ?y z ? ? ? 0 ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ?
取 x ? ?2, 得 z ? ? ,即 n ? (?2,0, ?) 因为平面 CDE ? 平面 CD1O , 所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2

?

?? ?

························· 10 分

高邮市界首中学高三数学天天练 姓名 1、函数 y ? sin( 2 x ? 班级 2015 年 12 月 5 日

?
6

) ? cos( 2 x ?

?
3

) 的最大值为

.2

2、已知公差不为零的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a9 成等比数列, ?S n ? 为数列

?an ?的前 n 项和,则 S11 ? S 9 的值是
S7 ? S6

.3

3、已知等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用 源。某三角形三边之比为错误!未找到引用源。 , 则该三角形最大角为 ▲ ____ .

分析与解答: 因为数列错误!未找到引用源。是等差数列, 错误!未找到引用源。, 错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,设三角形最大角为错误!未找到引用源。 ,由余弦定 理,得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 4、已知函数 f ( x) ? a ? x ? b 的零点 x0 ? (k , k ? 1)(k ? Z ) ,其中常数 a,b 满足
x

3 a ? 2,3b ?

9 ,则 k= 4

.1

5、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,P 是 a2 b2

椭圆上一点,L 为左准线,PQ⊥L 垂足为 Q,若四边形 PQFA 为平行四边形,则椭圆的离心 率 e 的取值范围是 .

? 2 ?1.1?

6、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设 备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以

后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设 备? 解: (1) y ?

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 * ? 1.5 ( x ? 0 ) 即y ? x? ; (不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行) x
(2)由均值不等式得:

y ? x?
当且仅当 x ?

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元) x x
100 ,即 x ? 10 时取到等号. x
? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2, cos ? ? ?

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.
?cos ? 7(理科)若点 A(2,2)在矩阵 M ? ? ? sin ?

2) ,求矩阵 M 的逆矩阵.
? 2 ? ? ?2 ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ?2 ? 解: M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ,………………………………………4分 ?2? ? 2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? ? 2 ? ?cos ? ? sin ? ? ?1, ?cos ? ? 0, 所以 ? 解得 ? ……………………………………………6分 ?sin ? ? cos ? ? 1. ?sin ? ? 1. ?0 ?1? ?1 0 ? ? 0 1? .由 M ?1 M ? ? ,得 M ?1 ? ? ? ? ? .………………………10分 0? ?0 1 ? ? ?1 0 ? 0 ?1 ? 0 1? 另解: M ? =1 ? 0 , M ?1 ? ? ?. 1 0 ? ?1 0 ?

所以 M ? ? ?1

另解: M ? ? ?1

?0 ?1? ?cos 90? ? sin 90?? ?? ? ,看作绕原点 O 逆时针旋转 90°旋转变换矩阵, 0? ? ? sin 90? cos 90? ? ?cos(?90?) ? sin(?90?) ? ? 0 1 ? ?? ?. cos(?90?) ? ? ? ?1 0 ?

于是 M ?1 ? ? ? sin(?90?)

高邮市界首中学高三数学天天 练 姓名 班级 2015 年 12 月 6 日

1、若直线 ax ? by ? 1过点 A?b, a ? ,则以坐标原点 O 为圆心, OA 长为半径的圆的面积的最 小值是 .?

2、 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 ,则直

线 m 的倾斜角是

°135 . .

0

3、若关于 x 的方程 kx-lnx=0 有解,则 k 的取值范围是

? ???,1 e? ?
. ?(m ? n)2
2 2

4、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 m ? n,Sm ? n2,Sn ? m2 ,则 Sm? n ?

5、过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、 b ,则 4 a ? b 的最小值 为 32

6、 给定两个长度为 1 且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运 动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x、y ? R,则 ( x ? 1) 2 ? y 2 的最大值为 .2

7. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=18,S3=26,则{an}的公比 q= ▲ .3

8(理科)一个暗箱中有形状和大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球,每次从中取出一只球, 取到白球得 2 分,取到黑球得 3 分.甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球. (1)写出甲总得分 ξ 的分布列; (2)求甲总得分 ξ 的期望 E(ξ ) . 解: (1)甲总得分情况有 6 分 ,7 分,8 分,9 分四种可能,记 ? 为甲总得分.
54 ? ? 1 ? 2 ?? 3 ? , P(? ? 6) ? ? 3 ? ? 27 , P(? ?7) ? C3 ? ?? ? ? 125 125 ?5? ? 5 ?? 5 ? P(? ? 8) ?
2? C3 ? 3 2

8 ? ? 36 ? ? 2? , P(? ? 9) ? ? 2 ? ? .………………………4 分 ? ? 3? ? 5 5 125 5 125 ? ? ? ? ? ?

2

3

?
P(x= ? )

6

7

8

9

27 125

54 125

36 125

8 125

……………………………………………7 分 (2)甲总得分ξ 的期望

36 36 54 8 E(ξ )= 6 ? 27 ? 7 ? = .……… ? 9? ? 8? 125 125 125 125 5

高邮市界首中学高三数学天天练 姓名 班级 2015 年 12 月 7 日

1、已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且 a1 ,

a ?a 1 a3 ,2a2 成等差数列,则 9 10 = a7 ? a8 2



3? 2 2
2、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 45° a 2 b2

的直线与椭圆的一个交点为 M,若 MF2 垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为

2 ?1
4

3、设方程 2 ln x ? 7 ? 2 x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解为 4、 将函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象向左平移 则 ? 的值为 .

? 个单位后, 所得的函数恰好是偶函数, 6

? 6

5.已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b)(a ? b), m, n 是 f ( x ) 的零点,且 m ? n ,则 a, b, m, n 从小到 大的顺序是 。m ? a ? b ? n

an ? ? ,an为偶数, 6、已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 2 ? ?3an+1,an为奇数.
有可能的取值为________. 4 或 5 或 32

若 a6=1,则 m 所

(1)若 a1=m 为偶数,则 为偶数,故 a2= ,a3= = , 2 2 2 4

a1

m

a2 m

①当 仍为偶数时,a4= ,…,a6= ,故 =1? m=32. 4 8 32 32 3 m+1 4 3 ②当 为奇数时,a4=3a3+1= m+1,…,a6= , 4 4 4

m

m

m

m

m

3 m+1 4 故 =1 得 m=4. 4 3m+1 (2)若 a1=m 为奇数,则 a2=3a1+1=3m+1 为偶数,故 a3= 必为偶数, 2

a6=

3m+1 3m+1 ,所以 =1 可得 m=5. 16 16

1+ an 7、已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4,bn= .

an

(1)求公差 d 的值;

5 (2)若 a1=- ,求数列{bn}中的最大项和最小项的值. 2 3×4 (1)∵S4=2S2+4,∴4a1+ d=2(2a1+d)+4,解得 d=1. 2 5 7 (2)∵a1=- ,∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=n- , 2 2 1 1 ∴bn=1+ =1+ . an 7 n- 2 ∵函数 f(x)=1+ 1 7 x- 2 7? ?7 ? ? 在?-∞, ?和? ,+∞?上分别是单调减函数, 2 2 ? ? ? ?

∴b3<b2<b1<1,当 n≥4 时,1<bn≤b4, ∴数列{bn}中的最大项是 b4=3,最小项是 b3=-1. 高邮市界首中学高三数学天天练 姓名 班级
*

2015 年 12 月 8 日

1、设 S n 表示等比数列 {an } ( n ? N )的前 n 项和,已知 7

S10 S ? 3 ,则 15 ? S5 S5



2、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c 。若 b2 ? c2 ? bc ? a2 , 且 C= 。 90
?

a ? 3, 则角 b

? a x ?5 ? x ? 6? ? 3、 已知函数 f ? x ? ? ? , 数列 ?an ? 满足 an ? f ?n? n ? N ? , 且数列 ?an ? 是 a (4 ? ) x ? 4 x ? 6 ? ? ? ? 2

?

?

单调递增数列,则实数 a 的取值范围是

。 ? 4,8?

4、定义在 (0, ??) 的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( xy) ,且 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,若不等式 则实数 a 的取值范围 f ( x 2 ? y 2 ) ? f ( xy ) ? f (a ) 对任意 x, y ? (0,??) 恒成立, __。

?0,2 ?
5、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 2 ,其焦点在圆 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 a b 2

x2+y2=1 上.(1)求椭圆的方程;(2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐
角 θ ,使 ???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB .

(i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值;(ii)求 OA +OB .

2

2

(1)依题意,得 c=1.于是,a= 2 ,b=1. 所以所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2
x12 x2 2 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ? 1 ②. 2 2

(2) (i)设 A(x1, y1),B(x2,y2),则

???? ? ??? ? ??? ? ? x ? x1 cos? ? x2 sin ? , 又设 M(x,y),因 OM ? cos ? OA ? sin ? OB ,故 ? ? y ? y1 cos ? ? y2 sin ? .

因 M 在椭圆上,故 整 理得 (

( x1 cos ? ? x2 sin ? ) 2 ? ( y1 cos ? ? y2 sin ? ) 2 ? 1 . 2

x12 x2 xx 2 ? y12 ) cos 2 ? ? ( 2 ? y2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 ) cos ? sin ? ? 1 . 2 2 2

将①②代入上式,并注意 cos ? sin ? ? 0 ,得 所以, kOA kOB ? (ii) ( y1 y2 )2 ? (? 又(
y1 y2 1 ? ? 为定值. x1 x2 2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2

2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 2 ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 ,故 y12 ? y2 ?1. 2 2 2

x12 x2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 ?2. 2 2
2 2

2 2 所以,OA +OB = x12 ? y12 ? x2 =3. ? y2

6(理科)设数列{an}满足 a1=a,an+1=an +a1, M ? ?a ? R n ? N*, | an | ≤ 2? .
2

(1)当 a∈(-∞,-2)时,求证: a ?M; (2)当 a∈(0,

1 ]时,求证:a∈M; 4

证明: (1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M .
1 1 (2) 当 0 ? a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥ 1 ) . 4 2 1 事实上, 〔〕当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 2

设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) ,
2 ?1? 1 1 则〔〕对 n ? k , ak ≤ ak ?1 ? a ≤ ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤

*

1 <2,所以 a∈M. 2

高邮市界首中学高三数学天天练 姓名 班级 2015 年 12 月 9 日 .105

1、设等差数列 ?an ? 的公差为正数,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15,a1a2 a3 ? 80, 则 a11 ? a12 ? a13 ? 2、已知 x, y ? R ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是
x y

。2 2

3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B 分别是双曲线 x2 ? 点 C 在双曲线的右支上,则

sin A ? sin B 的值是 sin C

y2 ? 1 的左、右焦点,△ABC 的顶 3 1 .? 2

4、三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后,变成一个等比数列,则此 等比数列的公比是 。 ?2 或 ?

1 2

x 与 y ? ? x? x ? 0 ? 的 图 像 的 一 个 交 点 , 则 5 、 设 点 P?x0 , y0 ? 是 函 数 y ? t a n

?x

2

0

? 1 ?cos2x0 ? 1? ?

?

。2

6、点 M 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上的点,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 a2 b2

F ,圆 M 与 y 轴相交于 P, Q , 若 ?PQM 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是

(0,

6? 2 ) 2
3 2

7 、 若 函 数 f ?x ? ? x ? ax ?a ? 0? 在 区 间 ?

? 20 ? ,?? ? 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 使 方 程 ? 3 ?
。48(理科)在平面直角坐标

f ?x ? ? 1000有整数解的实数 a 的个数是

系 xOy 中, 已知点 A(0,0), B(-2,0), C(-2,1)。 设 k 为非零实数, 矩阵 M= ?

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ?1 0 ? , ? 0 1? ? ?

点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:由题 设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? 、B1(0,-2) 、C1( k ,-2) 。 ? ?0 0 1 ? ? ?0 ?2 ?2? ,可知 A1(0,0) 1 0 ? ?? ? ? ?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。


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