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2013年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛


2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛

一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 3? B. ? C. 4? ?



8 3

2

2

2 3 ? 3 3 ? 3

/>
2 2

2 2 侧(左)视图 俯视图

D. 2? ?

正(主)视图

2.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ( )

?
3

) ? cos( ?x ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ? 的值为 1 2 1 4


A. 4

B.2

C.

D.

3. 已知函数 f ( x) ? ax ? b( x ?[0,1]) , 则 “ a ? 2b ? 0 ” 是 “ f ( x) ?0 恒成立” 的 ( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件

4.若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 | x | ? | y | ,则称函数 f ( x ) 具有性质 S ,那么下列函数中具有性质 S 的是 ( A. f ( x) ? e ? 1
x

) C. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? tan x

B. f ( x) ? ln( x ? 1)

5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有 1 点和 6 点,2 点 和 5 点,3 点和 4 点) .开始时,骰子如图 1 那样摆放,朝上的点数是 2,最后翻动到如图 2 所示位置.现要求翻动次数最少,则最后骰子朝上的点数为 3 的概率为( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 6 .已知函数 f(x ) ? A cos( ?x ? 是 7. . 三 棱 锥 S ? ABC 中 , ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90? , AC ? 2, BC ? 13 ,

?

? ? )(A ? 0)在 (0, ) 上是减函数,则 ? 的最大值 8 4

SB ? 29 .
则直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为_____________. 8.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ,若菱形 ABCD 的内切圆 a 2 b2
6 ,则椭圆的离心率为 6
______.

半径等于椭圆焦距的

b 9. 设 a, b 为两个非零向量, 且 a ? 2, a ? 2b ? 2 , 则 a ?b ?

的最大值是
?

_____



10.对于数列 {an } ,如果存在一个数列 {bn } ,使得对于任意的 n ? N ,都有 an ? bn ,则把

{bn } 叫做 {an } 的“弱数列”.设 an ? n3 ? n2 ? 2tn ? t 2 , bn ? n3 ? 2n 2 ? n ?
且 {bn } 是 {an } 的“弱数列” ,则实数 t 的取值范围是 ______.

5 , (n ? N ? ) , 4

11.圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形 (实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周顺时针滚动。经过若干次 滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 _______________. 三、解答题(第 12 题 15 分,13、14、15 题每题 25 分,共 90 分)
2 12.已知正数数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足: an ? an ? 2S n ? 0 , c n ? an bn,

(1)求数列 {an } 的通项公式;

?cn ?的前n项和Tn ; (2)若 b1 ? 1 求:数列 ,2bn ? bn?1 ? 0(n ? 2, n ? N * ),
(3)是否存在整数 m、M,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且 M ? m ? 4 ?说明 理由. 13.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (1)求证 A, B, C 成等差数列;

(2)若 b ? 3 ,求 2a + c 的最大值. 14. (1)已知 0 ? x ? 1 ,求证: x ?

3 ? 2x4 ? 2x ; 8

(2)已知 x, y, z ? 0 且 x ? y ? z ? 1 , 求 f ( x, y, z ) ? 2 x 4 ? y 2 ? z 的最大值和最小值. 15.求方程 x 3 ? y 3 ? x 2 y 2 ? ( x ? y) 2 z ? 0 的所有非负整数解.

解答
1D 2 B 提示: = 2 sin + = 2 sin + = 2 sin + = 3 sin + 因为T =
2

π + cos ? 3 6 π + cos + ? 3 3 2 π + sin + 3 3 π 3

,所以 = ,即w = 2.

2

3B 4C 5C 6 8 提示:要求 w 的最大值,不妨设 w>0. 要使 在(0, )上是减函数,结合余弦型函数图象知必需 ≥ ,即 ≥ ,故 w≤8.
8 2 8 8

当 w=8 时, = Acos(8x + 2π)(A>0)显然在(0, 8 )上是减函数,符合 w 的最大值为 8.



y

O

π 8

x

7

17 17

提示:如图,取 A 为原点,AB、AS 分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则有
13 17

AC=2,则有 AC=2,BC= 13,SB= 29,得 B(0, 17,0) 、S(0,0,2 3) 、C(2 0) ,所以 = (2
13 17

) ,

4 17





4 17

, ? 2 3).
17 17

因为 = 0, 17, 0 ,SC? = 4, = 4 17,所以 cosα =

,即为所求.

S

z

A B x
8
2 2 6

y

C
2 2

提示:由题设 ab= 6 × 2 × 2 + 2 ,可得e = =
1 3 2

9 2 2 10 ?∞, 2 ∪ ,+∞ 提示: = ? = n2 ? 2t ? 1 n + t 2 ? 4, 因为 是
5

的弱数列,所以 =≥ 0任意的n ∈ ? 均成立. 令?= 2t ? 1
2

? 4 2 ?

5 4 3

= ?4 + 6.

(1)当?≤ 0时,即:t ≥ 2时,题设成立; (1)当?> 0时,即:t < 2时,
3 2?1 2

< 1,即二次函数 的对称轴在 n=1 的左端,此时,
5 3

题 设 成 立 的 等 价 条 件 是 1 ≥ 0 , 即 1 ? 2t ? 1 + t 2 ? 4 ≥ 0 , 即 t 2 ? 2 + 4 ≥ 0 , 解 得 t ≤ 2 或 t ≥ 2,所以t ≤ 2.
1 3 1

由(1) (2)可知,t 的取值范围是 ?∞, 11
(2+ 2) 2

1 2



3 2

,+∞ .


提示:A 走过的路径由 9 段圆心角均为6 的劣弧组成,其中 6 个劣弧所在圆的半

径为 1,3 个劣弧所在圆的半径为 1,3 个劣弧所在圆的半径为 2, 所以点 A 走过的路径的长度 为6 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 =
(2+ 2)π 2

.

2 12 (1)令 n>1,? 1 + ?1 ? 2?1 = 0,所以 ? ?1 + ?1 + ? ?1 ? 2 = 0, + ?1 ? ?1 ? 1 = 0, 因此 ? ?1 = 1. 2 令 n=1,1 + 1 ? 21 = 0,1 = 1, = 1 + ? 1 = .

(2)因为



?1 1

= ,所以 = ( )?1 ,因此 = ( )?1 .
2 2 2 1 1

1

1

1

所以 = 1(2)0 + 2(2)1 + ? (2)?1 ,
1

2
1

= 1( )1 + 2( )2 + ? ( ) ,
2 2 2

1

1

1

2

= 1+ +?+
2

1

1 ?1 2

? ( ) ,
2

1

= 4 1 ? 1 =4?4 2

1 2




?

1 2

?1

1 ? 2 1 = 4 ? (2n + 4) 2 1 2
+1

?1



(3)由(2)可得: < 4.因为 +1 ? = 4 ? 2n + 6 = 所以 ≥ 1 = 1. 故存在整数 M=4,m=0 满足题目要求. 13 (1)因为b cos + 3 ? ? = 0,所以 sin cos + 3 sin sin ? sin ? sin = 0. 又 A+B+C=π,所以sin = sin( + ).所以 sin cos + 3 sin sin ? sin (B + C) ? sin = 0 sin cos + 3 sin sin ? (sin B cos + cos sin ) ? sin = 0. 3 sin sin ? cos sin C ? sin = 0 又 0<C<π,所以sin > 0.所以 3 sin ? cos ? 1 = 0 2(sin ?
6

? 4 + (2 + 4)

1 2



1 2



( + 1) > 0

3 1 ? cos ? ) = 1 2 2
6

2 sin cos ? cos sin

= 1.亦即2 sin B ?

6

=1

又 0<B<π ,所以 B=3 . 又 A+B+C=π,所以 A+C=
2 3



= 2.

所以 A、B、C 成等差数列. (2)由正弦定理
sin

=

sin

=

sin

,得 = = sin sin 3
3 2

即 = 2 sin ,c sin .所以2 + = 4 sin +2sin . 因为 B= ,所以 C=
3 2 3

? .所以 2 + c = 4 sin + 2 sin( = 4 sin + 2 ( 2 ? ) 3

3 1 cos + sin ) 2 2 = 5 sin + 3 cos = 2 7(sin ? 5 7 21 + cos ? ) 14 14 = 2 7 sin( + ) ≤ 2 7.
5 7 14

其中锐角φ满足sin = 因为A ∈ (0,
2 3

21 14

,cos =

.

),所以当 A 为φ的余角时,即2 7 sin + ? = 2 7时,2a+c 取最大值2 7.

14 (1) 因为0 ≤ x ≤ 1,所以 2 4 ? 2 = 2( ? 1)( 2 + + 1) ≤ 0 从而2 4 ≤ 2 因为0 ≤ x ≤ 1,所以 2 4 ? ? 从而x ? 8 ≤ 2 2 综上,x ? ≤ 2 2 ≤ 2x.(亦可用导数证明)
8 3 3

3 1 = × 2 ? 1 2 (4 + 4 + 3) ≥ 0 8 8

(2)一方面, ,, = 2 4 + 2 + ≤ 2( 4 + 2 + ) ≤ 2 + + = 2 当且仅x = 1,y = z = 0当时取等号. 从而 ,, 得最大值为 2. 另一方面, ,, = 2 4 + 2 + = 2 4 + 2 + (1 ? ? ) = (2 4 ? ) + 2 ? + 1

≥ ?
1 2

3 1 3 + ? +1= 8 4 8

当且仅x = y = ,z = 0当时取等号. 从而 ,, 得最小值为8. 15 (1)当x = 0时,方程变为 3 ? 2 = 0,即 2 ? = 0,所以 y=0 或 y=z. 0,0,m 、 0,m,m 为满足题意的解(其中 m 为任意的非负整数) (2)当时 y=0,同理可得 0,0,m 、 m,0,m 为满足题意的解(其中 m 为任意的 非负整数) (3)当x,y ∈ ?时,令a = x + y,b = xy, ,则原方程变为 2 + 3 ? 2 ? = 0. 考虑到a、b、z均为整数,从而判别式 ?= 92 + 42 ? = 2 (4 + 9 ? 4) 为完全平方数 又4a + 9 ? 4z为奇数,所以可设4a + 9 ? 4z = (2t + 1)(其中 t≥0) ,于是 2 a = + + ? 2 b= ?3 + ? = ( ? 1) 2
3

又a,b ∈ ? ,所以t ≥ 2 下面考虑平方数 (x ? y)2 = (x + y)2 ? 4 = 2 ? 4 = 2 ? 4( ? 1) 显然 ? 2 ? 1 ? 2 2 ≤ 2 ? 4( ? 1) < ? 2 ? 1 2 且 2 ? 4( ? 1) ≠ ? 2 ? 1 2 故2 ? 4 ? 1 = ? 2 ? 1 ? 2 2 即a = 2 ,故t + z = 2,所以 t=2,z=0 从而a = b = 4,x = y = 2 即此时方程的解为(2,2 ,0). 综上,方程的所有非负整数解为: (2,2,0) 、 (0,0,m) 、 (0,m,m) 、 (m,0,m) (其中 m 为任意的非负整数)


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