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海南省琼海市嘉积中学2013-2014学年度高三第一次月考理数试题


海南省琼海市嘉积中学 2013-2014 学年度高三第一次月考理数试题
(时间:120 分钟;满分:150 分)

大小关系是: A. f (? ) > f (?3) > f (?2) C. f (? ) < f (?3) < f (?2)

B. f (? ) > f (?2) > f (?3

) D. f (? ) < f (?2) < f (?3)

欢迎你参加这次的测试,祝你取得好成绩! 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? A. ( ? 2 , 0 ) B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) D. ( ? 2 , 3 )

9.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3 -ax2 -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于: A.2 B.3 C.6 D.9

10. 下列有关命题的叙述, ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题。 ②“ x ? 5 ”是“ x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件。 ③命题 P: ? x∈R,使得 x 2 +x-1<0,则 ? P : ? x∈R,使得 x 2 +x-1≥0。 ④命题 “若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , x=1 或 x=2” 则 的逆否命题为 “若 x ? 1 或 x ? 2, x 2 ? 3x ? 0 则 2 ? 错误的个数是: .. A.1 B.2 C.3 D.4 ” 。

3?i 2. i 是虚数单位,复数 = 1? i
A. 2 ? i C. 1? 2i B. 1 ? 2i D. 2 ? i

3. 执行右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是: A. ? 1 C.

2 B. 3
D.4

3 2

? x ? y ? 2, ? 11. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2, ?0 ? y ? 3, ?
A.7 12. 函数 f ( x ) ? ? B.4

则 z ? 2 x ? y 的最小值是: C. -5 D.-7

4.函数 y=

2-x 的定义域是: lgx B.{x|0<x<1 或 1<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1 或 1<x<2}

?2? x ? 1( x ? 0) ? f ( x ? 1) ( x ? 0)

若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不等的实数根,则实数 a 的取值

A.{x|0<x<2}

范围: A.(-∞,0)

B.[0,1)

C.[0,+∞)

D. (-∞,1)

5 5.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )= 2 1 A.- 2 1 B.- 4
2

二.填空题( 本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知全集 U,集合 A,B 则 (CU A) ? B ? 如图所示,

1 C. 4

1 D. 2

6. 已知命题 p:?x∈R,9x -6x+1>0;命题 q:?x∈R,sinx+cosx= 2,则: A. P 是假命题
1 2
?

B. q 是真命题

?

C.p∨q 是真命题

D. P ∧ q 是真命题 若 f(x)=g(x),则 x=________.

?

?

14. 已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图像上,点(- 2,

1 ) 在幂函数 y=g(x) 的图像上, 2

7. 给定函数① y ? x

?

,② y =2

x 2 ?3 x +3

,③ y = log 1 |1-x| ,④ y = sin
2

?x
2

,其中在 (0,1) 上单调递

15.已知二次函数 f(x)=ax2 +x 有最小值,不等式 f(x)<0 的解集为 A. 设集合 B={x||x+4|<a}, 若集合 B 是集合 A 的子集,则 a 的取值范围是 . 16. 已知 f(x)=ax2 +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],

减的函数个数为: A.0

B.1

C.2

D.3

则 y=f(x)的值域为________.

8. 定义在 R 上的偶函数 f (x) ,当 x∈[0,+∞)时, f (x) 是增函数,则 f (?2) 、 f (? ) 、 f (?3) 的

三、解答题: (有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=log2 (a -b ) 且 f(1)=1,f(2)=log2 12. (1)求 a、b 的值; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的最大值.

x

x

22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ABC 是直角三角形, ABC ? 90? , AB 为直径的圆 O 交 AB 于点 E , D 是 BC 以 点 ? ? A 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; E (2)求证: 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB O M B D C

1 18.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)的图像与函数 h(x)=x+ +2 的图像关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=x· f(x)+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的 长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 ? 为 ? cos( ? ? 19.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|. (1) 若不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 解不等式 f(x)>3x.

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程

?
4

) ? 2 2.

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

20.(本题满分 12 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出 场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)已知 x 、 y 都是正实数,求证: x3 ? y 3 ? x 2 y ? xy2 ; (2)设不等的两个正数 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ,求 a ? b 的取值范围.
3 3 2 2

2 2 21.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? {x | f ( x) ? 0} . (1)求区间 I 的长度; (区间 ( ? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) (2)给定常数 k ? ( 0 , 1 ) ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求区间 I 长度的最小值.

四、选做题:

19.(本题满分 12 分) 2 19 解:(1)当 x∈[-3,1]时,f(x)=(x+2)|x-2|=(x+2)(2-x)=-x +4.

海南省琼海市嘉积中学 2013-2014 学年度高三第一次月考理数答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 题号 B A D B A 答案 二、填空题: (每小题 5,共 20 分) 13、 15、 ____{5,6} __ 14、 1 或-1 16、
31 {y|1≤y≤ } 27

∵-3≤x≤1,∴0≤x ≤9.于是-5≤-x +4≤4, 即函数 f(x)在[-3,1]上的最大值等于 4. ∴要使不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,实数 a 的取值范围是[4,+∞).

2

2

6 C

7 C

8 A

9 D

10 B

11 C

12 D

(2)不等式 f(x)>3x,即(x+2)|x-2|-3x>0. 当 x≥2 时,原不等式等价于 x -4-3x>0,解得 x>4 或 x<-1. 又∵x≥2,∴x>4. 当 x<2 时,原不等式等价于 4-x -3x>0,即 x +3x-4<0,解得-4<x<1.满足 x<2. 综上可知,原不等式的解集为{x|x>4 或-4<x<1}. 20.(本题满分 12 分) 20 解:(1)当 0<x≤100 时, p=60;当 100<x≤600 时,p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
?60, 0<x≤100, ? ∴p=? ?62-0.02x, 100<x≤600. ?
2 2 2

(0, 5-2]

三、解答题: (有 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 12 分)
?log2 ?a-b?=1, ?a-b=2, ? ? 17 解:(1)由已知得? 所以? 2 解得 a=4,b=2. 2 2 2 ? ? ?log2 ?a -b ?=log2 12. ?a -b =12.

(2) 设利润为 y 元,则当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时,y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x .
?20x, 0<x≤100, ? ∴y=? 2 ? ?22x-0.02x , 100<x≤600.
2

1 x x x 1 2 (2)f(x)=log2 (4 -2 )=log2 [(2 - ) - ], 2 4

1 x 1 2 令 u(x)=(2 - ) - . 2 4

由复合函数的单调性知 u(x)在[1,2]上为增函数, 12 1 2 所以 u(x)max=(2 - ) - =12, 所以 f(x)的最大值为 log2 12=2+log2 3. 2 4

当 0<x≤100 时 ,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时,y=22x-0.02x =-0.02(x-550) +6 050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050.
2 2

18 解:(1)∵f(x)的图像与 h(x)的图像关于 A(0,1)对称,设 f(x)图像上任意一点坐标为 B(x,y), 其关于 A(0,1)的对称点为 B′(x′,y′),

显然 6 050>2 000. 21.(本题满分 12 分)

所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元.



? ?y′+y ? 2 =1,
x′+x =0, 2

21 解:(1) f ( x) ? 0 ? x( x ?
?x′=-x, ? ∴? ?y′=2-y. ?

∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ 1 ∴2-y=-x- +2. x 1 ∴y=x+ . x

1 +2. x′ 1 即 f(x)=x+ . x

(2) g(x)=x2 +ax+1,∵g(x)在[0,2]上为减函数, a ∴- ≥2,即 a≤-4. 2 ∴a 的取值范围为(-∞,-4].

a )?0 1? a2 a a a ?a ? 0 ? 0 ? x ? . 故区间 I ? ( 0 , ) 其长度为 2 2 1? a 1? a 1? a2 1? a2 (a ? 1)( a ? 1) a ?? (2) 设 g (a ) ? ,则 g ?(a ) ? 2 2 2 (1 ? a ) (1 ? a 2 ) 2 1? a ?1 ? k ? a ? 1 ? k ?a ? 1 ? 0 当 1 ? k ? a ? 1 时, g ?(a) ? 0 , 当1 ? a ? 1 ? k 时, g ?(a) ? 0 在 [ 1 ? k , 1 ] 上 g (a ) 递增,在 [ 1 , 1 ? k ] 上 g (a ) 递减。 故 g (a ) 的最小值只能在 a ? 1 ? k 或 a ? 1 ? k 处取得

1 1 (1 ? k ) ? 1? k 1? k 1 1 1 1 2k 2k 3 又 (1 ? k ) ? ? [(1 ? k ) ? ]? ? ? 2k ? ? 2k ? ?0 1? k 1? k 1? k 1? k 1? k 2 1? k 2 1 1 , 从而 g (1 ? k ) ? g (1 ? k ) ? (1 ? k ) ? ? (1 ? k ) ? 1? k 1? k 1? k 故 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,当 a ? 1 ? k ,区间 I 长度的最小值为 1 ? (1 ? k ) 2 (1 ? k ) ?
22.(本题满分 10 分) 22.证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H 因为 DE 2 ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH )

g (1 ? k ) ?

1? k ? 1 ? (1 ? k ) 2

1

, g (1 ? k ) ?

1

? DM ? DO ? DM ? OH 1 1 所以 DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2 2 所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

x2 ? y 2 ? 1,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 23.(1)曲线 C: 3 (2) 3 2
24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 24.(1)证明:由 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y ) ? y ( y ? x)
3 3 2 2 2 2

? ( x ? y)( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y ) 2 ( x ? y )
又 x 、 y 都是正实数, 所以 ( x ? y ) ? 0 、 x ? y ? 0 ,即 ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? 0
2 3 3 2 2

所以 x ? y ? x y ? xy
3 3 2

2

(2) 0 ? a ? b ?

4 3


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