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1.7.1-定积分在几何中的应用(教学用)


第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用

紐绅中学

一、复习引入

1、定积分的几何意义: b 当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a

x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y = f (x ) y

Oa

b x

O a

b x

y = f (x )

2.微积分基本定理:
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 且F?(x)=f(x),那么:

?

b

a

f ( x)d x = F (b) ? F (a)

注:关键是求f(x)的一个原函数F(x)!

二、新课探究
1.几种典型的平面图形面积的计算: 类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y

y = f ( x)

y

y = f ( x)
c
(3)

o

a
(1)

b
b
c

x

oa
(2)

b

x

(1) S = ? f ( x)dx
a
a

(3) S =| ? f ( x)dx | ? ? f ( x)dx = ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
c a c

b

(2) S = ?? f ( x)dx
c

b

a

b

类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y = f ( x)
y = g ( x)

y

y = f ( x)

o

a
y = g ( x)

b x
(2)

(1)
b b b

(1) S = ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx = ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
(2) S = ? f ( x)dx? | ? g ( x)dx |= ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a a a

a b

a b

a b

例题讲解

例 1. 计算由两条抛物线 y = x 和 y = x 围成图形的面积.
2

2

分析:首先画出草图.从图中可 以看出,所求图形的面积可以转 化为两个曲边梯形面积的差,进 而可以用定积分求面积s.为了确 定出被积函数和积分的上、下限, 我们需要求出两条曲线的交点的 横坐标.

y

y = x2

o

y =x
2

x

解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
? ?x = 0 ?x = 1 ?y = x 解方程组? ? 或 ? ? 2 ? ?y = 0 ?y =1 ?y = x


y y= x
2 y C =x

B

即两曲线的交点为(0,0),(1,1)

y = x2

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
=?
1 0

o D O

y = xx
A


2

xdx ? ? x dx
2 0

1

3 3 1 2 x 2 1 2 S = ( x - x )dx = ( x ? ) |0 = . 0 3 3 3

?

1

2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限)

(3) 写出平面图形的定积分表达式;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

例2.计算由曲线 y = 2 x 直线y=x-4以及x轴围成图形 的面积. 解: 作出y=x-4, y = 2x 的图 象如图所示:
? y = 2x 解方程组: ?

得:直线y=x-4与 y = 2 x 交点为 (8,4)直线y=x-4与x轴的交点为 (4,0) 因此,所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差: 8 8 40 本题还有其他解法吗? S = ? 2 x dx ? ? ( x ? 4)dx = 0 4 3

?y = x ? 4



另解1:将所求平面图形的面 积分割成左右两个部分。
S = S1 ? S2 = ?
4



y = 2x

4

0

2 xdx ? [?

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

S1

S2


8 8 3 2 2 3 2 2 1 40 2 2 = x ? x ? ( x ? 4) = 3 3 2 3 0 4 4

y = x?4

另解2:将所求平面图形的面积 看成位于y轴右边的一个梯形与 一个曲边梯形的面积之差,因此 取y为积分变量, 还需要把函数y=x-4变形为 y2 x=y+4,函数 y = 2 x 变形为 x =





S = ? ( y ? 4)dy ? ?
0

4

4

0

y 40 dy = 2 3

2

2

思考?如图将曲线沿x轴旋转, 与直线相交于一点,求曲线 与直线围成的面积。 解法1:
S = 2S1 ? S2 = 2?
2 0 2 8 0 2

S1

S1

S2

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

8

= ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 = x |0 ?( x ? x ? 4 x) |2 = ? ? = 18 3 3 2 3 3 3

思考?将取y为积分变量, 把函数y=x-4变形为x=y+4, y2 函数 y = 2x 变形为 x = 2
A

解法2:

y S = ? [( y ? 4) ? ]dy ?2 2
4

2

B

y = 2

2

y ? 4y ? 6 ?2 ?2

4

4

3

4

= 18

?2

课堂练习
练习1. 求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围

成的图形的面积。
解:如图:由x2-1=0得到抛物线

与x轴的交点坐标是(-1,0),
(1,0).所求面积如图阴影所示: 所以:

y

S = ? ( x ? 1)dx ?? ( x ? 1)dx
2 2 1 ?1

2

1

x

x x 8 = ( ? x) ? ( ? x) = 3 3 3 1 ?1

3

2

3

1

练习2. 求抛物线y=x +2与直线y=3x和x=0 所围成的图形的面积。
解:
y
2 2

2

S = ? ( x ? 2 ? 3x)dx ? ? (3x ? x 2 ? 2)dx
0 1

1

x 3x 3x x = ( ? 2x ? ) ?( ? ? 2 x) 3 2 0 2 3 1 5 1 = ? =1 6 6

3

2

1

3

3

2

x

课堂小结 1.思想方法: 数形结合及转化.

2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

作业:优化设计


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