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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数的几何意义


3.1.2

3.1.2
【学习要求】

复数的几何意义

1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示
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复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 【学法指导】 通过类比实数可用数轴上的点来表示,认识复数用点和 向量表示的合理性,体会数形结合思想在理解复数中的 作用.复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法 几何意义的基础,所以理解并掌握复数的几何意义具有 承上启下的重要作用.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.2

1.复数的几何意义
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(1)复平面的定义

复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴 实轴 虚轴 叫做______,y轴叫做______.实轴上的点都表示实数;
除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数与点、向量间的对应 ①复数z=a+bi(a,b∈R)

Z(a,b) 复平面内的点______;

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.2

②复数z=a+bi(a,b∈R) 2.复数的模
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→ OZ=(a,b) 平面向量___________.

→ → 复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ ,则OZ 的模叫做复 a2+b2 数z的模,记作|z|,且|z|=_________.

研一研· 问题探究、课堂更高效

3.1.2

探究点一
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复数与复平面内的点

问题1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样 来表示呢?

答 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b) 一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集可 以建立一一对应.

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3.1.2

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小结

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x

轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实 数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

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3.1.2

问题2 判断下列命题的真假: ①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;
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③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; ④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数; ⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.
答 根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实 数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0) 表示实数2,因此①③是真命题;

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3.1.2

根据虚轴的定义,y轴叫虚轴,显然所有纯虚数对应的点都 在虚轴上,如纯虚数5i对应点(0,5),但虚轴上的点却不都是
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纯虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定 的复数是z=0+0i=0表示的是实数,故除了原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题;
对于非纯虚数z=a+bi,由于a≠0,所以它对应的点Z(a,b) 不会落在虚轴上,但当b=0时,z所对应的点在实轴上,故 ⑤是假命题.

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例1

在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对

应的点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上, 分别求实数m的取值范围. 解 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-
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2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1. ?m2-m-2<0 ? (2)由题意得? 2 , ?m -3m+2>0 ? ?-1<m<2 ? ∴? ,∴-1<m<1. ?m>2或m<1 ?
(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2, 故m=2.

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3.1.2

小结 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对
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应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平 面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判 断复数实部、虚部的取值.

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跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2 -2m-15)i (1)对应的点在x轴上方;
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(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3,或m>5,

所以当m<-3,或m>5时,复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 5 得m=1,或m=-2,所以当m=1,或m=-2时, 复数z对应的点在直线x+y+4=0上.

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探究点二
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复数与向量

问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系?
答 当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确 定,从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.

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问题2 怎样定义复数z的模?它有什么意义?
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→ 复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量 OZ =(a,b)的

模,记作|z|或|a+bi|. |z|=|a+bi|= a2+b2可以表示点Z(a,b)到原点的距离.

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3.1.2

例2 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R),
∴|z|= 32+a2, 由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(- 7, 7).
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方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对 应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知:- 7<a< 7.

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3.1.2

小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的
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条件,是一种复数问题实数化思想;根据复数模的意义,结 合图形,可利用平面几何知识解答本题.

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1 跟踪训练2 求复数z1=3+4i,z2=- - 2 i的模,并比较 2
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它们的大小.
解 |z1|= 3 +4 =5,|z2|=
2 2

12 3 2 ?- ? +?- 2? = . 2 2

3 ∵5> ,∴|z1|>|z2|. 2

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跟踪训练3 设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图 形? (1)|z|=2;(2)|z|≤3.
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→ 解 方法一 (1)复数z的模等于2,这表明向量 OZ 的长度等 于2,即点Z到原点的距离等于2,
因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半 径的圆. (2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心,以3为半 径的圆及其内部.

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3.1.2

方法二

设z=x+yi(x,y∈R).

(1)|z|=2,∴x2+y2=4,
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∴点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆. (2)|z|≤3,∴x2+y2≤9. ∴点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于
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( B )

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

解析 ∵z=i+2i2=-2+i,
∴实部小于0,虚部大于0, 故复数z对应的点位于第二象限.

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2 2.当 <m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应 3 的点位于 A.第一象限
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( D ) B.第二象限 D.第四象限

C.第三象限

解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1).

2 由3<m<1,得3m-2>0,m-1<0. 所以点Z位于第四象限.故选D.

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→ 3.在复平面内,O为原点,向量OA 对应的复数为-1+2i, → 若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 OB 对应的 复数为
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( B ) B.-2+i D.-1+2i

A.-2-i C.1+2i

解析 ∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),
→ ∴向量OB对应的复数为-2+i.

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4.在复平面内表示复数z=(m-3)+2
9 上,则实数m的值为________.
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m i的点在直线y=x

解析 ∵z=(m-3)+2 mi表示的点在直线y=x上,
∴m-3=2 m,解之得m=9.

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1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对
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应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应; 2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数 的实虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.


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