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一个课本题根及其变式的探究


4  

善 9   冀  琵 %  穸  

中学数 学杂 志

2 0 1 5年第 1 1 期 



个 课 本  楸 及 其 
广 东省 兴 宁市第一 中学  5 1 4 5 0 0   f ¨ J 洪标

探 究 
蓝 云波 

人们都 说 木 有 本 , 水有源 , 题 有根. 要 想 脱 离 茫 

茫 的题海 , 必 须追 根 溯 源 . 所谓题 根 , 就 是 那 些 源 于  基础 , 又 高于基 础 , 提 炼 于解 题 实 践 , 又 能广 泛 应 用  于解 题实践 的结 论 、 习题 、 例题 、 各类 试 题 . 在平 时 的  解题 训练 中 , 若 能重视 题根 及其 变式 的应 用 , 总 能达  到举 一反 三 、 跳 出题 海并 提 高解 题 能力 的功 效. 本 文  以课 本 中的一 个 著名 题 根 为 例 , 结 合 今 年 的 高考 题  和模 拟题谈 谈 它及其 变式 的应 用 , 现 分析 如下 .  
1   课 本题 根及 其应用 

点评  本题 直 接考查 了课 本 的一 个题 根 , 体 现 

出高考源于课本高于课 本的原则. 是课 本题根的直 
接 应 用.   例2 ( 2 0 1 5 年 广 东卷 ) 设 口>1 , 函数- 厂 (  ) = = ( 1  
十  。 ) e  一1 7 , .  

(I)求 厂 (  )的单调 区 间 ;   ( I 1 )证 明  x ) 在( 一o 。, +。 。 ) 上 仅有 一个 鸳 
点;  

题根

( 人教 A版选 修 2 - 2教材第 3 2页 习题 B  

( 1 1 1 )若 曲线 Y- - f (  ) 在点 P处 的切 线 与 轴平  行, 且在 点 M( m, n )处 的切 线 与直 线 O P平行 ( 0是 
厂一  

组 第 1大题第 3小题 ) 利用 函数 的单 调性 , 证 明不 等 
式 e   > 1+x ( x≠ 0 ) .  

分 析  要证 明不 等式 , 常见 的做法 是 作差 或 作  商, 然后 通 过 构 造 函数 , 利 用 其 最值 证 明不 等 式. 结  合 此题 , 可用 作差 法.  
证 明  设  ) =1+   —e   ,   ∈( 一∞ ,   ∞),  

坐标原点) , 证明: m≤ . / n一 二 一1 .  
e  

分 析  (I)可 利 用 导 数 研 究 函数 的 单 调 性 .  
(U)可利 用 函数 零点 存 在定理 , 结 合 函数 单调 性 使 

问题得 到证 明. ( 1 1 1 )利 用 导数 的几何 意 义得 出一 个  等式 , 结合所 要证 的结 论并 利用 分 析法 , 在 进行 等 式 
代换 后 , 可知最 后 只 需 证 明 的不 等 式 即是 本 文 所 给 
出 的题根.  

贝 0 厂(  ) :1一e   , 令 厂(  )>0 , 得  <0 , 令厂(  )<  

0 , 得  > 0 . 所 以, (  )在 ( 一。 。, 0 )上单 调 递 增 , 在 

( 0 , +。 。 ) 上单调递减. 所以当  ≠0 时 

)<  0 )  

=0 , 丑 口1+   —e  <0 , 所以 e  >   +1 (  ≠ 0 ) .  

解 析  (I)因为厂(  ) =2 x e  +( 1 +  ) e   =(   +1 )   e   ,   ∈R. 因为对 任 意  ∈R, 都有  (  )≥ 0 ,   所以厂 (  )的单调 递增 区 间为 ( 一∞ ,+∞), 无单 调  递减 区问 ;  
( Ⅱ) 证 明  由(I) 知  ) 在( 一。 。 ,+∞) 上 

点评  本 题难 度虽 不大 , 却是 非 常重要 的不 等  式, 在各类 考试 中经 常考查 , 其重 要性 不 亚 于课 本 中 
的重 要 定义 、 定理 、 性质.   例 1  ( 2 0 1 5年 湖北 卷 第 2 2题 第 1问)求 函数 
/   1、  

且 0 ) =1 一 n<0   ) =1 +  — e   的单调区间, 并比 较l \   1 + - n 二 。 , l与e     单调递增 ,
的大 小.  
n=0 ( e , / a 一 ‘一 1 )
> 0,  


_ 丁 )= n e  ~ 一  

因为0>1 , 所 以0 —1 >0 , 、 / / 0一l  
> 1 ,故 e  ~ 一 1 > 0 , 故 

分 析  利 用本文 的题 根 , 并进 行 恰 当赋 值 , 即 
可 得 到所证 不 等式.   解析  )的定 义 域 为( 一∞ , +   )   (  )=  

所 以 e  

)> 0 , 所以 ] X o∈ ( 0 ,  


_ 丁 ), 使 得 

1一e   , 令 厂(  )>0 , 得  <0, 令 厂(  )< 0 , 得  >   0 . 所 以  )的单调 递增 区间 为( 一∞ , 0 ), 单 调 递减 
区间为 ( 0 , +∞) . 当  >0时 
+  < e x

) =0 , 又 因为  )在( 一∞ ,+∞)上单 调递 增 ,  

所 以 

) 在( 一∞ ,+。 。 ) 上 仅有 一个零 点 ;   厂(  ) =(   +1 )   e   , 令厂(  ) =0 . 解 

)<   0 ) =0 , 即1  

( Ⅲ) 证明

令  :一 1
, ,

得1 +  < 。   , 即 f   1 +  1  <   得   : 一 1 , 所 以 点 P f 一 1 ,  一 n 1 , 所 以 . j } 卯 : 。 一  .  

本文是 广东省 “ 十二五” 规划立项课题《 山区高中数学 分层教学 的策略研究》 的阶段性 研究成果 . 课题批准编号 : 2 0 1 3 Y Q J K1 9 5  
38  

中学数学杂志

2 0 1 5 年第 1 1 期 

笔%  4  

萎 ,   奠   荡 2   绣 _ 乏  

又 因为 . 厂 ( 7 2 )在 点 M( m,   )处 的 切 线 与 直 线 O P平 
, )  

行, 所 以  ( m) =k 。 , , 即( m +1 )   e  =口一二 . 而要证 
e 

令   …  , 小 即 一  , 朋 可 得 (  )   ”  
< e~ :  

厂—  m ≤
一   一

, )  

. 

1 , 只需 证 ( m +1 )  ≤ 0一二 ,  
e 
, ’  

、 ,  

e 

令 川=  
< e~ n -1 ) :  

一  朋 (  )  
= 一   朋(  ) ”  
一  , 州  ) 川  

而( m +1 )   e  =口一二 , 只需 证 ( m +1 ) 。≤ ( m  
e 

+1 )   e  , 只 需证 m +1≤ e   .  

令 川:  
令 …=  
< e- 1
. 

构 造 函数 h (  ) =e  一   一1 ,   ∈R. 所 以h   (  ) =   e  一1 . 令h   (  )>0 , 解 得  >0 , 令h   ( . 2 7 )<0 , 解 得  <0 .所 以 h ( 7 2 )在 ( 一o 。, 0 )上 单 调 递 减 ,在  ( 0 ,+∞) 单 调递 增 , 所以 九 (  )≥  ( 0 ) =0 , 所以 e  
厂 ——  

≥  - - I 1 , 所 以 m +1≤ e   , 所以 m≤ .   一二 一1 得 
\ /   e  

证.  

点评  本题 以课本 的一个题根 为依托进行构  建试题 , 考查 了导数在研究函数 中的应用 和分析法.  
第 三 问较 为 隐蔽 , 若 能利用 分 析法进 行 逆 向思 考 , 则  能化 难 为易.  
例3 ( 2 0 1 5年 陕 西省 高三教 学质 量 检 测 试 题 





把 以 上 各 式 相 加 得 : (  )  + (  )  +   (   )< e - n + e - ( n - 1 ) + . 一  - I  
=— — 1一 —e   —

- n ( 1一e   )   e 一  一 1   l—e  

: —1 一 —e   =— e— 一1   一 <— e一 —1  < J .  

1  

.  

故  任 意 的正整 数 n , 都有 l   ¨ +2   +3  ’+  


+n  

<( n+ 1 、  

.  

二 )设 函数  ) :e  一a 2 7 —1 .  

点 评  本题 是课 本题 根 的精彩 应 用 , 与数 列 知 

( I ) 若函数I 厂 (   ) 在 R上单调递增 , 求a 的取值 
范围;  

识进行交汇 , 体现出在知识交汇处命题的思路 , 并由   此得到一个优美的数列不等式 令人拍案叫绝.  
2   题根 变式 及其 应用 

( 1 1 )当 a > 0时 , 设 函数  )的最 小 值 为 
g ( a ) , 求证 ; g ( a )≤ 0 ;   ( 1 U)求证 : 对 任 意 的正 整数 , 都有 1   ,2 ”  
+3 “   + … +n n + 1< f   n+: 1 ) n + 1 .  

题根 固然重要 , 其 变式 也 不 可轻 视. 由本 文 题根 
知, 当  >一1 且 ≠ 0时 , 恒有 e  >   +1 , 两边 取对 

数得 : n e  >I n (   +1 ) , 所 以当 A>一 1 且  ≠ 0时 ,   恒有  n (  +1 )<   成 立.   例4 ( 2 0 1 5 年 福 建卷 第 2 0 题第 1 问)已知 函数 
) =I n ( 1+  ) , 证明: 当  > 0时 , .   )<  .  

分析  (I)利 用 等 价 转 化 变 为 恒 成 立 问 题.  

( I / ) 利用导数研究 函数的最值. ( I I I )由题意得 出课  本题 根 , 并 进行恰 当赋值 , 化 为等 比数列 求 和问题 .  
解 析  (I)由题 意知  (  ) =e  一a≥ 0 对  ∈  

分析  由题 根 变 式 显 然 得 证 , 还 可 使 用 作 差  法, 构 造 函数通 过最 值证 明不 等式.   解 析  令 F( x ) : _ 厂 (  )一   =1 n (   +1 )一  ,  ∈  
: 0 ,+ ∞ ) .  

R恒 成立 , 且 e  > 0 , 故 a的取值 范 围为 a≤ 0 .   ( 1 I 。 )由 a >0 , 及f( 7 2 ) =e  一a可得 , 函数  )   在( 一∞ , l n a )上单 调递 减 , 在( 1 n a ,+。 。 ) 上 单 调 递  增。 故 函数  )的 最 小 值 为 g ( 。 ) =  l n a )=e   。一  
a l n a一 1=a—a l n a—l , 贝 0   g   ( a ) = 一l n a , 故 当 a∈  

则有 F   )  

一 J= 一  

,当   ∈  

( 0, 1 )时 , g   ( a )>0 , 当 a∈ ( 1 ,+。 。 )时 , g , ( a )<  
0 ,从 而 可 知 g ( a )在 ( 0 , 1 )上 单 调 递 增 , 在 

( 0 ,+o 。 )时 ,  ( 7 2 )<0 , 所 以 F(  ) 在f 0 ,十∞) 上 

单 调递减 , 故 当  >0时 , r( x )<  ( 0 ) =0 , 即当  >  
0时  )<  .  

( 1 , +∞)上单 调递 减 , 且g ( 1 ) =O, 故g ( 0 )≤ 0 .   ( 1 1 1 )由 ( 1 I )可知 , 当 口=1 时, 总有 - 厂 (  ) =e  一  

点 评  本题 考查 了本 文课 本题 根 的 变式 , 它 在 

1 ≥0 , 当且仅 当  = 0 时等号成立. 故当   >0 时,   总有 e  >   +1 . 于是可得 (   +1 )”   <( e   )   =  


解题中也具有重要地位. 以此 变式 为依据的考题屡  见 不鲜 , 应 引起 足够 的重 视.  
列5  ( 2 0 1 5 年 广 东卷 、 数 列  , } 满足 : a  +2 n  

(  


1 )  
。  

 

0  

辩 %  露  露  名   吵  

中学数学 杂 志

2 0 1 5年第 1 1 期 

+… . . .+ +   n 。  = :   4一   _  

, , n ∈  ∈ N  .  

等+ ( 1 +   1 + 了 1 + . . ? +   n \   2 n - l  


(I) 求0  的值 ;   ( Ⅱ)求数列 { 口   }的前 n项和  ;  
( Ⅲ) 令 6   = a 1 , 6   =   +  
C 




(   一  一   )+ C n (   —   一   )  

C n  

—  

l  

所 以 当  ≥ 2时 , S  =b 1+b 2+… +b  =1+  
( c 2 T z— C l   T 1 )+ ( c 3 T 3一 c 2 T 2 )+ … + ( C n   —  
c 


( 1 +   1 + … +   ) 。   ( n ≥ 2 ) . 证 明 : 数 列 { 6   } 的 前  
n项和 5   满足 5   <2+2 1 n n .  

1  

一1

)  
—c l   T1=  

=1+c  

分析  (I)逐 一 赋值 可 求 解 , 两 式 相 减 更 快  捷. (Ⅱ)继续 两式 相减 , 注 意 n=1的讨 论. ( 1 1 I )由  ( Ⅱ)所求 结 果代 入进 行化 简求 和 , 可用 裂项 法进 行 
求和 , 再进 行适 当放缩 , 通 过题 根变式 使 问题 得 到 圆  满 解决 .  

(   +   1 +   3 + … +   1 ) ( 2 一   1 ) <  
2 (   +   1 + 了 1 +   ? ? +   ) .  
1  
=  


.  

设  ) = I n (   +1 )一  , 一1<   <0 , 所 以厂(  )  

解析  (I)因 为 口 1+2 0 2+… +n o  =4 一  

1 = 一  

>0 , 所以   ) 在( 一1 , o ) 上单 
)<   0 ) , 即l n ( x  

等 ; 当   : 2 时 ,  2  4 一   - 2 ; 当 一3  
=4   一— 2   — =~   , 两 式相 相  减得 得 , 。 n , .   4 ’ 。   ’   ’  ’  
: 一   : ~
一  

调递增 , 所 以当 一1<   <0 时 

1 1

+   , <   , 令   = 一   n   c n ≥ 2 , 得   n ( 、   一  + n  ,   )   < 一  





所 以  <1  —  (  ≥ 2 ).  

1   4  



+  

:4

等 ①   . 所 以  


… +  

+ . . 一 

所 以当 n≥ 2时 ,  
n  +2 a 2+. _ ? +( 凡一 1 ) 口   =4一   n+l

所 以 凡≥ 2时 , S  <2 ( 1+I n n )=2+2 I n n . 当n  

② 

:1 时, S  =b 1 : 1< 2=2 +2 1 n 1 .  

综上 , 对任 意 正整数  , 恒有 S  <2+2 1 n n .   点 评  本题 以数 列 为载体 , 考 查 了题 根变 式 的  重要 应 用. 若 能 在 平 时 的解 题 训 练 中注 重 题 根 及 其  变式 , 在求 和之 后不难 使命 题得 到证 明.   通 过对 一个 课本 题 根 与 其 变 式 的分 析 , 沟 通 了 
知识 的 内在 联 系 , 发 散 了数 学 思维. 使 无 边 的 题海 化 

① 减去 ② 得 n n  =   n+l


n +2
 

=   ,  

所以 口 ,   =  1
. 

项公 式 。  =  1  
. 

为有边 际 的绿洲 , 能 有效 地提 高学 生 的学 习效 率 , 并 

达到举一反三 、 触类 旁通 的效果. 在 以后 的教学 中,  

所 以   = 口   + 。 : + … + 。   =   + 丢 +  + …  视.  
去 2  
卜 一 

题根 教学 是极 为 重要 的一 环 , 要 引起 教 师 的足 够 重 

1一   2.   一 。  
.  

作者简介

何 洪标 , 男, 汉族 , 广 东兴 宁人 . 1 9 6 8年 7月  

生, 中学高级教师 , “ 嘉应名师 ” , 兴 宁市“ 学科 带 头人 ” , 兴 宁 


中数 学教研 组长. 发表论 文多篇 .  
蓝云波 , 男, 汉族 , 广 东兴 宁人 . 1 9 8 1 年1 0月生. 中学一级 

即数 列 { 。   }的前  项 和  =2一  

教 师. 致 力于高中数 学教 学和初 等数 学研 究工作. 已在 《中学 

( Ⅲ ) 设 。   : 1 +  + Z  j ÷+  … + 一 n 1   . 贝 0 凡 ≥ 2 时 ,  

数学杂志》 等专 业期刊发表论 文二 十余篇.  


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