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黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试文科数学试卷


齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期中考试

数学试题(文)
本卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第I卷
的)

(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,

共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求

1. 若复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为( A.﹣4 B. C.4

) D.

2. z 是 z 的共轭复数,若 z ? z ? 2 , ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z =(



A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i 3. 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A. 大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无理数;结论:π 是无限不循环小数 B. 大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无限不循环小数;结论:π 是无理数 C. 大前提:π 是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π 是无理数 D. 大前提:π 是无限不循环小数;小前提:π 是无理数;结论:无限不循环小数是无理数 4. 若 A. 1

?1 ? 3i 是方程 x2+px+1=0 的一个根,则 p=( 2
B. 2 C. 3 D. 4



5.下列命题中正确的个数为________. ①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集; ②复数 z 是实数的充要条件是 z ? z ; ③复数 z 是纯虚数的充要条件是 z ? z =0; ④i+1 的共轭复数是 i-1. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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6. 阅读如下左图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈ (10,20) ,那么 n 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7. 如上右图为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )

A.i>20

B.i<20
2

C.i>=20

D.i<=20

8.设函数 f ( x ) ? g ( x ) ? x ,曲线 y ? g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为( A. 4 B. ? )

1 4

C. 2

D. ?

1 2

9. f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 ,且 f ( ?4) ? 0 ,则不 等式 xf ( x ) ? 0 的解集为( )

A. ( ?4, 0) ? (4, ?? ) B. ( ?4, 0) ? (0, 4) C. ( ?? , ?4) ? (4, ?? ) D. ( ?? , ?4) ? (0, 4) 10. 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f′(x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( ) A. B. C. D.

11.已知曲线 y ?

1 3 4 x ? ,则过点 P (2, 4) 的切线方程是( 3 3
B. 4 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 0



A. 4 x ? y ? 4 ? 0 或 y ? x ? 2 C. x ? 4 y ? 14 ? 0

12.设 D 是函数 y ? f ( x ) 定义域内的一个区间, 若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? ? x0 , 则称 x0 是
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, 也 称 f ( x) 在 区 间 D 上 存 在 “ 次 不 动 点 ” ,若函数 f ( x) 的 一 个 “ 次 不 动 点 ”

5 f ( x ) ? ax 2 ? 3 x ? a ? 在区间 [1, 4] 上存在“次不动点” ,则实数 a 的取值范围是( 2
A. ( ?? , 0) B. (0, )



1 2

C. [ , ?? )

1 2

D. ( ?? , ]

1 2

第 II 卷
13. 已知函数 y=

(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) ,如右图表示的是给定 x 的值,求其 ;②处应填

对应的函数值 y 的程序框图,①处应填写 写 .

14. 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照下面的规律,第 n 个“金鱼”图 需要火柴棒的根数为 .

→ → → → 15. 如图,设向量OP,PQ,OQ,OR所对应的复数分别为 z1,z2,z3, z4,那么 z2+z4-2z3=______________. 16. 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? x ? 2(a ? 0) 的极大值点和极小值点
3 2

都在区间 ( ?1,1) 内,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算

i?2 3 1 ? 2 3i

+(5+i19)- (

1? i 2
+

)22 .
> + .

18. 用指定方法证明不等式: (Ⅰ)分析法; (Ⅱ)反证法.

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19. 已知 z 为复数,z+2i 和 (Ⅰ)求复数 z;

均为实数,其中 i 是虚数单位.

(Ⅱ)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 20. 已知函数 f(x)=alnx+ x +(a+1)x+3 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的单调递减区间. (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 21. 已知 x=4 是函数 f(x)=alnx+x ﹣12x+b 的一个极值点, ( a,b∈R) . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数 y=f(x)有 3 个不同的零点,求 b 的取值范围. 22. 已知函数 f(x)=4x ﹣3x cosθ+
3 2 2 2

2

cosθ 其中 x∈R,θ 为参数,且 0≤θ≤2π.

(1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围.

齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期中考试

数学试题(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求 的)

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题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 1

1 2

1

D

D

B

A

A

B

A

A

D

A

A

D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13. ① x ? 2 ;② y ? log 2 x 15. 0 14. 6n ? 2 16. ( 3, 2)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: 5 ? i 18.证明: (Ⅰ)分析法:要证 只要证 即证 8+2 而 > >

+



+ ,



>8+2 ,即证 > . 显然成立,故要证的不等式成立. +

(Ⅱ)反证法:假设证

?<

+

,则

?



故有 8+2 ,即 ,矛盾,故假设不成立. ? 8+2 ? 故要证的不等式成立. 19.解: (Ⅰ)设复数 z=a+bi(a,b∈R) ,由题意,z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i∈R, ∴b+2=0,即 b=﹣2. 又 ∴2b+a=0,即 a=﹣2b=4.∴z=4﹣2i. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 z=4﹣2i, ∵(z+ai) =(4﹣2i+ai) =[4+(a﹣2)i] =16﹣(a﹣2) +8(a﹣2)i 对应的点在复平面的第一象限, ∴ 解得 a 的取值范围为 2<a<6. 20. 解: (1)a=﹣1 时,f(x)=﹣lnx+ x +3, ∴f′(x)=x﹣ , 令 f′(x)<0,解得:0<x<1, ∴f(x)在(0,1)递减;
2 2 2 2 2



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(2)∵f′(x)= +x+a+1, (x>0) , 令 f′(x)≥0,即 +x+a+1≥0, 整理得:a(1+x)≥﹣x(1+x) , ∴a≥0. 21. 解: (1) f ?( x ) ?

a ? 2 x ? 12 ( x ? 0 ) x a ? 8 ? 12 ? 0 ,解得 a ? 16 4
2

由已知 f ?(4) ? 0 得,

(2)由(1)知, f ( x ) ? 16 ln x ? x ? 12 x ? b , x ? (0, ?? ) 令 f ?( x ) ?

2( x 2 ? 6 x ? 8) 2( x ? 2)( x ? 4) ? ?0 x x

解得 x ? 2 或 x ? 4 当 x ? (0, 2) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? (2, 4) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? (4, ?? ) 时, f ?( x ) ? 0 所以 f ( x ) 的单调增区间是 (0, 2) , (4, ?? ) ; f ( x ) 的单调减区间是 (2, 4) (3)由(2)知, f ( x ) 在 (0, 2) 单调递增, 在 (2, 4) 单调递减,在 (4, ?? ) 单调递增 且当 x ? 2 或 x ? 4 时, f ?( x ) ? 0 所以 f ( x ) 的极大值为 f (2) ? 16 ln 2 ? 20 ? b ,极小值为 f (4) ? 32 ln 2 ? 32 ? b 当且仅当 f (4) ? 0 ? f (2) , y ? f ( x ) 有三个零点 所以, b 的取值范围为 (20 ? 16 ln 2, 32 ? 32 ln 2) 22. (1)当 cosθ=0 时,f(x)=4x ,f′(x)=12x ≥0,则 f(x)在(﹣∞,+∞)内是增函 数,故无极值. (2)f′(x)=12x ﹣6xcosθ, 当 cosθ>0 时容易判断 f(x)在 上是减函数, 故 f(x)在 .
2 3 2

. 上是增函数,在

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,即 ,

>0,可得



. cosθ>0,即 cosθ>0,与 cosθ

同理,可知当 cosθ<0 时,f(x)在 x=0 处取极小值 f(0)=

<0 矛盾, 所以当 cosθ<0 时,f(x)的极小值不会大于零. 综上,要使函数 f(x)在 R 上的极小值大于零,参数 θ 的取值范围为

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