tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]


高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因 此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单 调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注 重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的 应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公

式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使 用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应 用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应 用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研 究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形 状、特点,并会用五点画出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩 变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 二、 高考考点分析

高考中本部分所占分值在 18~23 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主 要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质 的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方 公式逆用、切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单 调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值 域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tan45°等。 ( 2 ) 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 : ??? sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α =(α +β )-β ,β = 2 ??? - 等。 2 (3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在
-1-

象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为 同一形式。 (2)证明。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单 调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1) 的值.
cos ? ? sin ? ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? cos ? ? sin ?

sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、 切互化,就会使解题过程简化。 cos? ? sin ? 解: (1) ? cos? ? sin ? 1?
例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。
π 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
-2-

例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)
? 2 s i nx2? 2 co x s?2 π 2 2xs ? in(2 4 )

(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,
π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8 π π f (? ? x) ? f ( ? ? x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 例 4. 已知函数 y= cos2x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; ( 2)该函数的图像可由 y=sinx(x ∈R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到?

所以,当 2 x ?

解: (1)y= +1

1 1 1 3 3 cos2x+ sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ + (2sinx·cosx) 2 4 4 4 2 1 5 1 5 ? ? 3 cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 4 6 6 4 1 5 ? = sin(2x+ )+ 2 4 6

=

所以 y 取最大值时,只需 2x+

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6
-3-

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x=

? +kπ ,k∈Z} 6

(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ? ? (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函 2 ? 数 y=sin(2x+ )的图像; 6 1 (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函 2 1 ? 数 y= sin(2x+ )的图像; 2 6 5 1 5 ? (iv)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的 4 2 4 6 图像。 1 3 综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2 说明:本题是属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般 有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解 法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时, 1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 y= 2 +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x 化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4 7 ? ∴ymax= ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6 x x x 例 5.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的 范围及此时函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3
2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ? k? (k ? z )得x ? ? (Ⅰ)由 sin( ? ) =0 即 3 3 3 3 2
-4-

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

3

2

k?z

即对称中心的横坐标为

3k ? 1 ?, k ? z 2

(Ⅱ)由已知 b2=ac a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 cos x ? ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 3 即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 ? 3 f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? (0, ] , ] . 3 2 说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形 结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合 的能力。 cos C 3a ? c ? 例 6.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 , cos B b (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及
cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,
1 2 2 所以 cos B ? ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。 3 3

2 (2)在 ABC 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ? ac ? 32 ,又 a ? c , 3 4 2 所以有 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2

例 7.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b= (? sin α, cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b,
-5-

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ? [?1 , 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 解:(1) a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 , 所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,
1 3 1 3 所以 k ? t 3 ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4

t
f (t ) 导数 f (t )

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

1 1 9 9 1 而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 。 2 2 2 2 2

例 8.已知向量 a ? (cos α, sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? (1) 求 cos(α ? β ) 的值;

2 5 , 5

π π 5 ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 (2) (2)若 0 ? α ? , 2 2 13

解:(1)因为 a ? (cos α, sin α),b= (cos β, sin β), 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β), 又因为 | a ? b |?
2 5 2 5 ,所以 (cos α ? cos β )2 ? (sin α ? sin β )2 ? , 5 5

4 3 cos(α ? β ) ? ; 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? , 5 5
-6-

π π ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, (2) 0 ? α ? , 2 2 3 4 又因为 cos(α ? β ) ? ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? 13 13 65 ? ? 例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [? , ] 4 4 (1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2) 求 ? 的最值.

解: (1)? OP ? OQ ?

OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos2 x 2 cos x ? ? f ( x) ? (? ? x ? ) 即 2 1 ? cos x 4 4 1 3 2 2 (2)? cos? ? , 又 cos x ? ? [2, ], 1 cos x 2 cos x ? cos x 2 2 2 2 . ? cos? ? [ ,1] , ? max ? arccos ?? min ? 0 , 3 3 说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

-7-


推荐相关:

高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]

高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]_数学_高中教育_教育专区。高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点...


高中数学三角函数常见习题类型及解法

高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低...三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用...


高中数学三角函数常见习题类型及解法

高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低...? sin ? 解: (1) ? cos? ? sin ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1...


高中数学三角函数常见习题类型及解法

高中数学三角函数常见习题类型及解法_数学_高中教育_教育专区。高中数学三角函数编辑...= b 确定。 a 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化...


高中数学函数问题常见习题类型及解法

高中数学函数问题常见习题类型及解法一函数的概念 函数有二种定义,一是变量...1.深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用,并能以此为指导正确理解函数与其...


高中三角函数知识点与常见习题类型解法

高中三角函数知识点与常见习题类型解法_数学_高中教育_教育专区。三角函数知识点与常见习题类型解法 1、任意角的三角函数: (1)弧长公式: l ? a R (2)扇形的...


第5课时:高中三角函数知识点与常见习题类型解法(学生版)

第5课时:高中三角函数知识点与常见习题类型解法(学生版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数知识点与常见习题类型解法 1、任意角的三角函数: (1)弧长公式...


第5课时:高中三角函数知识点与常见习题类型解法(老师版)

第5课时:高中三角函数知识点与常见习题类型解法(老师版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数知识点与常见习题类型解法 1、任意角的三角函数: (1)弧长公式...


高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题_含答案免费)

高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题_含答案免费)_数学_高中教育_教育专区。三角函数知识点与常见习题类型解法 1. 任意角的三角函数: (1) 弧长...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com