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盐城市2013届高三考前突击精选模拟试卷数学卷3


江苏省盐城市 2013 届高三考前突击精选模拟试卷数学卷 3

数学Ⅰ(必做题)
一、填空题 (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把每小题的答案填在答题纸相应 的位置上) 1.若全集 U = {1,2,3, 4} ,集合 A = {1,2},B = {1, 4} ,则 A ? ? ?U B ? 2. 若双曲线 x 2 ? 3.函数

y ?
y2 ? 1 的一条渐近线方程是 y ? 3x , m 等于 则 m

▲ . ▲ .

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2





4.运行下面的一个流程图,则输出的 S 值是 ▲ . 5. 若从集合 ??1,1, 2,3? 中随机取出一个数 m ,放回后再随 机取出一个数 n ,则使方程 的椭圆的概率为 ▲ . 6. 函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2 的零点个数是 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上 m2 n2

7.若直径为 2 的半圆上有一点 P ,则点 P 到直径两端点 A, B 距离之和的最大值为 ▲ .

8.样本容量为 10 的一组数据,它们的平均数是 5,频率 如条形图所示,则这组数据的方差等于 ▲ .

9.已知 sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,若 s2 ≥4, s4 ≤16, 则 a5 的最大值是 ▲ .

10. 已知函数 y ? f ? x ? , x ? D ,若存在常数 C ,对 ?x1 ? D, ? 唯 一的 x2 ? D ,使得
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称常数 C 是函数 f ? x ?
x

?1? 在 D 上的 “翔宇一品数” 。若已知函数 f ? x ? ? ? ? , x ? ?1,3? ,则 ?2?

f ? x ? 在 ?1,3? 上的“翔宇一品数”是





11.如图,已知某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B , (0 ? ? ? 2? ) ,则温度变化曲线的函数解
1

析式为



.

12.已知球 O 的半径为 4, M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦, 圆

AB ? 4 ,若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?
13.如图, A, B, C 是直线上三点, P 是 直线外一点,若 AB ? BC ? a , ∠ APB ? 90? ,∠ BPC ? 45? ,记∠ PBA ? ? ,
??? ??? ? ? 则 PA ? PC =







.(仅用 a 表示) ▲ 时, f ? x ?

14.已知函数 f ? x ? ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| ? | 3 x ? 1| ? ? ? |100 x ? 1| ,则当 x ? 取得最小值.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ti , z2 ? m ? m ? 3 cos 2 x i , 为虚数单位, t , m, x ? R ) (i , 且 z1 ? z2 . (1)若 t ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值; (2)设 t ? f ? x ? ,已知当 x ? ? 时, t ?

?

?

1 ?? ? ,试求 cos ? 4? ? ? 的值. 2 3? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图 a,在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, AD ? BC , F 为 AD 的中点, E 在 BC 上, 且 EF ? AB 。已知 AB ? AD ? CE ? 2 ,沿线段 EF 把 四边形
CDFE 折起如图 b,使平面 CDFE ⊥平面 ABEF 。

(1)求证: AB ⊥平面 BCE ; (2)求三棱锥 C ? ADE 体积.

17. (本小题满分 14 分) 已知点 C ?1,0 ? ,点 A, B 是⊙ O : x ? y ? 9 上任意两个不同
2 2

2

的点,且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x ? ?1 的距离恰好等于到点 C 的距离? 若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

???? ??? ?

18. (本小题满分 16 分) 某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经 验知道,该厂生产这种仪器,次品率 T 与日产量 x (件)之间大体满足关系:

? 1 ? 96 ? x (1 ? x ? c, x ? N ,1 ? c ? 96) ? P?? ? 2 ( x ? c, x ? N ) ?3 ?
(注:次品率 P ? 次品数 ,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余 生产量 为合格品. ) 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损 望定出合适的日产量, (1)试将生产这种仪器每天的盈利额 T (元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当日产量 x 为多少时,可获得最大利润?

A 元,故厂方希 2

3

19. (本小题满分 16 分) 已知分别以 d1 和 d 2 为公差的等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? 18 , b14 ? 36 ,
2 (1)若 d1 ? 18 , d 2 ≥2917,且 am ? bm ?14 ? 45 ,求 m 的取值范围;

(2)若 ak ? bk ? 0 ,且数列 a1 , a2 ,? , ak , bk ?1 , bk ?1 ,? , b14 ?的前 n 项和 Sn 满足 S14 ? 2Sk , ①求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ②令 An ? a an , Bn ? a bn , a >0 且 a ? 1 ,探究不等式 An Bn ? 1 ? An ? Bn 是否对一切正整 数 n 恒成立?

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? c ? b, c ? R ? ,并设 F ? x ? ?
2

f ? x? , ex

(1)若 F ? x ? 图像在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 0 ,求 b 、 c 的值; (2)若函数 F ? x ? 是 ? ??, ?? ? 上单调递减,则 ① 当 x ? 0 时,试判断 f ? x ? 与 ? x ? c ? 的大小关系,并证明之;
2

② 对满足题设条件的任意 b 、c , 不等式 f ? c ? ? Mc ? f ? b ? ? Mb 恒成立, M 的 求
2 2

取值范围.

4

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】在下面 A、B、C、D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 、CD 是圆 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.

B.选修 4-2:矩阵与变换
?1? 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1 ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? 和特征值 ?2 ? 2 及对应的 ?1? ?1 ? 一个特征向量 e2 ? ? ? ,试求矩阵 A. ?0 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? y ? sin ? ? 1 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 是参数) ,若以 O 为 ? x ? cos ?
极点, x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程.

D.选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1 ( a ? 0 ). (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集;
5

(2)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

22. [必做题] (本小题满分 10 分) 在十字路口的路边,有人在促销木糖醇口香糖,只听喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10 元钱三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓口味) 。小明一看,只见一大堆瓶装口 香糖堆在一起(假设各种口味的口香糖均超过 3 瓶,且每瓶价值均相同) . (1)小明花 10 元钱买三瓶,请问小明共有多少种选择的可能性? (2)小明花 10 元钱买三瓶,售货员随便拿三瓶给小明,请列出有小明喜欢的草莓味口香糖 瓶数 ? 的分布列,并计算其数学期望.

23. [必做题] (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1)3 ? ? ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N? )

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
(1)求 S n ; (2)求证:当 n ≥ 4 时, S n ? (n ? 2)2n ? 2n 2 .

参考答案 必做题部分
6

一、填空题(本大题 14 小题,每小题 5 分) 1. ?2? ; 7.2
1 ; 2

2.3;

3.? 0,1? ;

4.35;

5.

5 ; 16

6. 2;

7. 2 2 ;

8.

9.9;
1 . 71

10.

1 ; 4

3? ? ?? 11. y ? 10sin ? x ? ? ? 20 ; 4 ? ?8

12. 3;

4 13. ? a 2 ; 5

14.

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (1)因为 z1 ? z2 ,所以 ? 分 若

?sin 2 x ? m ? ,所以 t ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ,????2 ?t ? m ? 3 cos 2 x ?

t ?0
3.





sin 2 ? x

3 cos x ? 2

0





tan 2 ? x

????????????????4 分

因为 0 ? x ? ? ,所以 0 ? 2 x ? 2? ,所以 2 x ?

?
3

或 2x ?

2? 所以 x ? 或 x ? . 6 3

?

4? , 3

???????????????????????6 分

(2)因为 t ? f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? , ??????????8 分 3?

因为当 x ? ? 时, t ?

1 ?? 1 1 ? ?? ? ,所以 2sin ? 2? ? ? ? , sin ? ? 2? ? ? ? ,????10 分 2 3? 2 4 ? ?3 ?

?? ?? ?? ? ? ? 所以 cos ? 4? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ? ? 2 cos 2 ? 2? ? ? ? 1 ?????????????12 分 3? 6? 6? ? ? ?
7 ?? ? ? 1? ? 2sin 2 ? ? 2? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? . 3 4? 8 ? ? ?
2

??????????????????14 分

16. (1)证明:在图 a 中, EF ∥ AB , AB ⊥ AD , ∴ EF ⊥ AD ,?????????????2 分 在图 b 中, CE ⊥ EF ,又平面 CDFE ⊥平面 ABEF , 且平面 CDFE ? 平面 ABEF ? EF ,
CE ⊥ 平 面 ABEF , AB ? 平 面 ABEF , ∴ CE ⊥

AB ,

???????????5 分

又 ∵ AB ⊥ BE , BE ? CE ? E , ∴ AB ⊥ 平 面
BCE ;?????????????7 分

(2)∵平面 CDFE ⊥平面 ABEF ,且平面 CDFE ? 平面 ABEF ? EF , AF ⊥ FE ,

7

AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ⊥平面 CDEF ,?????????????????10 分

∴ AF 为三棱锥 A ? CDE 的高,且 AF ? 1 , 又∵ AB ? CE ? 2 ,∴ S? CDE ?
1 ? 2 ? 2 ? 2 ,?????????????????14 分 2

17. (1)法一:连结 CP ,由 AC ? BC ? 0 ,知 AC ⊥ BC ∴| CP |=| AP |=| BP |=
2 2

???? ??? ?

1 | AB | ,由垂径定理知 | OP |2 ? | AP |2 ?| OA |2 2

y A P B x
O

即 | OP | ? | CP | ? 9 ,???????????????4 分 设点 P ? x, y ? ,则有 ( x ? y ) ? [( x ? 1) ? y ] ? 9 ,
2 2 2 2

C

化简,得到 x ? x ? y ? 4 ;????????????8 分
2 2

法二:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) , 根据题意,知 x12 ? y12 ? 9, x2 2 ? y2 2 ? 9 , 2 x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y2 , ∴ 4 x 2 ? x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 , 4 y 2 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y2 2 故 4 x 2 ? 4 y 2 ? ( x12 ? y12 ) ? (2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 18 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ①??4 分 又 AC ? BC ? 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) ? 0 ,即 (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 x ? 1 ,代入①式,得到 4 x ? 4 y ? 18 ? 2(2 x ? 1) ,
2 2

???? ??? ?

化简,得到 x ? x ? y ? 4 ; ??????????????????????8 分
2 2

(2)根据抛物线的定义,到直线 x ? ?1 的距离等于到点 C ?1,0 ? 的距离的点都在抛物线

y 2 ? 2 px 上,其中
由 方 程

p ? 1 ,∴ p ? 2 ,故抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,??????10 分 2


? y2 ? 4x ? ? 2 2 ?x ? x ? y ? 4 ?



x 2 ? 3x ? 4 ? 0







x1 ? 1, x2 ? ?4 , ??????????12 分
由于 x ? 0 ,故 x ? 1 ,此时 y ? ?2 , 故满足条件的点存在,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2) .??????????????14 分 18. (1)当 x ? c 时, P ?

2 1 2 A ,所以每天的盈利额 T ? xA ? x ? ? 0 .???? 2 分 3 3 3 2

8

当 1 ? x ? c 时, P ?

1 1 ? ? ,所以每天生产的合格仪器有 ? 1 ? ? x 件,次品有 96 ? x ? 96 ? x ?
, 故 每 天 的 盈 利 额

? 1 ? ? ?x ? 96 ? x ?



? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T ? ?1 ? ? A ,?4 分 ? xA ? ? ? x? ? ? x ? 2 ? 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ? ?
综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? ? ? x?c ?0,

1 ? x ? c, x ? N

.???????????????6 分

(2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0; 当

1? x ? c





? ? 3x T ? ? x? ?A ? 2 ? 96 ? x ? ? ? ?







? 3(96 ? x) ? 3x ? ? 144 ? ? A ? ?1 ? T ' ? ?1 ? A , ?8 分 2 2 ? ? 2 ? 96 ? x ? ? ? (96 ? x) ? ? ?
令 T ' ? 0 ,得 1 ? x ? 84 或 x ? 108 ,因为 c <96,故 x ? ?1,84 ? 时, T ? x ? 为增函数. 令 T ' ? 0 ,得 84 ? x ? 96 ,故 x ? ? 84,96 ? 时, T ? x ? 为减函数. ?????????10 分 所以,当 84 ? c ? 96 时, Tmax ?
147 , A (等号当且仅当 x ? 84 时成立) 2

?????12 分

? 189c ? 2c 2 ? 当 1 ? c ? 84 时, Tmax ? ? , ? A (等号当且仅当 x ? c 时取得) ? 192 ? 2c ?

?14 分

综上,若 84 ? c ? 96 ,则当日产量为 84 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 84 ,则当 日产量为 c 时,可获得最大利润.?????????????????????16 分 19. (1)因为等差数列 ?an ? 中, a1 ? 18, d1 ? 18 ,所以 am ? a1 ? ? m ? 1? d1 ? 18m , 因 为 等 差 数 列

?bn ?





b14 ? 36,d 2 ? 2917







bm ?14 ? b14 ? md 2 ? 36 ? md 2,????????2 分

324m 2 ? 9 ? 2917 , m 因为 m ? N * ,所以 m ? 9 ; ????????????????????????4 分
2 又因为 am ? bm ?14 ? 45 ,所以 ?18m ? ? md 2 ? 9 ,故有 d 2 ?
2

(2)①因为 ak ? bk ? 0 ,所以 S14 ? 2Sk ,即 bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b14 ? Sk ,

9

亦即 bk ? bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b14 ? Sk ,所以有

?15 ? k ?? 0 ? 36 ?
2

?

k ?18 ? 0 ? 2

,解得 k ? 10 ,?6 分

由 ak ? a1 ? ? k ? 1? d1 , bk ? b14 ? ? k ? 14 ? d 2 知, d1 ? ?2, d 2 ? 9 , ??????????8 分 所以 an ? 20 ? n, bn ? 9n ? 90 ; ???????????????????????10 分 ②因为 an ? 20 ? n, bn ? 9n ? 90 ,所以 An ? a an ? a 20 ? 2 n ? ? a10 ? n ? , Bn ? a 9 n ?90 ? ? a n ?10 ? ,
2 9

又 An Bn ? 1 ? An ? Bn 等价于 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 ,且 a >0 且 a ? 1 , 当 a ? 1 时,若 n ? 10 时, ? An ? 1?? Bn ? 1? ? a 0 ? 1 a 0 ? 1 ? 0 , 若 n ? 10 时, a10 ? n ? 1, a n ?10 ? 1 ,所以 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 成立, 若 n ? 10 时, a10 ? n ? 1, a n ?10 ? 1 ,所以 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 成立, 所以当 a ? 1 时,对任意 n ? N * ,所以 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 成立.??????????14 分 同理可证,当 0 ? a ? 1 时,对任意 n ? N * ,所以 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 成立. 即当 a >0 且 a ? 1 时,对任意 n ? N * ,所以 ? An ? 1?? Bn ? 1? ? 0 成立.???????16 分 20. (1)因为 F ? x ? ?

?

??

?

? x2 ? ? 2 ? b ? x ? ?b ? c ? x 2 ? bx ? c ,所以 F ? ? x ? ? ,????2 分 ex ex

又因为 F ? x ? 图像在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 0 , 所以 ?

?F ? 0? ? 0 ?c ? 0 ? ,即 ? ,解得 b ? 1 , c ? 0 . F ? ? 0? ? 1 ?b ? c ? 1 ? ?

??????????4 分

(2)①因为 F ? x ? 是 ? ??, ?? ? 上的单调递减函数,所以 F ? ? x ? ? 0 恒成立, 即 ? x ? ? 2 ? b ? x ? ? b ? c ? ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,
2
2

??????????6 分
2

所 以 ? ? ? 2 ? b ? ? 4 ? b ? c ? ? 0 , 所 以 4c ? b ? 4 ? 2 b ? 4 ? 4 b ? 4b , 即 c ? b 且
2

c ?1,
令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? c ? ? ? b ? 2c ? x ? c ? c ? 1? ,由 b ? 2c ? 0 ,知 g ? x ? 是减函数,
2

故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内取得最小值 g ? 0 ? ,又 g ? 0 ? ? ?c ? c ? 1? ? 0 , 所以 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? ? x ? c ? .
2

??????????10 分

② 由①知, c ? b ? 0 ,当 b ? c 时, b ? c 或 b ? ?c ,
10

因 为 b 2 ? 4 ? 4c ? 0 , 即 c 2 ? 4 ? 4c ? 0 , 解 得 c ? 2 , b ? 2 或 b ? ?2 , 所 以
f ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 ,

而 f ? c ? ? f ? b ? ? c ? bc ? c ? b ? b ? c ? c ? bc ? 2b ? ? c ? 2b ?? c ? b ? ,
2 2 2 2 2

所以 f ? c ? ? f ? b ? ? ?8 或 0 , 不等式 f ? c ? ? Mc ? f ? b ? ? Mb 等价于 f ? c ? ? f ? b ? ? M c 2 ? b 2 ,
2 2

?

?

变为 ?8 ? M ? 或 0 ? M ? 恒成立, M ? R , 0 0

?????????????12 分

当 b ? c 时, c ? b ,即 c 2 ? b 2 ? 0 ,所以不等式 f ? c ? ? Mc 2 ? f ? b ? ? Mb 2 恒成立等价于
M? f ? c ? ? f ?b ? c ?b
2 2

? f ? c ? ? f ?b ? ? 恒成立,等价于 M ? ? ? ,???????????14 分 2 2 ? c ?b ?max



f ? c ? ? f ?b ? c ?b
2 2

?

? c ? 2b ?? c ? b ? c ? 2b 1 , ? ? 2? b ? c ? b ?? c ? b ? c ? b 1?
c

因为 c ? b ,

b b 1 1 b ? , ? 1 ,所以 ?1 ? ? 1 ,所以 0 ? 1 ? ? 2 ,所以 b 2 c c c 1? c
?2? 1 3 3 ? ,所以 M ? .???????????????16 分 2 2 2

所以

f ? c ? ? f ?b ? c2 ? b2

附加题部分
21. 【选做题】 A. (选修 4-l:几何证明选讲) 连接 BC 设 AB, CD 相交于点 E , AE ? x ,∵AB 是线段 CD 的 垂直平分线, ∴AB 是圆的直径,∠ACB=90°?????????2 分 则 EB ? 6 ? x , CE ? 5 .由射影定理得 CE 2 ? AE ?EB , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 ????8

C B E D A


∴ AC 2 ? AE ?AB ? 5 ? 6 ? 30 ,即 AC ? 30 .???10 分 B. (选修 4—2:矩阵与变换)

?a b ? 设矩阵 A ? ? ? ,这里 a , b , c , d ? R , ?c d ? ?1? ?1 ? a ? b ? ?1? ?0 ? 因 为 ? ? 是 矩 阵 A 的 属 于 ?1 ? 1 的 特 征 向 量 , 则 有 ? ?? ? ? ? ? ?1? ? ?c 1 ? d ? ?1? ?0 ?

11

①,

???4 分

?1 ? 又 因 为 ? ? 是 矩 阵 A 的 属 于 ?2 ? 2 的 特 征 向 量 , 则 有 ?0 ?
②, ???6 分

? 2 ? a ? b ? ?1 ? ?0 ? ? ?c 1 ? d ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?

?1 ? a ? b ? 0 , ? ?c ? 1 ? d ? 0 , ? 根据①②,则有 ? ?2 ? a ? 0 , ? ?c ? 0 , ?

???????????????????8 分

? 2 ? 1? 从而 a ? 2 , b ? ?1, c ? 0 , d ? 1, 因此 A ? ? ? ,????????????10 分 ?0 1?
C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 由

? y ? sin ? ? 1 ? ? x ? cos ?



? y ? 1 ? sin ? ? ? x ? cos ?



















x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,?????????4 分
∴曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于的圆.令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代 入 并 整 理 得

? ? 2sin ?

. 即 曲 线 C

的 极 坐 标 方 程 是

? ? 2sin ? . ??????????10 分
D. (选修 4-5:不等式选讲) (1)当 a ? 1 时,得 2 x ? 1 ? 1 , 即 x ? 1 ?
1 3 1 , 解得 x ? 或x ? , 2 2 2

1 3 ∴不等式的解集为 (??, ] ? [ , ??) . ??????????????????5 分 2 2

(2)∵ ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 , ∴原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ? 1. ∴ a ? 2, 或a ? 0. ∵ a ? 0 ,∴ a ? 2. 22.[必做题]
3 1 1 (1)若 8 种口味均不一样,有 C8 ? 56 种;若其中两瓶口味一样,有 C8 C 7 ? 56 种;

∴实数 a 的取值范围为 [2,??) .

????????????10 分

若三瓶口味一样,有 8 种。所以小明共有 56 ? 56 ? 8 ? 120 种选择。 ???????4 分 (2) ? 的取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ?
P(? ? 2) ?

3 1 C 7 ? C 7 ? 6 ? 7 84 C 2 ? 7 28 7 7 ; P (? ? 1) ? 7 ; ? ? ? ? 120 120 120 10 120 30

7 1 ; P (? ? 3) ? . 120 120

所以 ? 的分布列为????????????????????????????8 分
12

?
P

E? ? 0 ?

0

1

2

3

7 10
数 学

7 30

7 120


1 120


7 7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? .?????????????????10 分 10 30 120 120 8

23.[必做题] (1)取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n , ∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n ? 2n ; ????????????????4 分

(2)要证 Sn ? (n ? 2)2n ? 2n 2 ,只需证 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 , 当 n ? 4 时, 81 ? 80 ; 假设当 n ? k (k ? 4) 时,结论成立,即 3k ? (k ? 1)2k ? 2k 2 , 两边同乘以 3 得: 3k ?1 ? 3 ?(k ? 1)2k ? 2k 2 ? ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ? [(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2] ? ? 而 (k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2 k ? 4( k 2 ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 3)2 k ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0 ∴ 3k ?1 ? ((k ? 1) ? 1)2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 成立. 综上原不等式获证. ??????????????????????????10 分

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