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高中数学人教B版数学必修5课后强化作业:3-2-1《均值不等式》


3-2-1《均值不等式》 基 础 巩 固 一、选择题 1.若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.a+b> ab [答案] D [解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ab>0,∴a+b≥2 ba a· b=2. ) B.a+b≥2 ab b a D.a+b≥2 )

2.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 [答案] B a+b [解析] ∵0<a<b,∴a< 2 <b,

a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< 2 <b

A、C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,故选 B. 3.设 x、y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( A.10 C.4 6 [答案] D [解析] x+y=5,3x+3y≥2 3x· 3y=2 3x+y=2 35=18 3. 4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10 则 a5a16 的最大值为 B.6 3 D.18 3 )

(

) A.100 C.50 [答案] D [解析] ∵a5>0,a16>0,a5+a16=10, a5+a16 10 ∴a5· a16≤( 2 )2=( 2 )2=25, 当且仅当 a5=a16=5 时,等号成立. 5.(2012~2013 学年度湖南师大附中高二期中测试)设 a>0,b> B.75 D.25

1 1 0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则a+b的最小值为( A.8 C.1 [答案] B [解析] 根据题意得 3a· 3b=3,∴a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b≥4. 1 当 a=b=2时“=”成立.故选 B. B.4 1 D.4

)

6.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最 大的一个是( A.a2+b2 C.2ab [答案] D [解析] 解法一:∵0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2,故选 D. ) B.2 ab D.a+b

1 1 13 6 1 解法二:取 a=2,b=3,则 a2+b2=36,2 ab= 3 ,2ab=3,a 5 5 +b=6,显然6最大. 二、填空题 t+1 1 7.设实数 a 使 a2+a-2>0 成立,t>0,比较2logat 与 loga 2 的大 小,结果为________________. t+1 1 [答案] 2logat≤loga 2 [解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1, 又 a>0 且 a≠1,∴a>1, t+1 t+1 1 ∵t>0,∴ 2 ≥ t,∴loga 2 ≥loga t=2logat, t+1 1 ∴2logat≤loga 2 8.函数 y=x· (3-2x) 9 [答案] 8 [解析] [ 1 1 ∵ 0≤x≤1 , ∴ 3 - 2x > 0 , ∴ y = 2 2x· (3 - 2x)≤ 2 (0≤x≤1)的最大值为______________.

2x+?3-2x? 2 9 3 ] = ,当且仅当 2 x = 3 - 2 x 即 x = 2 8 4时,取“=”号. 三、解答题 9.已知 a、b 是正数,试比较1 [解析] ∵a>0,b>0, 1 1 ∴a+b≥2 1 ab>0. 1与 ab的大小. a+b 2

∴1

1≤ a+b 2 2

2

2

= ab. 1 ab

即1

1≤ ab. a+b 能 力 提 升

一、选择题 1 1 1.已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 x+3y的最小值是( A.2 C.4 [答案] C [解析] 由 lg2x+lg8y=lg2,得 lg2x+3y=lg2, 1 1 1 1 x 3y ∴x+3y=1,x +3y=(x+3y)(x+3y)=2+3y+ x ≥4, x 3y 1 1 当且仅当3y= x ,即 x=2,y=6时,等号成立. 2.(2012~2013 学年度山西忻州一中高二期中测试)a=(x-1,2), b=(4,y)(x、y 为正数),若 a⊥b,则 xy 的最大值是( 1 A.2 C.1 [答案] A [解析] 由已知得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2. 2x?2-2x? 1 2x+2-2x 2 1 ∴xy=x(2-2x)= ≤2×( ) =2. 2 2 1 3.设函数 f(x)=2x+x-1(x<0),则 f(x)( A.有最大值 ) 1 B.-2 D.-1 ) B.2 2 D.2 3 )

B.有最小值

C.是增函数 [答案] A

D.是减函数

1 [解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+x -1 ≤-2 1 ?-2x??-x?-1

=-2 2-1, 等号在-2x= 1 2 ,即 x=- 2 时成立. -x

∴f(x)有最大值. 4.已知 x>0,y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比 ?a+b?2 数列,则 cd 的最小值是( A.0 C.2 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 ?a+b?2 ?x+y?2 x y cd = xy =y+x+2≥2 号,∴所求最小值为 4. 二、填空题 a+b 1 5.已知 a>b>1,P= lga· lgb,Q=2(lga+lgb),R=lg( 2 ),则 P、Q、R 的大小关系是________. [答案] P<Q<R [解析] 因为 a>b>1,所以 lga>lgb>0, 1 所以2(lga+lgb)> lga· lgb,即 Q>P, yx x· y+2=4.当且仅当 x=y 时取等 ) B.1 D.4

a+b a+b 1 又因为 2 > ab,所以 lg 2 >lg ab=2(lga+lgb),所以 R>Q. 故 P<Q<R. 6.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx 1 1 +ny-1=0(mn>0)上,则m+n的最小值为________. [答案] 4 [解析] 函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1). ∴m+n-1=0,即 m+n=1. 1 1 1 1 n m 又 mn>0,∴m+n=(m+n)· (m+n)=2+(m+ n )≥2+2=4,当且 1 仅当 m=n=2时,等号成立. 三、解答题 7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称 物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的 和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论. [解析] 不对.设左右臂长分别为 l1,l2,物体放在左、右托盘称 得重量分别为 a、b,真实重量为 G,则由杠杆平衡原理有: l1· G=l2· a,① l2· G=l1· b,② ①×②得 G2=ab,∴G= ab,由于 l1≠l2,故 a≠b, a+b 由均值不等式 2 > ab知说法不对, 真实重量是两次称量结果的几何平均数. 3 8.求函数 y=1-2x-x的值域.

3 3 [解析] y=1-2x-x =1-(2x+x). 3 ①当 x>0 时,2x+x≥2 3 2 x· x =2 6.

3 6 当且仅当 2x=x,即 x= 2 时取等号. 3 ∴y=1-(2x+x)≤1-2 6. 3 ②当 x<0 时,y=1+(-2x)+(-x ). 3 ∵-2x+(-x)≥2 3 ?-2x?· ?-x?=2 6.

3 6 当且仅当-2x=-x时,即 x=- 2 时取等号. 3 ∴此时 y=1-2x-x≥1+2 6 综上知 y∈(-∞,1-2 6]∪[1+2 6,+∞). 3 ∴函数 y=1-2x-x的值域为(-∞,1-2 6)∪[1+2 6,+∞).



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