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一题多解专题十四:与直线有关的最值问题


一题多解专题十四:与直线有关的最值问题
例 1、已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求△ABO 的面积 的最小值及此时直线 l 的方程. 分析:先设出 AB 所在的直线方程,再求 A,B 两点的坐标或得到系数满足的关系,将△ABO 的面积用引入系数表示,最后利用相关的数学知识求出最值. 法一:由题可设直线 l 的方程为

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 A(a,0),B(0,b). a b 3 2 2a ? ? 1 ,则 b ? ∵ l 过点 P(3,2), 且 a>3,b>2. a b a ?3
1 1 2a a2 9 ab ? a ? ? ? a ?3? ? 6 ? 2 9 ? 6 ? 12 2 2 a ?3 a ?3 a?3

从而 S ?ABO ?

9 ,即 a=6 时,( S ?ABO )min=12, a?3 此时 b ? 4 ,∴直线 l 的方程为 2x+3y-12=0. 法二:依题意知,直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0), 2 则有 A(3 ? ,0), B (0,2 ? 3k ) , k
当且仅当 a ? 3 ?

? S ?ABO ?

1 2 1 4 1 4 (3 ? ) ? (2 ? 3k ) ? [12 ? (?9k ) ? ] ? [12 ? 2 (?9k ) ] ? 12 2 k 2 ( ?k ) 2 ( ?k )

2 ? 2 ? 3k 时,等号成立,△ABO 的面积取最小值 12. k 此时,直线 l 的方程为 2x+3y-12=0. x y 3 2 法三:由题可设直线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,代入 P(3,2),得 ? ? 1 a b a b
当且仅当 3 ? 则由

1 3 2 6 得 ab≥24,从而 S ?ABO ? ab ? 12 , ? ?1? 2 2 a b ab

3 2 ? 时,等号成立,△ABO 的面积取最小值 12. a b b 2 此时 k ? ? ? ? ,∴此时直线 l 的方程为 2x+3y-12=0. a 3 例 2、过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时直线 l 的方程; (2)|PA|·|PB|最小时直线 l 的方程.
当且仅当 解析:(1)方法一:设所求的直线方程为 + =1(a>0,b>0),

x y a b

2
2 1 2 1 由已知得 + =1,于是 · ≤ ( a

?

a b

a b

1 b )2 ? 1 . 2 4

2 1 1 2 1 1 当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时, · 取最大值 , a b 2 a b 4

1 此时 S△AOB= ab 取最小值 4. 2 故所求直线方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 4 2
k

1 方法二:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0).则 A(2- ,0),B(0,1-2k), 1 1 1 1 1 ∴S△AOB= ( 2 ? ) (1-2k)=2+ ( ?4k ? ) ≥2+ ·2 2 2 2 k k

1 (?4k )(? ) =4, k

1 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=± 时取等号.∵k<0,∴k=- . k 2 2 故所求直线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 (2)设直线 l :y-1=k(x-2)(k<0), 1 分别令 y=0,x=0 得 A(2- ,0),B(0,1-2k).

1 2

k

由|PA|·|PB|=

4(1 ?

1 1 ) ? 4k 2 = 8 ? 4( 2 ? k 2 ) ≥4. 2 k k

1 2 当且仅当 k = 2,即 k=±1 时,|PA|·|PB|取最小值.

k

又 k<0,∴k=-1,这时 l 的方程是 x+y-3=0. 针对性练习: 1.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方 程为( ) B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0

A.x+2y-6=0

x y 1 4 解析:设直线的方程为 + =1(a>0,b>0),则有 + =1, a b a b
∴a+b=(a+b) ( 当且仅当 =

b 4a 1 4 ? ) =5+ + ≥5+4=9, a b a b

b 4a ,即 a=3,b=6 时取“=” .∴直线方程为 2x+y-6=0. 答案:B a b
2 2

2.已知 b>0, 直线 x-b y-1=0 与直线(b +1)x+ay+2=0 互相垂直, 则 ab 的最小值等于( (A)1 (B)2
2

)

(C) 2 2
2

(D) 2 3

解析:选 B.∵直线 x-b y-1=0 与直线(b +1)x+ay+2=0 互相垂直, ∴(b +1)-b a=0,即 a ?
2 2

b2 ? 1 , b2

∴ ab ? ( 2.

b2 ? 1 b2 ? 1 1 )b ? ? b ? ? 2 (当且仅当 b=1 时取等号),即 ab 的最小值等于 2 b b b

3.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 解析:根据 A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为

x y ? ? 1. 又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b

?2 ?2 ? ? 1, 所以-2(a+b)=ab. 又 ab>0, 故 a<0, b<0, 根据基本不等式 ab=-2(a+b) a b
≥ 4 ab. 又 ab>0,得 ab ≥4,故 ab≥16,即 ab 的最小值为 16. 答案:16 4. 函数 y=loga(x+3)-1(a>0, a≠1)的图像恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 1 2 其中 mn>0,则 + 的最小值为__________.

m n

解析:由题意知,点 A(-2,-1).∴2m+n=1,

1 2 1 2 n 4m 1 1 ∴ + = ( ? ) (2m+n)=4+ + ≥4+4=8(当且仅当 m= ,n= 时取“=”). m n m n 4 2 m n


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