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数学竞赛中的高斯函数


数学竞赛中的高斯函数
一、知识概要 1, 定义:设 x ? R ,用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。则 y ? ? x? 称为高斯函数,也叫取整 函数。显然, y ? ? x? 的定义域是 R,值域是 Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之 和,即 x ? ? x? ? a ? 0 ? a ? 1? ,因此, ? x? ? x ? ? x? ? 1 ,这里

, ? x ? 为 x 的整数部分,而

?x? ? x ? ? x? 为 x 的小数部分。
2,性质 1,函数 y ? ? x? 是一个分段表达的不减的无界函数,即当 x1 ? x2 时,有 ? x1 ? ? ? x2 ? ; 2, ? n ? x? ? n ? ? x? ,其中 n ? Z ; 3, x ?1 ? ? x? ? x ? ? x? ? 1 ; 4,若 ? x? ? ? y ? ? n ,则 x ? n ? a, y ? n ? b, 其中 0 ? a, b ? 1; 5,对于一切实数 x, y 有 ? x? ? ? y? ? ? x ? y ? ; 6,若 x ? 0, y ? 0 ,则 ? xy? ? ? x?? y? ; 7, ? ? x ? ? ?

?? ? x ? ? 1 ? ?? ? x ? ?
?

( x 不是整数时) ( x 是整数时)

8,若 n ? N ,则 ?

?? x? ? ? x ? ? ? ? ? ;当 n ? 1 时, ?? x ?? ? ? x ? ; ? ? ? n ? ?n?

9,若整数 a , b 适合 a ? bq ? r ( b ? 0, q, r 是整数, 0 ? r ? b ) ,则 ? ? ? q ; b 10, x 是正实数, n 是正整数,则在不超过 x 的正整数中, n 的倍数共有 ? ? 个; n 11,设 p 为任一素数,在 n ! 中含 p 的最高乘方次数记为 p ? n!? ,则有:

?a? ? ?

?x? ? ?

?n? ? n ? ? n ? p ? n!? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? m ? ? p m ? n ? p m?1 ? 。 ? p? ? p ? ?p ?
73

证明:由于 p 是素数,所有 n ! 中所含 p 的方次数等于 n ! 的各个因数 1, 2,?, n 所含 p 的方次

数之总和。由性质 10 可知,在 1, 2,?, n 中,有 ? ? 个 p 的倍数,有 ?

?n? ? p?

? n ? 个 p 2 的倍数,有 2 ? ?p ?

?n ? ? n ? ? n ? 3 m m?1 ? p 3 ? 个 p 的倍数, ? ,当 p ? n ? p 时, ? p m?1 ? ? ? p m?2 ? ? ? ? 0 ,所以命题成立。 ? ? ? ? ? ?
高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的,值域却是离散的,高斯函数关 联着连续和离散两个方面,因而有其独特的性质和广泛的应用。 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法,其中较为常见的有分类讨论(例 如对区间进行划分) 、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。 二、解题示例 例 1,若实数 r 使得 ? r ?

? ?

19 ? ? 20 ? 91 ? ? ? ? ? r ? 100 ? ? ? ? ? r ? 100 ? ? 546 ,求 ?100r ? 。 100 ? ? ? ? ?
19 20 91 , ,? , 都小于 1,则每一项为 ? r ? 或 ?r ? ? 1 ,注意到 100 100 100

解:等式左边共 73 项,且因

73 ? 7 ? 546 ? 73 ? 8 ,故必有 ? r ? ? 7 。进一步有: 73 ? 7 ? 35 ? 546 ,所以原式左边从第 1
项至第 38 项其值为 7,自第 39 项以后各项值为 8。即:

56 ? 57 ? ? ? r? ? 7; ? r ? ? 8.? r ? 0.56 ? 8, r ? 0.57 ? 8? 7.43 ? r ? 7.44 ? 100 ? ? ? ? 100 ? ?
例 2,计算:

? ? 101 ? 的值。 ? ?
n ?1

100

? 23n ?

解:由题意得:对于任意的 n ? ?1, 2,?,100? ,

23n 23n 23 ?101 ? n ? ? Z ,? ? ? 23 , 101 101 101

100 ? 23n ? ? 23 ?101 ? n ? ? ? 23n ? ? 23 ?101 ? n ? ? ? 23n ? ?? ??? ? ? 1; ? ? ? 22.? ? ? ??? ? ? 22 ? 50 ? 1100 101 101 ? 101 ? ? ? 101 ? ? n ?1 ? 101 ? ? ?

说明:本例采用了分组凑整的思想。 例 3,对自然数 n 及一切实数 x ,求证:
74

? x? ? ? x ? ?
?

1? ? 2? n ? 1? ? ? ? ? x ? n ? ? ? ? ? x ? n ? ? ? nx ? 。 n? ? ? ? ? ? ?

(厄尔密特等式)

证明: 对任意的自然数 n , 构造函数 f ? x ? ? ? nx ? ? ? x ? ? ? x ?

1? ? 2? n ? 1? ? ? ? ? x ? n ? ?? ? ? x ? n ? , n? ? ? ? ?

则: f ? x ?

? ?

1? 1? ? 2? n ? 1? ? ? ? ? ? nx ? ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? x ? ? ? ?? x ? ? 1? ? f ? x ? ,所以,函 n? n? ? n? n ? ? ?
1 ? 1? ,因此,原命题只需证 f ? x ? ? 0 在区间 ?0, ? 内成立即 n ? n?

数 f ? x ? 为周期函数,其周期 T ? 可。而这一结论显然是成立的。

例 4,对任意的 n ? N ,证明: ? n ? n ? 1? ? ? 4n ? 1? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? 3 ? 。
?

?

?

?

?

?

?

?

?

证明:首先证明 ? 4n ? 1? ? 1 ?

?

?

4n ? 3 。令 x ? ? 4n ? 1? ? 1 ,则 x 2 ? 4n ? 1 。 ? ?

? 2 2 2 当 x ? 2m m ? Z 时, x ? 4m ? 4n ? 1 ,于是 m ? n ? 1 ,那么

?

?

x 2 ? 4m2 ? 4n ? 4 ? 4n ? 3 ;
? 2 2 2 2 当 x ? 2m ? 1 m ? Z 时, x ? 4m ? 4m ? 1 ? 4n ? 1 , m ? m ? n 即 m ? m ? n ? 1, 2 2 那么 x ? 4 m ? m ? 1 ? 4n ? 5 ? 4n ? 3 。

?

?

?

?

所以命题成立, 也就是:? 4n ? 1? ?

?

?

4n ? 1 ? 4 n ? 2 ? 4n ? 3 ? ? 4n ? 1 ? ? 1 。 故: ? ?

? 4n ? 1 ? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4 n ? 3 ? 。 ? ? ? ? ? ?
又:

? ?

n ? n ? 1 ? 2n ? 1? 2 n 2 ? n ? 2n ? 1? 2n ? 4n ? 1 n?
2

? n ?1?

2

? 2n ? 1 ? 2 n2 ? n ? 2n ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 4n ? 3

? 4n ? 1 ? n ? n ? 1 ? 4n ? 3
? ? n ? n ? 1? ? ? 4n ? 1? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
注:本例的证明采用了“两边夹”法则。
75

例 5,解方程 ?

? 5 ? 6 x ? 15 x ? 7 。 ? 5 ? 8 ? ?

解:令

15 x ? 7 5n ? 7 ?10n ? 39 ? ? n ? n ? Z ? ,则 x ? ,带入原方程整理得: ? ? n ,由高斯 5 15 ? 40 ? ?

函数的定义有 0 ?

10n ? 39 1 13 ? n ? 1 ,解得: ? ? n ? ,则 n ? 0, n ? 1 。 40 30 10 4 7 若 n ? 0 ,则 x ? ;若 n ? 1 ,则 x ? 。 5 15

注:本例中方程为 ?u ? ? v 型的,通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。 例 6,解方程 ?

? x ? 1? ? x ? 1? 。 ? ? 4 ? ? 2 ? ? ? ?
x ? 1 x ?1 x ?1 x ?1 ? ? 1 ,即 ?1 ? x ? 7 ,令 y1 ? , y1 ? , 4 2 4 2

解:由高斯函数的性质,得: ?1 ? 在同一坐标系中画出二者的图象:

分析两者在区间 ? ?1,7 ? 内的图象, 显然,当 x? ? ?1,1? 时,

? x ? 1? ? 4 ??0 ? ?

而?

? x ? 1? ? ?1,方程不成立;当 ? 2 ? ?

? x ? 1? ? x ? 1? ? x ? 1? ? x ? 1? ,5 x ??1,3? 时,? ? ? ? 2 ? ? 0 ;当 x ??3 ? 时,? 4 ? ? ? 2 ? ? 1 ;当 x ? ?5,7 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ?
时, ? ?1 而? ? 2 ,方程不成立。 ? 4 ? ? ? 2 ? ? 综上所述,原方程的解是: x 1 ? x ? 5 。 注:本例为 ?u ? ? ?v? 型方程。首先由 ?1 ? u ? v ? 1 ,求出 x 的取值区间。但此条件为原方程 成立的充分但不必要条件, 故还须利用 u ? f ? x ? 和 v ? g ? x ? 的图象进行分析才能得到正确结 果。
76

? x ? 1?

? x ? 1?

?

?

例 7,解方程 3x3 ? ? x? ? 3 。 解:对于次数较高的含 ? x ? 的方程,分区间讨论不失为一种有效的方法。 若 x ? ?1 ,则 3x3 ? ? x? ? 3x ? x ?1 ? 2x ?1 ? 0. 原方程不成立; 若 ?1 ? x ? 0 ,则 3x3 ? ? x? ? 3x3 ? ? ?1? ? 3x3 ? 1 ? 1。原方程不成立; 若 0 ? x ? 1 ,则 3x3 ? ? x? ? 3x3 ? 0 ? 3x3 ? 3. 原方程不成立;
3 若 1 ? x ? 2 ,则 3x3 ? ? x? ? 3x3 ?1. 原方程即为 3x ? 4 ;解得: x ?

3

4 ; 3

若 x ? 2 ,则 3x ? ? x? ? 3x ? x ? 3x ? x ? 2x ? 4. 原方程不成立;
3 3

所以,原方程的解为: ? x x ?

? ? ? ?

3

4? ? ?。 3? ?
?? ?

例 8,证明:若 p 是大于 2 的质数,则 ? 2 ? 5 证明:本例采用“构造法” 。

? ??2 ? ?
p

p?1

被 p 整除。

由二项式定理知:对于任意的 p ? Z , 2 ? 5

?

? ?
p

? 2 ? 5 是一个整数,又因为

?

p

?1 ? 2 ? 5

?

?

p

? 1,? 2 ? 5

?

? ? ?2 ? 5 ?
p

p

p ? ? 2 ? 5 ? , 于是有: ? ? ? ?

?

?

p ?1 ? 2 ? 5 p ? ? 2 p ?1 ? 2 ? C 2 ?2 p ?2 ? ? C 4 ?2 p ?4 ? 2 ? ? ? C p ?1 ?2? 2 ? ,其中 p 是质数。因为 5 5 5 ? ? p p p ? ? ? ? ? ?

?

?

k Cp ?

p ? p ? 1?? p ? 2 ??? p ? k ? 1? ? k ? 2, 4,?, p ? 1? 都能被质数 p 整除,所以原命题成 k!

立。 三、巩固练习 1,计算 (76304) ? ? 503 ? 的值。 ? ?
n ?0 502

? 305n ?

77

2,求函数 f ? x ? ? ?

? x ? ? ?12.5 ? ? ? 0 ? x ? 100? 的值域。 ??0, ?1, ?2, ?3, ?4, ?5, ?6, ?7?? ?12.5 ? ? x ? ?? ?

3,求方程 ?

31 27 23 ? ? ? 2x ? 7 ? 2x ?1 ? ? 4 的实数解。 ? x1 ? ? 2 , x2 ? ? 2 , x3 ? ? 2 , ? ? ? ? 3 ?

4,求方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1001 的整数解。 ? x ? 584? 1! 2! 10!?

?x? ? x ? ? ? ? ?

? x ? ? ?

5, a , b 是互质的正整数,求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? b ? ? (利用 ?

? a ? ? 2a ?

? ? b ? 1? a ? ? a ? 1?? b ? 1? 。 ?? b ? 2

? ?b ? r ? a ? ? ra ? ? ? a ? ? ? ? 1) ?b? ? b ?

6,在 1 至 1996 中有多少个整数 m ,使得

m2 ? 7 不是既约分数?(86) m?4

7,试证明:对任意实数 x ,等式

? x ? 2k ? 1? ? (利用 ? a ? ? ? a ? ? ? ? 2a ? ) ? ? 2k ?1 ? ? ? x ? 成立。 2? k ?0 ? ? ?
?

78


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