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数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(二))教师版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数学归纳法及其应用二
1、 掌握数学归纳法的一般步骤; 2、 会用数学归纳法解决整除问题及郑明明某些与正整数有关的等式; 3、领会“归纳—猜想—证明”的思想方法。 教学内容

教学目的

【知

识梳理】
1. 数学归纳法概念: 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性: (1)证明当 n 取第一个值 n0 ( n0 ∈N*例如 n0 =1 或 n0 ? 2 ) 时,命题成立; (2)假设当 n=k(k∈N* ,k≥ n0 )时命题成立 证明当 n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 想一想: (1) 为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立? (2) 为什么证明时这两个步骤缺一不可?

【典型例题分析】
例 1、对于下列数列的排列 2,3,4 3,4,5,6,7 4,5,6,7,8,9,10 ?? 写出并证明第 n 行数中所有数的和 an 与 n 的关系式。 【答案】由已知可得 a1 ? 9, a2 ? 25, a3 ? 29 ,于是猜想 an ? ? 2n ? 1? 。
2

当 n ? 1时,a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9 ? ? 2 ? 1 ? 1? ,所以当 n ? 1 时,命题成立
2

设当 n ? k 时命题成立,即 ak ? ? k ? 1? ? ? k ? 2 ? ??? ? ?? k ? 1? ? ? 2k ? 1 ? 1? ? 1? ?

? ? 2k ? 1? 。
2

当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (k ? 2) ? ? k ? 3? ??? ? ?? k ? 2 ? ? ? 2k ? 3 ? 1? ? 1? ? ? ? k ? 1?

? ? k ? 2 ? ? ? k ? 3? ??? ? ?? k ? 1? ? ? 2k ? 1 ? 1? ? 1? ? ? ?3k ? 2? ? ?3k ? 3? ? ? 3k ? 4?

? ? k ? 1? ? ? 2k ? 1? ? 8k ? 8 ? 4k 2 ? 12k ? 9 ? ? ?2 ? k ? 1? ? 1? ?
2

2

所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立。

-1-

所以对于任何的正整数 n , an ? ? 2n ? 1?

2

例 2、数列 ?an ? 的各项都是正数,且满足 a0 ? 1 ,对任意自然数 n 有 an ?1 ? 【答案】 (1) a1 ?

1 an ? 4 ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2

3 1 15 1 255 1 ? 2 ? , a2 ? ? 2 ? 3 , a3 ? ? 2 ? 7 ,所以猜想 2 2 8 2 128 2

an ? 2 ?

1 22
n

?1

当 n ? 0 时, a0 ? 1, a1 ?

3 ,所以当 n ? 0, n ? 1 时命题成立。 2

设当 n ? k 时命题成立,即 ak ? 2 ?

1 2
2k ?1

2 1 1? 1 ?? 1 ? 1? ? 1 ? ? 当 n ? k ? 1时, ak ?1 ? ak ? 4 ? ak ? ? ? 2 ? k ?? 4 ? 2 ? k ? ? ? 4 ? ? k ? ? 2 ?1 2 2? 22 ?1 ?? 22 ?1 ? 2 ? ? ?2 ? ? ?

? 2?

1 22
k

?1

所以当 n ? k ? 1 时命题成立。 所以对于任意自然数 n , an ? 2 ?

1 2
2n ?1



a1 ? a2 ??? an 1 ? ? 2n ? 1? an ,且 a1 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 n 3 1 1 【答案】由已知可得 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? a2 ,解得 a2 ? ; 3 5 1 1 1 ? ? a3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1? a3 , 解得a3 ? 3 15 35
例 3、已知数列 ?an ? 对任意正整数 n 有 于是猜想数列 ?an ? 的通项公式

an ?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

由已知可得 a1 ? a2 ??? an ? an?1 ? ? n ? 1?? 2n ? 1? an?1 ,于是 an?1 ? ? n ? 1?? 2n ? 1? an?1

?n ? 2n ?1? an ,则 an ?1 ?
当 n ? 1时,a1 ?

2n ? 1 an 。 2n ? 3

1 , 所以,当 n ? 1时 ,命题成立; 3

设当 n ? k 时,命题成立,则 ak ?

? 2k ? 1?? 2k ? 3?

1

当 n ? k ? 1时, ak ?1 ?

2k ? 1 2k ? 1 1 ak ? ? 2k ? 3 2k ? 3 ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

-2-

?

1 ? ? 2 ? k ? 1? ? 1? ?? ? 2 ? k ? 1? ? 1? ?? ?? ?

所以,数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

例 4、 是否存在常数 a, b, c 使得数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 通项公式是 an ? an2 ? bn ? c , 且对于任意的正整数 n , ?an ? 的前 n 项之和 Sn ,满足 3Sn ? ? n ? 2? an ?

?a1 ? 1 ? 【答案】设满足要求的常数 a, b, c 存在,则由 n ? 2,3 可得 ?3 ? a1 ? a2 ? ? ? 2 ? 2 ? a2 ? ?3 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? 3 ? 2 ? a3
1 ? ?a ? 2 ?a1 ? 1 ?1 ? a ? b ? c ? 1 ? ? ? 解得 ?a2 ? 3 ,则 ?3 ? 4a ? 2b ? c , 解得 ?b ? 2 ?6 ? 9a ? 3b ? c ? ?a ? 6 ? ? 3 ?c ? 0 ? ?
于是,可设数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

1 ? n ? 1? n 2

由 3Sn ? ? n ? 2? an , 可得3Sn?1 ? ? n ? 3? an?1, 则3an?1 ? ? n ? 3? an?1 ? ? n ? 2? an ,

an ?1 n ? 2 ? an n
当 n ? 1时, 命题成立。 a1 ? 1, 所以当 n ? 1时,

1 ? k ? 1? k 2 k ?2 k ?2 1 1 ak ? ? ? k ? 1? k ? ? k ? 2 ?? k ? 1? 当 n ? k ? 1时 , ak ?1 ? k k 2 2 所以当 n ? k ? 1 时命题成立。
设当 n ? k 时,命题成立,即 ak ? 所以存在常数 a ? b ?
n

1 1 , c ? 0 使得数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? n ? 1? n 2 2

例 5、求所有使得 7 ? 1能被 8 整除的正整数 n 。 【答案】若 n ? 2k (k是正整数),则7 ? 1 ? 7
n 2k

? 1 ? 49k ? 1 ? 49k ?1 ? 2

先用数学归纳法证明:对于任意正整数 n , 49 ? 1 能被 8 整除
n

当 n ? 1 时,命题成立;

-3-

设当 n ? k 时,命题成立,即 49 ? 1 能被 8 整除,
k
n k ?1 k 当 n ? k ? 1时 , 49 ? 1 ? 49 ? 1 ? 49 49 ? 1 ? 48 能被 8 整除,所以当 n ? k ? 1 时命题成立。

?

?

所以,对于任意正整数 n , 49 ? 1 能被 8 整除,于是,对于正整数 k ,72 k ?1 被 8 除的余数是 2.
n

在用数学归纳法证明:对于任意正整数 m , 7 当 m ? 1 时, 7
2 m ?1

2 m ?1

? 1 能被 8 整除。

? 1 ? 8 能被 8 整除,所以当 n ? 1 时,命题成立;
2 k ?1

设当 m ? k 时,命题成立,即 7

? 1 能被 8 整除;

时,7 当 m ? k ?1

2? k ?1? ?1

? 1 ? 49 ? 7 2 k ?1 ? 1? ? 48 能被 8 整除,所以当 m ? k ? 1时 ,命题成立。
n

所以,当且仅当 n 为正整数且为奇数时, 7 ? 1能被 8 整除 例 6、对正数 a 及任意正整数 n ,求证: a ? a ? a ??? a ?

???? ? ????? ?
n个a

a ?1

【答案】当 n ? 1 时,左边= a ?

a ? 1 ,所以当 n ? 1 时,不等式成立;
a ?1

设当 n ? k 时,不等式成立,即 a ? a ? a ??? a ?

???? ? ????? ?
k个a

当 n ? k ? 1时 由 a ? a ? a ??? a ?

???? ? ????? ?
k个a

a ?1 得

a ? a ? a ? a ??? a ? a ? a ? 1 ? a ? 2 a ? 1 ? ???? ? ????? ?
k个a

?

a ?1

?

2

于是 a ? a ? a ??? a ?

???? ? ????? ?
k+1个a

a ? 1 ,所以当 n ? k ? 1时 ,不等式成立。

所以,对正数 a 及任意正整数 n , a ? a ? a ??? a ?

???? ? ????? ?
n个a

a ?1

【课堂小练】
1、某个命题与自然数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ) 时,该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立。现在已
*

知 n=5 时命题不成立,那么可推得( C ) A、n=6 时该命题不成立 B、n=6 时该命题成立 C、n=4 时该命题不成立 D、n=4 时该命题成立 原命题和逆否命题互为等假命题,因此通过判断逆否命题来解决。

-4-

2、首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

1 2 ? an ? 3? , n ? N ? 4

(1)证明:若 a1 为奇数,则对于一切 n ? 2 , an 都是奇数 (2)若对一切 n ? N ,都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围。 【答案】 (1)若 a1 ? 4a ? 3 a ? N 若 a1 ? 4b ? 1 b ? N
?

?

?

? , 则a

2

?

1? 2 ? 4a 2 ? 6a ? 3 是奇数 ? 4 a ? 3 ? ? 3? ? ? 4

?

?

? , 则a

2

?

1? 2 4b ? 1? ? 3? ? 4b 2 ? 2b ? 1 是奇数,所以当 n ? 2 时,命题成立; ? ? 4?

设当 n ? k 时,命题成立,即 ak 是奇数; 当 n ? k ? 1时 同理可证 ak ?1 是奇数,所以当 n ? k ? 1 时命题成立。 所以,若 a1 为奇数,则对于一切 n ? 2 , an 都是奇数 (2)由 a2 ?

1 2 a1 ? 3? ? a1 ,即 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0 ,解得 a1 ? 3或0 ? a1 ? 1 ? 4 3 x2 ? 3 在(0,+?)上单调递增得 0 ? ? a2 ? 1 ,即当 n ? 2 时命题成立。 4 4

若 0 ? a1 ? 1,由函数 f ? x ? ?

设当 n ? k 时,命题成立, 0 ? ak ? 1 当 n ? k ? 1时 ,同理可得 0 ? ak ?1 ? 1 ,即 n ? k ? 1 时命题成立。 若 a1 ? 3 ,同理可得 a2 ? 3 ,即当 n ? 2 时命题成立。 设当 n ? k 时,命题成立,即 ak ? 3 ; 当 n ? k ? 1时 ,同理可得 ak ?1 ? 3 ,即 n ? k ? 1 时命题成立。 所以 a1 ? 3或0 ? a1 ? 1 ,对一切 n ? N ,都有 an?1 ? an 3、设数列 ?an ? 的前 n 项之和 Sn ,且方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一根为 Sn ? 1, n ? 1, 2,3? (1)求 a1 , a2 (2)求 ?an ? 的通项公式 【答案】 (1) a1 ?
?

1 1 ; a2 ? 2 6
2

(2) ?

1 ?1 1 ? ?1 1 ? ? ? a3 ? 1? ? a3 ? ? ? a3 ? 1? ? a3 ? 0 解得 a3 ? 12 ?2 6 ? ?2 6 ? S1 ? 1 1 1 1 2 1 ? 1 ? ; S2 ? ? ? ? 1 ? 2 2 2 6 3 3
-5-

S3 ?

3 1 1 ? 1 ? ; 猜想Sn ? 1 ? 4 4 n ?1
2

由已知得 ? S n ?1 ? 1? ? an ?1 ? S n ?1 ? 1? ? an ?1 ? 0; 又an ?1 ? S n ?1 ? S n 所以 Sn ?1 ?

1 2 ? Sn

1 ;所以当 n ? 1 时,命题成立; 2 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 S k ? 1 ? ; k ?1
当 n ? 1时,S1 ? 当 n ? k ? 1 时, S k ?1 ?

1 ? 2 ? Sk

1 1 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? k ?1 ?

?

k ?1 1 ? 1? k ?2 k ?2
1 n ?1

所以,当 n ? k ? 1 时命题成立,即对任意正整数 n, S n ? 1 ? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,又 a1 ? 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

1 2

1 n ? n ? 1?

2 2 ? 4、已知数列 ?an ? , an ? 0, a1 ? 0, an ?1 ? an ?1 ? 1 ? an n ? N ,记 Sn ? a1 ? a2

?

?

??? an , Tn ?

1 1 1 ? ??? 1 ? a1 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? an ?
?

求证:当 n ? N 时 (1) an ? an?1 ; (2) Sn ? n ? 2 ; (3) Tn ? 3 。
2 【答案】 (1)由已知可得 a2 ? a2 ?1 ? 0 解得 a2 ?

?1 ? 5 ,当 n ? 2时,0 ? a2 ? 1 2
2

设 0 ? ak ? 1 ,则当 n ? k ?1 时,ak ?1 ? ak ?1 ?1 ? ak ? 1, 则? ak ?1 ? 2?? ? ak ?1 ?1? ? 0
2

0 ? ak ?1 ? 1
所以对任意正整数 n,有 0 ? an ? 1 ,于是,由 an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? 0 ,
2 2

即 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? ? 0, 得an ? an?1
-6-

2 2 2 2 2 2 2 2 (2)由 an?1 ? an ? an ?1 ? 1 得 an ? an?1 ? an ? 1, an?1 ? an?2 ? an?1 ? 1 , a2 ? a1 ? a2 ? 1 2 2 2 于是 an ? an?1 ??? a2 ? a1 ? an ? n ?1 ,而 a1 ? 0,0 ? an ?1

所以 Sn ? n ? 2
2 2 2 (3)由 an ? 0, an ?1 ? an?1 ? an ? 1 可得, an?1 ? an ?1 ? 2an ,



a a a a 1 1 1 1 ? n?1 , ? n , ? n?1 ,? ? 3 1 ? an?1 2an 1 ? an 2an ?1 1 ? an ?1 2an ?2 1 ? a3 2a2

则当 n ? 3 时,

a 1 ? n?2n ,而 ?1 ? a2 ? a2 ? 1 ? a12 , a1 ? 0 ?1 ? a3 ???1 ? an?1 ??1 ? an ? 2 a2

0 ? an ? 1

an an 1 1 ? n?2 ? n ?2 ? n?2 2 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? an ? 2 a2 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? 2 ?1 ? a1 ? ?1 ? a1 ? 2
2 由 a1 ? 0, a2 ? a2 ?1 ? a12 得

?1 ? a1 ??1 ? a2 ?

1

? a2 ? 1

Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ? ? 2 ??? n?2 1 ? a1 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? 2 2 2 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? an ?
n?2

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? ? 2? 1 1? 2
【课堂总结】

? ? ? ?

? 3?

1 2
n?2

?3

1、 在用数学归纳法证明题目的时候需要关注的从 n=k 到 n=k+1 左边和右边都发生了什么变化, 增加或减少了哪些项。 2、 在推理的过程中必须要用到前一步的假设,即 n=k 时的情况。

【课后练习】
一、基础巩固 1.下列各式中可以用数学归纳法证明的是( )
2 3 4 5 2 (A) ?1 ? n ? 1 ? n ? n ? n ? n ? 1 ? n (B)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像时轴对称

?

?

(C)11 的奇数次方与 1 的和一定能被 12 整除 (C) n ? 1, 2.用数学归纳法证明

n ?1 n ? n n ?1
( )

1 1 1 13 ? ??? ? 的过程中,由 k 增加到 k ? 1 时,不等式左边的变形是 n ?1 n ? 2 2n 24

-7-

(A)增加

1 2 ? k ? 1?

(B) 增加

1 1 和 2k ? 1 2 k ? 2

(C) 增加

1 1 1 和 ,且减少 2k ? 1 2 k ? 2 k ?1
2

(D)以上结论都不对
2? n ?1?

3. 用数学归纳法证明: 1 ? a ? a ? ? ? a 子应为( ) (A) 1 (B) 1 ? a

?

1 ? a 2 n ?3 a ? 1, n ? N ? ? ,需验证 n ? 1 时等式成立,此时左边的式 ? 1? a

(C) 1 ? a ? a ? a
2

3

(D) 1 ? a ? a ? a ? a
2 3

4

4. 用数学归纳法证明等式 “1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ( n? N? ) ” 过程中第一步, 当n ?1 2 3 4 2n ? 1 n ? 1 n ? 2 2n
?

时,左边=__________,右边=___________。 5. 用数学归纳法证明等式“ 1 ? 2 ? 3 ? ? ?2n ?1 ? ? n ?1?? 2n ?1? ( n ? N ) ”时,从 n ? k到n ? k ? 1 时,等式左 边需要增加的是____________。 6. 用数学归纳法证明“ 1 ? 2 ? 4 ? ? ?2
1 n ?1

? 2n ? 1 ( n ? N ? ) ”时

(1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 2 ? 1 ,?原等式成立
k ?1 k ( 2 ) 假 设 n ? k 时 , 等 式 成 立 , 即 1 ? 2 ? 4 ? ? ?2 ? 2 ? 1 , 当 n ? k ? 1 时 , 1 ? 2 ? 4 ? ?

?2?

k ?1? ?1

?

1? ?1 ? 2k ?1 ? 1? 2

? (2)可以断定,当年等式对于任何 n ? N ? 2k ?1 ? 1 ,即 n ? k ? 1 时,等式也成立,根据(1)

都成立。以上证法是_______(填“正确”或“不正确” ) ,理由是_________________________. 7. 在 数 列

?an ?

中 , 已 知 an ? 0 , 若 此 数 列 的 前 n 项 和 Sn ?

1? 1? ? ? an ? ? ( n ? N ) , 2? an ?



a1 ? ________, a2 ? ________, a3 ? __________,进而猜想 an ? ____________。
8.数列:

3 5 7 , , , ? 的第四项是_________,猜想第 n 项的一个通项公式是______________。 2 4 8

二、能力提升 9.某个命题与自然数有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 该命题成立,那么可以推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,先为了推 得 n ? 5 时该命题不成立,那么需已知 ( ) (A) n ? 6 时命题不成立 (B) n ? 6 时命题成立 (C) n ? 4 时命题不成立 (D) n ? 4 时命题成立

6 ?5 10. 用数学归纳法证明: (1)当 n ? N 时, 4?
n

?

n ?1

? 9 能被 20 整除; (2)三个连续正整数的立方和可以被 9 整

除。

-8-

11.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5 且前 n ? 1 和 Sn?1 ? an ( n ? 2 , n ? N ) ,求 a2 , a3 , a4 , a5 的值并由此猜想 ?an ? 的通
?

项公式。

12.在数列 ?an ? 中, Sn?1 ? pSn ? q( p, q ? 0), 且S1 ? 1, S2 ? 3, S4 ? 15 。 (1)求 p, q 的值; (2)求 a2 , a3 , a4 ; (3)推测 an 的表达式,并用数学归纳法加以证明。

-9-

13.自然状态下的鱼类是一种可再生的资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其繁殖能力及捕捞强度对鱼群总 量的影响,用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量, n ? N ,且 x1 ? 0 ,不考虑其他因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖
2 量及被捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn 成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b, c 。 (1)求 xn?1与xn 的关系式;
?

(2)猜想:当且仅当 x1 , a, b, c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) ; (3)设 a ? 2, c ? 1, 为保证对任意 x1 ? ? 0, 2? ,都有 xn ? 0 , n ? N ,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论。
?

三、创新探究
2 14.已知函数 f ? x ? ? 0 ,对任意实数 x, y 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 2 f ? x ? f ? y ? ,求证: f ? nx ? ? n f ? x ?

( n? N ) 。

?

四、高考体验 15. ( 2009 山 东 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 的 n ? N , 点 ? n, Sn ? 均 在 函 数
?

y ? bx ? r ?b ? 0且b ? 1, b, r均为常数? 的图像上。
- 10 -

(1)求 r 的值; (2)当 b ? 2 时,记 bn ? 2 ? log2 an ?1? ( n ? N )
?

证明:对于任意 n ? N ,不等式

?

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ?? n ? ? n ? 1 成立 b2 b1 b2

答案
1.C 2.C 3.D 4. 1 ?

1 1 ; 2 1?1

5. ? 2k ? 2? ? ? 2k ? 3?

6.不正确;递推步骤中没有用到归纳假设 7. 1; 2 ?1; 3 ? 2; n ? n ?1 8.

9 2n ? 1 ; 16 2 n

9.A

10.略 11. a2 ? 5, a3 ? 10, a4 ? 20, a5 ? 40 12.(1) p ? 2.q ? 1 (2) a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8 (3) an ? 2n?1 13.(1) xn?1 ? xn ? a ? b ? 1 ? cxn ? , n ? N
?

猜想 an ? ?

?5, n ? 1
n?2 ?5?2 , n ? 2

- 11 -

(2)猜想:当且仅当 a ? b, 且x1 ?

a ?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变 c

(3)捕捞强度 b 的最大允许值是 1。 14.证明: (ⅰ)当 n ? 1 ,原结论显然成立(ⅱ)假设当 n ? k 时结论成立,即 f ? kx ? ? k 2 f ? x ? ,那么当 n ? k ? 1 时,

f? ?? k ? 1? x ? ? ? f ? kx ? x ? ? f (kx) ? f ? x ? ? 2 f ? kx ? f ? x ?
? k 2 f ? x ? ? f ? x ? ? 2kf ? x ? ? ? k ? 1? f ? x ? ? f ? x ? ? 0, k ? 1? , 即 当 n ? k ? 1 时 , 结 论 也 成 立 , 综 合 可 知 ,
2

f ? nx ? ? n2 f ? x ? 对任意 n ? N ? 都成立
15.(1) r ? ?1 (2)当 b ? 2 时, an ? ?b ?1? bn?1 ? 2n?1 , bn ? 2 ? log2 an ?1? ? 2n ,则

bn ?1 2n ? 1 ? bn 2n

?

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2n ? 1 ? ? ?? n ? ? ? ?? b1 b2 bn 2 4 6 2n b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 成立。 b1 b2 bn 2 4 6 2n b1 ? 1 b2 ? 1 bk ? 1 3 5 7 2k ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 1 成立,则当 n ? k ? 1 时,左 b1 b2 bk 2 4 6 2k

然后再用数学归纳法证明不等式 ①当 n ? 1 时,不等式成立

②假设当 n ? k 时不等式成立,即

边=

b1 ? 1 b2 ? 1 bk ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 2k ? 1 2k ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
2

4 ? k ? 1? ? 4 ? k ? 1? ? 1 2k ? 3 ? k ? 1? ? ? 2k ? 2 4 ? k ? 1?
所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 由①②可得不等式恒成立。

? k ? 1? ? 1 ?

1 ? 4 ? k ? 1?

? k ? 1? ? 1

- 12 -

- 13 -


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