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1.2.1充分条件与必要条件


复 习 旧 知引 入 新 课

1、命题:可以判断真假的陈述句 可以写成:若p则q。 2、四种命题及相互关系
互逆 逆命题 原命题 若 q则 p 若 p则 q 互否 互否 互为 逆否 否命题 若 逆否命题若 互逆 p则 q q则 p

判断下列命题是真命题还是假命题: (1)若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ; 真


2 2

x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
(2)若ab ? 0 ,则 a ? 0 ;



(3)全等三角形的面积相等; 真

两三角形全等 ? 两三角形面积相等 (4)对角线互相垂直的四边形是菱形; 假
2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不等的实数解, (5)若方程

则b2 ? 4ac ? 0 .



方程有 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 两个不等的实数解 ? b 2 ? 4ac ? 0 2 2 (6)若 x ? y ,则 x ? y ; 假

充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q那 么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.

例如:
x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是x ? 2ab的充分条件

x ? 2ab是x ? a 2 ? b2的必要条件

两三角形全等 ? 两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

例1:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题中的 p是q 的充分条件? (1)若x ? 1,则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0; (2)若f ( x ) ? x,则 f ( x )为增函数; (3)若x为无理数, 则x 2为无理数.

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的p是q的充分条件.

如果若p则q为假命题,那么由p推不 出q,记作p ?? q。此时,我们就说p不 是q的充分条件,q不是p的必要条件。

例2:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题中的 q是p的必要条件? ( 1 )若x ? y,则x 2 ? y 2 ; (2 )若两个三角形全等, 则这两个三角形的面积 相等; (3) 若a ? b, 则ac ? bc .

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

课堂小结
1.充分条件、必要条件

2.判断“若p,则q”命题中,条件p是q的 什么条件.


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