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2015-2016学年高中数学 2.1.2演绎推理课后习题 新人教A版选修2-2


2.1.2
课时演练·促提升

演绎推理
)

A组 1.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理方法属于(

A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 答案:A 2.下面几种推理中是演绎推理的是( ) x x A.因为 y=2 是指数函数,所以函数 y=2 经过定点(0,1

) * B.猜想数列,?的通项公式为 an=(n∈N ) C.由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行” 2 2 2 2 D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a) +(y2 2 2 b) + (z-c) =r 解析:A 是演绎推理,B 是归纳推理,C,D 是类比推理. 答案:A 3.“π 是无限不循环小数,所以 π 是无理数”,以 上推理的大前提是( ) A.实数分为有理数和无理数 B.无理数是无限不循环小数 C.无限不循环小数都是无理数 D.有理数都是有限循环小数 答案:C 4.有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线 b? 平面 α ,直线 a? 平面 α ,直线 b∥平面 α ,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小 前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析:“直线与平面平行”,不能得出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提错误. 答案:A 5.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足的条件是( ) 2 2 2 2 2 2 A.a <b +c B.a =b +c 2 2 2 2 2 2 C.a >b +c D.a ≤b +c 解析:由余弦定理的推论 cos A=,要使∠A 为钝角,当且仅当 cos A<0,而 2bc>0, 2 2 2 则 b +c -a <0. 2 2 2 故 a,b,c 应满足的条件是 a >b +c .选 C. 答案:C 6.求函数 y=的定义域时,第一步推理中大前提是有意义时,a≥0,小前 提是有意义,结论 是 . 解析:∵由已知得 log2x-2≥0, ∴l og2x≥2,即 x≥4. ∴结论是{x|x≥4}. 答案:{x|x≥4} 7.在 R 上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值 范围是 . 解析:(x-a)(x+a)<1 对任意 x 恒成立 ?(x-a)[1-(x+a)]<1 对任意 x 恒 成立 2 2 ?x -x-a +a+1>0 对任意 x 恒成立 2 ?Δ =1-4(- a +a+1) <0?-<a<. 答案:-<a< 2 8.设 m 为实数,利用三段论证明方程 x -2mx+m-1=0 有两个相异实根.

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证明:因为如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的判别式 Δ =b -4ac>0,那么方程有两相异实根.大 前提 2 一元二次方程 x -2mx+m-1=0 的判别式 2 2 Δ =(-2m) -4(m-1)= 4m -4m+4 2 =(2m-1) +3>0,小前提 2 所以方程 x -2mx+m-1=0 有两相异实根.结论 9.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EDB⊥平面 ABD.求证:AB⊥DE.

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证明:在△ABD 中, ∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°, ∴BD==2. ∴AB2+BD2=AD2.∴AB⊥BD. 又平面 EBD⊥平面 ABD, 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB? 平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. ∵DE? 平面 EBD,∴AB⊥DE. B组 1.若平面四边形 ABCD 满足=0,()·=0,则该四边形一定是( ) A.直角梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 解析:由=0? AB∥CD,AB=CD,由()·=0? BD⊥AC,故选 D. 答案:D 2.设是 R 内的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 ab∈A,则称 A 对运算封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 解析:A 错:因为自然数集对减法不封闭;B 错:因为整数集对除法不封闭;C 对:因为任意两个有理数 的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭;D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 答案:C 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x=对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= . 解析:由题意,知 f(0)=0,f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=0,f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-3)=0,f(5)=f(-4)=0, 故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 答案:0 4.关于函数 f(x)=lg(x≠0),有下列命题: ①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)为减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:∵f(x)是偶函数,∴①正确; 当 x>0 时,f(x)=lg=lg≥lg 2, 当 x=1 时取等号,

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∴0<x<1 时 f(x)为减函数,x>1 时 f(x)为增函数,x=1 时取得最小值 lg 2. 又 f(x)为偶函数, ∴-1<x<0 时 f(x)为增函数,x<-1 时 f(x)为减函数,x=-1 时取得最小值 lg 2. ∴③④也正确. 答案:①③④ 5.

如图所示,三棱锥 A-BCD 的三条侧棱 AB,AC,AD 两两互相垂直,O 为点 A 在底面 BCD 上的射影. 求证:O 为△BCD 的垂心. 证明:∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A, ∴AD⊥平面 ABC.

又 BC? 平面 ABC, ∴AD⊥BC. ∵AO⊥平面 BCD,AO⊥BC, 又 AD∩AO=A, ∴BC⊥平 面 AOD, ∴BC⊥DO,同理可证 CD⊥BO, ∴O 为△BCD 的垂心. 6.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明:因为 x,y∈R 时,f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令 x=y=0 得,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0), 所以 f(0)=0. 令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 所以 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. (2)解:设 x1,x2∈R,且 x1<x2, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), 因为当 x>0 时,f(x)<0,所以 f(x2-x1)<0, 即 f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)为减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3). 因为 f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6, 所以函数 f(x)在[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6. 2 2 2 2 7.已知 2sin α +sin β =3sin α ,求 sin α +sin β 的取值范围. 2 2 2 2 2 解:由 2sin α +sin β =3sin α ,得 sin α +sin β =-sin α +3sin α =-,且 sin α ≥0, ∵0≤sin2β ≤1,sin2β =3 sin α -2sin2α , ∴0≤3sin α -2sin2α ≤1.

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解得 sin α =1 或 0≤sin α ≤. 2 2 令 y=sin α +sin β , 当 sin α =1 时,y=2; 当 0≤sin α ≤时,0≤y≤, ∴sin2α +sin2β 的取值范围是∪{2}.

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