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福建省福州八中2015届高考数学三模试卷(理科)


福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)合集 U={0,1,2,3},?UM={2},则集合 M=() A.{0,1,3} B.{1,3} C.{0,3} 2. (5 分)若角 α 的终边在第二象限且经过点 P(﹣1, A. B. ﹣ C. ﹣

D.{2}

) ,则 sinα 等于() D.

3. (5 分)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于() A.﹣6(1﹣3
﹣10



B.

C.3(1﹣3

﹣10



D.3(1+3

﹣10



4. (5 分)已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 A.1 B. C.

,则| + |=() D.2

5. (5 分)下列说法正确的是() A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B. “向量 , , ,若
2

,则

”是真命题 +1<0” ,则 sina ”
2 2 2

C. “?x∈R,x +1>0 ”的否定是“?x0∈R, D.“若 a= ,则 sina= ”的否命题是“若 a

6. (5 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 2c =2a +2b +ab,则 △ ABC 是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< g(x)=sinωx 的图象,可以将 f(x)的图象() )的图象如图所示,为了得到

A.向左平移

个单位长度

B. 向左平移

个单位长度

C. 向右平移

个单位长度

D.向右平移
2

个单位长度

8. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C. D.

9. (5 分)已知函数 交点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…,则 A.6π B . 7π C.12π

与直线 等于()

相交,若在 y 轴右侧的

D.13π

10. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a、b∈R,满足 f(ab) =af(b)+bf(a) ,f(2)=2, (n∈N ) ,
*

(n∈N ) .考查下列

*

结论:①f (0)=f (1) ;②f(x) 为偶函数;③数列{an}为等比数列;④{bn}为等差数列.其 中正确的是() A.①②③ B.①③④ C.③④ D.①③

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分) =.

12. (4 分)已知向量 =(2,4) , =(1,1) ,若向量 ⊥(λ + ) ,则实数 λ 的值是.

13. (4 分)已知

,且 ,则 sinα=.

14. (4 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于. 15. (4 分)直线 l 与函数 y=sinx(x∈)的图象相切于点 A,且 l∥OP,O 为坐标原点,P 为 图象的极值点,l 与 x 轴交于点 B,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,则 =.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)等差数列{an}满足 a1=3,a1+a2+…+a10=120,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 ,求数列{an}和{bn}的通项公式.
2

17. (13 分)在平面直角坐标系中,角 α,β 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1,2cos θ) 在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,﹣1)在角 β 的终边上,且 (1)求 cos2θ; (2)求 P,Q 的坐标并求 cos(α﹣β)的值. 1 8. (13 分)若向量 函数 ,其中 ω>0,记 ,若函数 f(x)的图象与直线 y=m(m 为常数)相切,并
2

=﹣1.

且切点的横坐标依次成公差为 π 的等差数列. (1)求 f(x)的表达式及 m 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 ,得到 y=g(x)的图象,当 时,

y=g(x)与 y=cosα 的交点横坐标成等比数列,求钝角 α 的值. 19. (13 分)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规 划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面. 该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整,为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P;使得棚户区改造的新建筑用 地 APCD 的面积最大,并求最大值.

20. (14 分)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)=3x +2mx+9,f(x)在 x=3 处取得极值, 且 f(0)=0. (Ⅰ)求 f(x)的极大值和极小值; (Ⅱ)记 f(x)在闭区间上的最大值为 F(t) ,若对任意的 t(0<t≤4)总有 F(t)≥λt 成立, 求 λ 的取值范围; (Ⅲ)设 M(x,y)是曲线 y=f(x)上的任意一点.当 x∈(0,1]时,求直线 OM 斜率的 最小值,据此判断 f(x)与 4sinx 的大小关系,并说明理由.

2

选修、本题(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,请考生任选 2 题作答,如果多做,则按所做的前 两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1)选修 4-2:矩阵与变换 21. (4 分)已知矩阵 A= (Ⅰ) 求 A 的逆矩阵 A ; (Ⅱ)求矩阵 A 的特征值 λ1、λ2 和对应的一个特 征向量 、 .
﹣1



22. (4 分)选修 4﹣4: 《坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方程为 (α

为参数) (Ⅰ)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 23. (4 分)已知 a>0,b>0,且 a +b = ,若 a+b≤m 恒成立, (Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2|x﹣1|+|x|≥a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围.
2 2

福建省福州八中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)合集 U={0,1,2,3},?UM={2},则集合 M=() A.{0,1,3} B.{1,3} C.{0,3}

D.{2}

考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题. 分析: 利用全集和补集的定义,确定集合 M 元素的构成. 解答: 解:∵合集 U={0,1,2,3},CUM={2},∴M 是把全集 U 中的元素去掉 2 后,剩 余元素构成的集合, 集合 M={0,1,3}, 故选 A. 点评: 本题考查全集和补集的定义,确定 M 是把全集 U 中的元素去掉 2 后,剩余元素构 成的集合是解题的关键.

2. (5 分)若角 α 的终边在第二象限且经过点 P(﹣1, A. B. ﹣ C. ﹣

) ,则 sinα 等于() D.

考点: 专题: 分析: 的值. 解答:

任意角的三角函数的定义. 计算题;三角函数的求值. 由坐标系中两点之间的距离公式,可得|OP|=2,结合三角函数的定义即可算出 sinα 解:∵点 P(﹣1, ,|OP|= = . ) , =2,

∴x=﹣1,y= 因此,sinα=

故选:A. 点评: 本题给出角 α 的终边经过点 P(﹣1, ) ,求 α 角的正弦之值,着重考查了任意 角三角函数定义的知识,属于基础知识的考查.

3. (5 分)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于() A.﹣6(1﹣3
﹣10



B.

C.3(1﹣3

﹣10



D.3(1+3

﹣10



考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 后代入等比数列的求和公式可求 解答: 解:∵3an+1+an=0 ∴ 可求 a1,然

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4
﹣10

由等比数列的求和公式可得,S10=

=3(1﹣3



故选 C 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题

4. (5 分)已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 A.1 B. C.

,则| + |=() D.2

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的几何表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据| + | = 结合向量数量积的公式可得答案. 解答: 解:由题意可得:| + | = ∵ , 均为单位向量,它们的夹角为 ∴| + | = ∴| + |= ,
2 2 2

,而 , 均为单位向量,它们的夹角为

,再

, , =3,

=1+1+2×1×1×cos

故选 C. 点评: 本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式, 解决此类问题的关键是熟练 记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分.属于基础题. 5. (5 分)下列说法正确的是() A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B. “向量 , , ,若
2

,则

”是真命题 +1<0” ,则 sina ”

C. “?x∈R,x +1>0”的否定是“?x0∈R, D.“若 a= ,则 sina= ”的否命题是“若 a

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断. B.根据向量的基本运算即可判断. C.根据含有量词的命题的否定. D.根据四种命题之间的关系进行判断. 解答: 解:A.函数 f(x)= 是奇函数,但 f(0)=0 不成立,故 A 错误. B.若向量 = ,满足 ,但 不成立,故 B 错误.
2

C.全称命题的否定是特称命题,则“?x∈R,x +1>0”的否定是“?x0∈R, 错误.

+1≤0”,故 C

D.“若 a=

,则 sina= ”的否命题是“若 a

,则 sina

”,正确.

故选:A 点评: 本题主要考查命题的真假判断, 要求熟练掌握充分条件和必要条件, 四种命题之间 的关系以及含有量词的命题的否定,比较基础. 6. (5 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 2c =2a +2b +ab,则 △ ABC 是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 考点: 三角形的形状判断;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知 2c =2a +2b +ab,由余弦定理知 c =a +b ﹣2abcosC,联立解得 cosC=﹣ .由 0<C<π,可得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2 2

解答: 解:∵2c =2a +2b +ab,由余弦定理知 c =a +b ﹣2abcosC, ∴可解得 cosC=﹣ . ∵0<C<π, ∴ .

故选:D. 点评: 本题主要考察了余弦定理的应用, 考察了三角形的形状判断, 属于基本知识的考查.

7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< g(x)=sinωx 的图象,可以将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到

A.向左平移 C. 向右平移

个单位长度 个单位长度

B. 向左平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 先确定函数 f(x)的解析式,再利用图象的变换规律,即可得到结论. 解答: 解:由题意,A=1,T=4×( ∴f(x)=sin(2x+?) )=π,∴ω= =2

将( ∵|?|<

)代入可得﹣1=sin( ,∴?= )

+?)

∴f(x)=sin(2x+

∴为了得到 g(x)=sinωx 的图象,可以将 f(x)的图象向右平移

个单位长度

故选 C. 点评: 本题考查三角函数解析式的确定,考查图象的变换,正确确定函数的解析式关键. 8. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() B. C. D.
2

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用导数的几何意义赇 出 f(x)=x +x,从而得到 an= 由此利用裂项求和法能求出 S2014. 2 解答: 解:∵f(x)=x +bx,∴f′(x)=2x+b ∵直线 3x﹣y+2=0 的斜率为 k=3, 函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 3x﹣y+2=0 平行, ∴f′(1)=2+b=3,解得 b=1, 2 ∴f(x)=x +x, ∴an= = = , )=1﹣ = ,
2 2

=

=



∴Sn=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ∴S2014= .

故选:B. 点评: 本题考查数列的前 2014 项的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数 的几何意义和裂项求和法的合理运用.

9. (5 分)已知函数 交点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…,则 A.6π B . 7π C.12π

与直线 等于()

相交,若在 y 轴右侧的

D.13π

考点: 函数的零点与方程根的关系;两点间的距离公式.

专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用. 分析: 利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知,y=sin2x,依题意可求得 M1,M2, M3,…M13 的坐标,从而可求 解答: 解:∵y=2sin(x+ ∴由题意得:sin2x= , ∴2x=2kπ+ ∴x=kπ+ 或 2x=2k π+ 或 x=kπ+ , 的值. )cos(x﹣ )=2cosxsinx=sin2x,

,k∈Z,

∵正弦曲线 y=sin2x 与直线 y= 在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…, ∴得 M1 ( ∴ ∴ ,0) ,M2( ,0) ,M3(π+ ) ,M4(π+ ) ,…M13(6π+ ,0) ,

=(6π,0) , =6π.

故选 A. 点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,着重考查正弦函数的性质,求得 M1,M13 的坐标是关键,属于中档题. 10. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a、b∈R,满足 f(ab) =af(b)+bf(a) ,f(2)=2, (n∈N ) ,
*

(n∈N ) .考查下列

*

结论:①f (0)=f (1) ;②f(x) 为偶函数;③数列{an}为等比数列;④{bn}为等差数列.其 中正确的是() A.①②③ B.①③④ C.③④ D.①③ 考点: 数列与函数的综合. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 因此题为单选题,可用排除法去做.排除时先通读选项,找出不需验证的结论,在 逐一验证其他结论,得出答案. 解答: 解:令 a=b=0,得到 f(0)=0;a=b=1,得到 f(1)=0,故①正确,排除 C, f(ab)=af(b)+bf(a) ,f(2)=2, (n∈N ) ,
*



, 说明 bn 为等差数列,故④正确,根据选项,排除 A,D.



(n∈N ) ,b1=

*

=1,bn=1+(n﹣1)×1=n,f(2 )=2 bn=n2 ,

n

n

n

∴an=

=2 ,故 数列{an}是等比数列,③正确.

n

故选:B. 点评: 此题考查函数中赋值法求函数值,以及函数与数列的综合,需认真分析条件,做出 解答 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分) =ln2.

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据微积分定理,直接求解即可. 解答: 解: =lnx| .

故答案为:ln2. 点评: 本题主要考查定积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,比较基础.

12. (4 分)已知向量 =(2,4) , =(1,1) ,若向量 ⊥(λ + ) ,则实数 λ 的值是



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 向量 =(2,4) , =(1,1) ,向量 ⊥(λ + ) , +2=0,由此能求出 λ. 解答: 解:∵向量 =(2,4) , =(1,1) , 向量 ⊥(λ + ) , ∴ ∴λ(2+4)+2=0, ∴ . . , ,故 λ(2+4)

故答案为:

点评: 本题考查数量积判断两个平面的垂直关系的应用,是基础题,解题时要认真审题, 仔细解答.

13. (4 分)已知 ,则 sinα=

,且 .

考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 α 和 β 的范围求出 α﹣β 的范围,根据 cos(α﹣β)的值,利用同角三角函数间 的基本关系求出 sin (α﹣β) 的值, 再由 sinβ 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 cosβ 的值,然后将所求式子中的角 α 变为(α﹣β)+β,利用两角和与差的正弦函数公式化简后, 将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:∵α∈(0, ∴α﹣β∈(0,π) , 又 cos(α﹣β)= ,sinβ=﹣ ∴sin(α﹣β)= , = ,cosβ= = , ) ,β∈(﹣ ,0) ,

则 sinα=sin=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ = × + ×(﹣ )= .

故答案为: 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌 握公式及基本关系是解本题的关键,同时注意角度的范围. 14. (4 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当 Sn 取最小值时, n 等于 6. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质化简 a4+a6=﹣6,得到 a5 的值,然后根据 a1 的值,利用等差 数列的通项公式即可求出公差 d 的值,根据 a1 和 d 的值写出等差数列的通项公式,进而写 出等差数列的前 n 项和公式 Sn,配方后即可得到 Sn 取最小值时 n 的值. 解答: 解:由 a4+a6=2a5=﹣6,解得 a5=﹣3,又 a1=﹣11, 所以 a5=a1+4d=﹣11+4d=﹣3,解得 d=2, 则 an=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13, 所以 Sn= =n ﹣12n=(n﹣6) ﹣36,
2 2

所以当 n=6 时,Sn 取最小值. 故答案为:6 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值, 掌握等差数 列的性质,是一道基础题.

15. (4 分)直线 l 与函数 y=sinx(x∈)的图象相切于点 A,且 l∥OP,O 为坐标原点,P 为 图象的极值点, l 与 x 轴交于点 B, 过切点 A 作 x 轴的垂线, 垂足为 C, 则 = .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 直线 l 的斜率即为 OP 的斜率,即函数 y=sinx 在点 A 处的导数,得到 cosx1= 点斜式写出 AB 直线的方程,求出点 B 的横坐标,由 ﹣xB) 求出结果. 解答: 解:∵P( ,1) ,直线 l 的斜率即为 OP 的斜率 = ,设 A(x1,y1) ,
2



=

cos∠ABC=

=(x1

由于函数 y=sinx 在点 A 处的导数即为直线 l 的斜率, ∴cosx1= ,y1=sinx1= = ,

∴AB 直线的方程为 y﹣y1=

(x﹣x1 ) , y1,
2

令 y=0 可得点 B 的横坐标 xB=x1﹣

=

cos∠ABC=

=(x1﹣xB) =

=

×(1﹣



=



故答案为:



点评: 本题考查直线的斜率公式,函数的导数与斜率的关系,求直线的点斜式方程,以及 两个向量数量积的定义,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)等差数列{an}满足 a1=3,a1+a2+…+a10=120,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 ,求数列{an}和{bn}的通项公式.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 设数列{an}的公差为 d.由题意可得 d 的方程,解的 d 值,可得通项公式;由 可得 n≥2 时,Sn﹣1=2bn﹣1﹣1,两式相减可得 bn=2bn﹣1,进而可得 数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,可得通项公式. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d. ∵ ∴an=a1+(n﹣1)d=2n+1 ∵ …① ,∴d=2

当 n≥2 时,Sn﹣1=2bn﹣1﹣1…② ①﹣②得 bn=2bn﹣2bn﹣1 即 bn=2bn﹣1, 当 n=1 时,S1=2b1﹣1,解得 b1=1 ∴数列{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴ 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求解,属基础题. 17. (13 分)在平面直角坐标系中,角 α,β 的始边为 x 轴的非负半轴,点 P(1,2cos θ) 在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,﹣1)在角 β 的终边上,且 (1)求 cos2θ; (2)求 P,Q 的坐标并求 cos(α﹣β)的值. 考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;平面向量的综合题. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用向量的数量积即可求出; (2)利用倍角公式、三角函数的定义及两角差的余弦公式即可求出. 2 2 解答: 解: (1)∵点 P(1,2cos θ) ,点 Q(sin θ,﹣1) , ∴ ∵ ∴ 解得 cos2θ= . (2)由(1)得:2cos θ=1+cos2θ= ,∴P = ,∴ ∴ ,|OQ|= . .
2 2 2 2

=﹣1.

, =﹣1,∴sin θ﹣2cos θ=﹣1. ,
2







, ,

, . .



点评: 熟练掌握向量的数量积、 三角函数的定义及两角差的余弦公式、 倍角公式是解题的 关键.

18. (13 分)若向量 函数

,其中 ω>0,记 ,若函数 f(x)的图象与直线 y=m(m 为常数)相切,并

且切点的横坐标依次成公差为 π 的等差数列. (1)求 f(x)的表达式及 m 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 ,得到 y=g(x)的图象,当 时,

y=g(x)与 y=cosα 的交点横坐标成等比数列,求钝角 α 的值. 考点: 数列与向量的综合;数列与三角函数的综合. 专题: 计算题. 分析: (1)由 ,知 ,由 此能求出 f(x)的表达式及 m 的值. (2)将 得到 g(x)=sin2x,由其对称性,可设交点横坐标分别为 能求出钝角 α 的值. 解答: 解: (1)∵ ∴ =( = =sin(2ωx﹣ ﹣ ,sinωx)?(sinω,0) +sin ωx﹣ ) . (4 分)
2

的图象向左平移



,由此



由题意可知其周期为 π, ∴ 故 ω=1, ,





∴由正弦型曲线的性质知:m=±1. (6 分) (2)将 得到 ∴g(x)=sin2x, (8 分) ∵g(x)=cosα, ∴sin2x=cosα, ∴由三角函数图象的周期性,可设交点横坐标分别为 ∵当 ∴ ∴ ∴ . (4 分) 时,g(x)=cosα 的交点横坐标成等比数列, ,则 , (12 分) , 的图象向左平移 =sin2x, ,

点评: 本题考查数列与向量的综合运用, 解题时要认真审题, 注意三角函数恒等式的灵活 运用. 19. (13 分)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规 划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面. 该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 AB CD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整,为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P;使得棚户区改造的新建筑用 地 APCD 的面积最大,并求最大值.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;综合题. 分析: (1)连接 AC,根据余弦定理求得 cos∠ABC 的值,进而求得∠ABC,然后利用 三角形面积公式分别求得△ ABC 和△ ADC 的面积, 二者相加即可求得四边形 ABCD 的面积, 在△ ABC 中,由余弦定理求得 AC,进而利用正弦定理求得外接圆的半径.

(2)设 AP=x,CP=y.根据余弦定理求得 x 和 y 的关系式,进而根据均值不等式求得 xy 的 最大值,进而求得△ APC 的面积的最大值,与△ ADC 的面积相加即可求得四边形 APCD 面 积的最大值. 解答: 解: (1)因为四边形 ABCD 内接于圆, 所以∠ABC+∠ADC=180°,连接 AC,由余弦定理: 2 2 2 AC =4 +6 ﹣2×4×6×cos∠ABC 2 2 =4 +2 ﹣2×2×4cos∠ADC、 所以 cos∠ABC= ,∵∠ABC∈(0,π) , 故∠ABC=60°. S 四边形 ABCD= ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120° =8 (万平方米) . 在△ ABC 中,由余弦定理: 2 2 2 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC =16+36﹣2×4×6× . AC=2 . = = =2R, = ,

由正弦定理 ∴2R=

∴R=

(万米) .

(2)∵S 四边形 APCD=S△ ADC+S△ APC, 又 S△ ADC= AD?CD?sin120°=2 设 AP=x,CP=y. 则 S△ APC= xy?sin60°=
2 2 2



xy.

又由余弦定理 AC =x +y ﹣2xycos60° 2 2 =x +y ﹣xy=28. 2 2 ∴x +y ﹣xy≥2xy﹣xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当 x=y 时取等号 ∴S 四边形 APCD=2 ∴最大面积为 9 + xy≤2 + ×28=9 ,

万平方米.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用, 正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式 求最值.考查了基础知识的综合运用. 20. (14 分)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)=3x +2mx+9,f(x)在 x=3 处取得极值, 且 f(0)=0. (Ⅰ)求 f(x)的极大值和极小值; (Ⅱ)记 f(x)在闭区间上的最大值为 F(t) ,若对任意的 t(0<t≤4)总有 F(t)≥λt 成立, 求 λ 的取值范围; (Ⅲ)设 M(x,y)是曲线 y=f(x)上的任意一点.当 x∈(0,1]时,求直线 OM 斜率的 最小值,据此判断 f(x)与 4sinx 的大小关系,并说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (I)依题意,f'(3)=0,解得 m=﹣6,由已知可设 f(x)=x ﹣6x +9x+p,因为 f (0)=0,所以 p=0,由此能求出 f(x)的极大值和极小值. (Ⅱ)当 0<t≤1 时,由(I)知 f(x)在上递增,所以 f(x)的最大值 F(t)=f(t)=t ﹣ 2 3 2 2 2 6t +9t,由 F(t)≥λt 对任意的 t 恒成立,得 t ﹣6t +9t≥λt,则 λ≤t ﹣6t+9=(t﹣3) ,由此能 求出 λ 的取值范围. (Ⅲ)当 x∈(0,1]时,直线 OM 斜率
2 3 3 2 2

,因为 0<

x≤1,所以﹣3<x﹣3≤﹣2,则 4≤(x﹣3) <9,即直线 OM 斜率的最小值为 4.由此能够导 出 f(x)>4sinx. 解答: 解: (I)依题意,f'(3)=0,解得 m=﹣6,…(1 分) 3 2 由已知可设 f(x)=x ﹣6x +9x+p, 因为 f(0)=0,所以 p=0, 3 2 2 则 f(x)=x ﹣6x +9x,导函数 f'(x)=3x ﹣12x+9.…(3 分) 列表: x (﹣∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 递增 极大值 4 递减 极小值 0 递增 由上表可知 f(x)在 x=1 处取得极大值为 f(1)=4, f(x)在 x=3 处取得极小值为 f(3)=0. …(5 分) (Ⅱ)①当 0<t≤1 时, 由(I)知 f(x)在上递增, 3 2 所以 f(x)的最大值 F(t)=f(t)=t ﹣6t +9t,…(6 分) 3 2 由 F(t)≥λt 对任意的 t 恒成立,得 t ﹣6t +9t≥λt,

则 λ≤t ﹣6t+9=(t﹣3) , 因为 0<t≤1,所以﹣3<t﹣3≤﹣2, 则 4≤(t﹣3) <9, 因此 λ 的取值范围是 λ≤4.…(8 分) ②当 1<t≤4 时,因为 f(1)=f(4)=4, 所以 f(x)的最大值 F(t)=f(1)=4, 由 F(t)≥λt 对任意的 t 恒成立,得 4≥λt, ∴ , ,
2

2

2

因为 1<t≤4,所以

因此 λ 的取值范围是 λ≤1, 综上①②可知,λ 的取值范围是 λ≤1.…(10 分) (Ⅲ)当 x∈(0,1]时, 直线 OM 斜率 因为 0<x≤1,所以﹣3<x﹣3≤﹣2, 2 则 4≤(x﹣3) <9, 即直线 OM 斜率的最小值为 4.…(11 分) 首先,由 ,得 f(x)≥4x. ,

其次,当 x∈(0,1]时,有 4x>4sinx, 所以 f(x)>4sinx,…(12 分) 证明如下: 记 g(x)=4x﹣4sinx,则 g'(x)=4﹣4cosx≥0, 所以 g(x)在(0,1)递增,又 g(0)=0, 则 g(x)>0 在(0,1)恒成立,即 4x>4sinx, 所以 f(x)>4sinx.…(13 分) 点评: 本题考查导数的应用,考查函数极值的求法,考查实数的取值范围的求法,考查两 个数比较大小的方法.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地 进行等价转化. 选修、本题(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,请考生任选 2 题作答,如果多做,则按所做的前 两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1)选修 4-2:矩阵与变换 21. (4 分)已知矩阵 A= (Ⅰ) 求 A 的逆矩阵 A ; (Ⅱ)求矩阵 A 的特征值 λ1、λ2 和对应的一个特征向量 、 .
﹣1



考点: 特征值与特征向量的计算;逆变换与逆矩阵. 专题: 选作题;矩阵和变换.

分析: (Ⅰ)先求矩阵的行列式,再求 A 的逆矩阵 A ; (Ⅱ)先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f(λ)=0 解方程可得特征值,再由特征值 列出方程组即可解得相应的特征向量. 解答: 解: (Ⅰ)∵矩阵的行列式为 =6≠0,

﹣1

∴A 的逆矩阵 A =

﹣1



(Ⅱ)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)= 令 f(λ)=0,得 λ1=2,λ2=3, 当 λ1=2 时,得 = ,当 λ2=3 时,得 = .

=λ ﹣5λ+6,

2

点评: 本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,属于矩阵中的基础 题. 22. (4 分)选修 4﹣4: 《坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方程为 (α

为参数) (Ⅰ)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;点到直线的距离公式;参数方程化成普通 方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)先利用点的极坐标和直角坐标的互化公式,把极坐标系下的点(4, )化

为直角坐标,再在直角坐标系下判断点 P 与直线 l 的位置关系; (II)根据曲线 C 的参数方程,设点 Q 的坐标为( cosα,sinα) ,再利用点到直线的距离 公式求出点 Q 到直线 l 的距离,最后利用三角函数的性质即可求得 d 的最小值. 解答: 解: (I)把极坐标系下的点(4, )化为直角坐标,得 P(0,4) .

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x﹣y+4=0, 所以点 P 在直线 l 上.…(5 分) (II)设点 Q 的坐标为( cosα,sinα) , 则点 Q 到直线 l 的距离为 d= 由此得,当 cos( = cos( )+2 .…(10 分)

)=﹣1 时,d 取得最小值,且最小值为

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 参数方程与普通方程的互化, 考查点线距 离公式的运用,属于基础题.
2 2

23. (4 分)已知 a>0,b>0,且 a +b = ,若 a+b≤m 恒成立, (Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2|x﹣1|+|x|≥a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 二维形式的柯西不等式;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)变形已知表达式,利用柯西不等式,求出 a+b 的最大值,即可求 m 的最小 值; (Ⅱ)通过 2|x﹣1|+|x|≥a+b 对任意的 a,b 恒成立,结合(Ⅰ)的结果,利用 x 的范围分类 讨论,求出实数 x 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵a>0,b>0,且 a +b = , ∴9=(a +b ) (1 +1 )≥(a+b) , ∴a+b≤3, (当且仅当 a=b,即 时取等号) ,
2 2 2 2 2 2 2

又∵a+b≤m 恒成立,∴m≥3. 故 m 的最小值为 3; (Ⅱ)要使 2|x﹣1|+|x|≥a+b 恒成立,则 2|x﹣1|+|x|≥3 恒成立, ∴ 或 或 ,

解得:x≤﹣ 或 x≥ . ∴实数 x 的取值范围是 .

点评: 本题考查绝对值不等式的解法,函数恒成立的应用,考查计算能力,是中档题.


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