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数列极限--教案


周 次 章节名称 授课方式



周,第

次课

编写时间 数列及其极限

课堂讲授(√) ,实践课( )

教学时数

2

时间分配

教 学 重 点 和 难 点

一、数列

极限的概念 数列就是由数组成的序列。 1)这个序列中的每个数都编了号。 2)序列中有无限多个成员。 授 课 要 点 例 1 教 学 内 容 例2 例3 例4 一般写成: a1 缩写为 ?an ?

a2

a3

a4 ?

an ?

1 1 ? ? 5 n n?1 1 -1 1 -1 ?(?1) … 3 5 2n ? 1 1 ? ? 2 3 n 1
3 9 27 可发现: 数列(1)有个趋势,数值越来越小,无限接近 0 数列(2)变化趋势不确定 数列(3) 无限接近 2 数列(4)变化趋势越来越大 约 15 分钟

1 2

1 3

1 4

?3 n …

定义:对于数列{ u n },如果当 n 无限增大时,通项 u n 无限接近于某个 确定的常数 A,则称 A 为数列{ u n }的极限,或称数列{ u n }收敛于 A, 记为 lim u n =A 或 u n ?A(n ? ? ) ,如果这样的常数 A 不存在,则数
x??

列{ u n }无极限或发散 极限的 ? ? N 定义:

lim x n ? a ? ?? ? 0 , ?N , ?n ? N ,
n ??

xn ? a ? ?

极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没 有关系。 对于上面的四个数列,有

lim
n ??

1 ? 0, n

教 学 内 容

lim(?1) n ?1 不存在,
n ??

lim
n ??

2n ? 1 ? 2, n ?? n

lim 3 n 不存在。
例5 判断下列数列的极限是否存在:

(1) lim

n ? (?1) n ?1 n ?? n
n ??

(2) lim

1 2 n ? 2 ??? 2 2 n n n

(3) lim 1 ? (?1) n ?1
n ??

二、收敛数列的性质与运算法则 约 25 分钟 1、唯一性 定理 1 如果数列 ?xn ? 收敛,那么它的极限是唯一。 2、有界性 定理 2 如果数列 ?xn ? 收敛,那么数列 ?xn ? 一定有界,即存在正数 M,

使得所有的 xn 满足 xn ? M 。 注:无界数列必发散 3、保号性 定理 3 如果 lim x n ? a 且 a>0(a<0),那么存在正整数 N,当 n>N 时,
x ??

xn ? 0
n??

( xn ? 0) 。
n??

推论 若 lim a n ? a , lim bn ? b , a ? b ,则存在正整数 N,当 n>N 时,有 an ? bn 。 4、迫敛性 定理 4 lim a n ? lim bn ? a , 存在正整数 N, 当 n>N 时,an ? cn ? bn ,
n ?? n ??

则 lim c n ? a 。
n ??

授 课 要 点

教 学 内 容

5、单调有界准则 定理 5 单调有界数列必有极限。 6、数列极限的运算法则 定 理 6 若 lim a n ? a , lim bn ? b , 则 lim(a n ? bn ) ? a ? b ,
n?? n?? n ??

约 20 分钟

lim( a n bn ) ? ab , lim(a n / bn ) ? a / b(b ? 0) 。
n ?? n ??

重要结论:

lim
n ??

1 ? 0(? ? 0) n?

lim q n ? 0( q ? 1)
n ??

lim n n ? 1
n ??

1 lim(1 ? ) n ? e n ?? n

例 6 计算

授 课 要 点

教 学 内 容

1 2 ? ) n?? n 2 n 2 n ? 9n ? 1 (2) lim n ?? 3n 2 ? 4 3n ? 1 n ? 2 ? ) (3) lim( n ?? n n 2 n ? 3n (4) lim n ?1 n ?? 2 ? 3 n ?1 n?2 n ) (5) lim( n ?? n ? 1
(1) lim (

约 30 分钟

本次课程采 用的教学手 段(启发式、 启发式、讨论式、讲授式 讨论式、研 究式等教学 方法及教学 仪器设备)

思考题 或 作 业

1.同济大学应用数学教研室编: 《高等数学》 ,高等教育出版社,2002 年,北京 参考文献 2.刘长文、杨逢建主编: 《高等数学》 ,中国农业出版社,2004 年,北京 3.张爱国、杨逢建主编: 《高等数学学习方法指导》 ,机械工业出版社,1997 年,北 京


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