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2012年上海杨浦高三二模数学解答


2012 杨浦区高考数学质量抽查试卷——数学(理科)
2012 年 3 月

一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
?1 3 5? 1.若线性方程组的增广矩阵为 ? ? ,则其对应的线性方程组是 ? 2 4 6?



增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列, 这一列是线性方程组的等号右边的值

。 如: 方程 AX=b 系 数,矩阵为 A,它的增广矩阵为(A b)。
X +3y-5=0 2x+4y-6=0

2. ( x + 1)5 的展开式中 x 2 的系数是 二项式 的 通项:
r (a ? b) n 的 通项 Cn a n?r b r

(结果用数字作答).

r Cn =n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*??/ r*(r-1)* ?? *1

分子 r 个 分母 r 到 1 第一项 的 r=0,第二项的 r=1,最后一项的 r=n。
x2 = x
4

系数 是 C5 =

1

5 =5 1

3.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a =_________. a2 9

双曲线渐近线方程, 是一种几何图形的算法,这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的 处理。双曲线的主要特点:无限接近,但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是 一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
b x2 y2 - 2 =1 渐进线为 y=± x ,±bx-+ay=0 , 2 a a b

对于

反之

a y2 x2 - 2 = 1 渐进线为 y=± x , ±ax-+by=0 , 2 b b a

a=2

4.计算: lim(1 ?
n??

1 1 1 ? 2 ?? ? n ) ? 3 3 3

.

等比数列求和公式

1? qn S n = a1 1? q
1 构造数列{ an = ( ) n } 3 1 显然 an 是公比为 的等比数列 3 1 1 1 lim(1+ + 2 +…+ x )= S n (n→∞) 3 3 3 1 1 ? ( )n 3 前 n 项和 S n = 1 1? 3 1 当(n→∞)时, ( ) n =0 3

所以 S n =

1? 0 3 = 1 2 1? 3

补充: 等差数列求和公式

Sn =

n(n ? 1)d ( a1 ? a n ) n = na1 ? 2 2

5.若直线 l 过点 (?2, 0) ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则直线 l 的斜率是 点 (?2, 0) 距离原点 2,原点 距离 相切点 1, 点 (?2, 0) 与 相切点 连线 与 半径 垂直。 是一个 直角三角形,2 条直角边 边长为 30°

3 3

.

3 ,1, 斜边长为 2。

Tan(

? 3 )= 6 3

6.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 的最小正周期为

?

.

sin2x=2sinxcosx

sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=(cosx)^2-(sinx)^2 tan2x =tan(x+x) =(tanx+tanx)/(1-tanxtanx) =2tanx/(1-tan^2x)

对于正弦函数 y=sinx, 自变量 x 只要并且至少增加到 x+2π 时,函数值才能重复取得。所 以正弦函数和余弦函数的最小正周期是 2π 。 y=Asin(ω x+φ ), T=2π /ω

y x 2 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 = ( ? ) r r
= ( y ? x) 2 = y 2 ? 2 xy ? x 2 = 1 ? 2 xy = 1? 2 cos ? sin ? = 1? 2 sin 2?

补充:

两角和公式 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα tanβ ) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

半角公式 A 1 ? cos A sin A Tan( )= = sin A 1 ? cos A 2
A 1 ? cos A sin 2 ( ) = 2 2 A 1 ? cos A cos 2 ( ) = 2 2

和差化积公式
sin A ? sin B = 2 sin

A? B A? B cos 2 2 A? B A? B cos 2 2 A? B A? B sin 2 2

cos A ? cos B ? 2 cos

cos A ? cos B ? ?2 sin

tan A ? tan B ?

sin( A ? B) = tan(A ? B)(1 ? tan A tan B) cos A cos B

积化和差 sinα cosα sinα cosα 万能公式 sinβ cosβ cosβ sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )] /2 =[cos(α +β )+cos(α -β )]/2 =[sin(α +β )+sin(α -β )]/2 =[sin(α +β )-sin(α -β )]/2

2 t an( ) 2 sin ? = 2 ? 1 ? t an ( ) 2 1 ? t an2 ( ) 2 cos? = ? 1 ? t an2 ( ) 2 2 t an( ) 2 tan ? = 2 ? 1 ? t an ( ) 2
7.一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为_____12______. 学术定义 先将总体的单位按某种特征分为若干次级总体(层) ,然后再从每一层内进行单纯随机抽样,组成一个样本的 方法。 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按一定的比例,从各层次独立地抽取一定数量的个体,将 各层次取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样。 又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是 将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表 性。 分层抽样尽量利用事先掌握的信息,并充分考虑了保持样本结构和总体结构的一致性,这对提高样本的代表性

?

?

?

是很重要的。当总体是由差异明显的几部分组成时,往往选择分层抽样的方法。 例如,一个单位的职工有 500 人,其中不到 35 岁有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人. 为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 的样本,由于职工年龄与这项指标 有关,决定采用分层抽样方法进行抽取.因为样本容量与总体的个数的比为 1:5,所以在各年龄段抽取的个数依次 为 125/5,280/5,95/5,即 25,56,19。

48 ? 36 =4 21 48 =12 4

1
8.若行列式 1

2

4


x x 2 ? 0 ,则 x ? 1 ?3 9

? =2, x 2 =4 或 x=-3, x 2 =9
2 或-3

(9 题图)

9.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D .测得 ?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? 30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60? ,则塔高 AB ? ________米.

a b c = = =2R sin A sin B sin C

? CBD=180°- ? BDC- ? BCD=180°-75°-60°=45°

BC CD = sin ?BDC sin ?CBD

?
sin ?60?



30 sin ?45?

3 ? = 30 2 = 30 3 = 30 3 2 = 15 6 2 2 2 2

BC= 15 6 AB=BC tan 60 ? = 15 6 tan 60 ? = 15 6
3 = 15 18 =15*3* 2 =45 2 1

补充: 第二余弦定理:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ?A

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos ?B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos ?C

cosC =

a2 ? b2 ? c2 2ab

cosB =

a2 ? c2 ? b2 2ac

cosA =

b2 ? c2 ? a2 2bc

第一余弦定理 设△ABC 的三边是 a、b、c,它们所对的角分别是 A、B、C,则有 a=b· C+c· B, b=c· A+a· C, c=a· B+b· A。 cos cos cos cos cos cos

10. 在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v (米/秒)和燃料的质量 M (千克) 、火箭(除燃料外)的质 量 m (千克)的关系式是 v ? 2000 ln(1 ?

M ) .当燃料质量与火箭(除燃料外)的质量之比为 m

时,火箭的

最大速度可达 12 (千米/秒) .答案: e6 ? 1

12*1000=2000ln(1+ 6=ln(1+ 1+

M ) m

M ) m

M = e6 m

M = e 6 -1 m

11.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹 没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm . 设球的半径是 r (11 题图) 3 个球的高度是 6r 容器的直径是 2r 圆柱体的容积是 ?r 2 ? 6r

3 个球的 体积的和 是 3*

4 * ?r 3 =4 ?r 3 3

? ? r 2 ? 6r - 4? ? r 3 =8 ?r 2
6? ? r 3 - 4? ? r 3 =8 ?r 2 2? ? r 3 =8 ?r 2

r =4

12. 设 幂 函 数 f ( x) ? x3 , 若 数 列

? an ? 满 足 : a1 ? 2012 , 且 an?1 ?

f (an ) , (n ? N ? ) 则 数 列 的 通 项

an ?



解:因为 an ?1 ? f (an ) 所以 an ?1 ? an
3
3

an ? an ?1 ? (an ?2 )3 ? [(an?3 )3 ]3 = [[((an?4 )3 )3 ]3 ]3 ? ? (a1 )3 =(2012) 3
3 3

n ?1

n ?1

n ? 13. 对任意一个非零复数 z ,定义集合 Az ? ? ? ? z , n ? N ,设 ? 是方程 x 2 ? 1 ? 0 的一个根,若在 A? 中任

?

?

取两个不同的数,则其和为零的概率为 P =

(结果用分数表示).

x 2 =-1, x1 =i, x2 =-i。
解:因为 x ? 1 ? 0
2

所以:x= ? i 无论 x ? i, 还是x ? ?i ,都有 A ? ? ? ,?i,1,?1? i i+(-i)=0, -1+1=0 所以 A ? 中有 2 种取法能使其和为 0 的 A ? ? ? ,?i,1,?1? 中任取两个数的所有的取法为 C 4 =6,所以所求概率为 i
2

2 1 ? 6 3

14.函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x (?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于_____8_____. 1? x
-2 -1.7 -1.5 -1.3 -1 -0.8 -0.5 -0.3 0

x
y? 1 1? x

1 3

1 2 .7

1 2 .5

1 2 .3
1.618

1 2
0

1 1 .8
-1.1756

1 1 .5
-2

1 1 .3
-1.618

1
0

y ? 2sin ? x

0

1.618

2

x
y? 1 1? x

0.1

0.3

0.5

0.8

1 不存在 0

1.2

1.5

1 0 .9
0.618

1 0 .7
1.618

1 0 .5
2

1 0 .2
1.1756

?

1 0.2

?
-2

1 0 .5

y ? 2sin ? x

-1.1756

x
y? 1 1? x

2

2.2

2.5

2.7

3

3.3

3.5

3.7

4

?1
0

1 ? 1 .2
1.1756

?
2

1 1 .5

1 ? 1 .7
1.618

?
0

1 2

?

1 2 .3

?
-2

1 2.5

?

1 2.7

?
0

1 3

y ? 2sin ? x

-1.618

-1.618

假设 对称轴 与 y 轴 距离 为 h,

那么对称轴 两边 与 对称轴 距离相等的 点,横坐标 相减 等于 2h。 因为 这些函数都关于 垂直于 x 轴的直线 x=1 对称。

x A ? x H = xB ? xG = xC ? xF = xD ? xE =2*1=2
这样的对称点 有 4 对, 2*4=8

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为 ( B ).

? A? y? x

? B ? y ? sin x

? C ? y ? ex ? e? x ? D ? y ? ?x3

16.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( D )

? A?

1.

?B?

?1 .

?C?

?2 .

? D?0.

17. tan x ? ? “

5π 3 ”是“ x ? ” ( B ). 6 3

?

A ? 充分非必要条件.

?

B ? 必要非充分条件.

(16 题图)

? C ? 充要条件.

? D ? 既非充分也非必要条件.

18.已知点 A(?1, ?1) .若曲线 G 上存在两点 B, C ,使 △ ABC 为正三角形,则称 G 为 ? 型曲线.给定下列三条曲 线: ① y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 3) ; 其中, ? 型曲线的个数是( C ② y? ).

2 ? x2 (? 2 ? x ? 0) ; ③ y ? ?

1 ( x ? 0) . x
3

? A ?.

0

? B ?.

1

? C ?.

2

? D ?.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知关于 x 的不等式 x 2 ? m x ? 2 ? 0 解集为 ?? 1 , 2? . (1)求实数 m 的值; (2)若复数 z1 ? m ? 2i , z2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 ? z 2 为纯虚数,求 tan 2? 的值.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .

如图所示, 直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的侧棱 AA1 长为 a , 底面 ABCD 是边长 AB ? 2a , BC ? a 的矩形, E 为

C1 D1 的中点,
(1)求证: DE ? 平面 EBC ; (2)求点 C 到平面 EBD 的距离.

D1

E

C1

A1

B1

D
A B

C

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设 a ? R , f ( x) ?

a ? 2 x ? a ?2 为奇函数. 2x ?1
x

(1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? (2)设 g ( x) ? 2 log 2 (

4 ? 1 的零点; 2 ?1
x

1? x 1 2 ) , 若不等式 f ?1 ( x) ? g ( x) 在区间 [ , ] 上恒成立, 求实数 k 的取值范围. k 2 3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an .如果数列 Bn : b1 , b2 ,?, bn 满足 b1 ? an ,bk ? ak ?1 ? ak ? bk ?1 ,其中 k ? 2,3,?, n ,则称

Bn 为 An 的“生成数列”.
(1)若数列 A4 : a1 , a2 , a3 , a4 的“生成数列”是 B4 : 5, ?2,7, 2 ,求 A4 ; (2)若 n 为偶数,且 An 的“生成数列”是 Bn ,证明: Bn 的“生成数列”是 An ; (3)若 n 为奇数,且 An 的“生成数列”是 Bn , Bn 的“生成数列”是 Cn ,?.依次将数列 An , Bn , Cn ,?的第

i (i ? 1, 2,?, n) 项取出,构成数列 ?i : ai , bi , ci ,? .探究:数列 ?i 是否为等差数列,并说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题的①满分 6 分; ②满分 8 分. 如图,椭圆 C1:

x2 2 ? y 2 ? 1 , x 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. 4

(1)求实数 b 的值;

MB B (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A、 ,直线 MA、 分别与 C1 相交与
D 、E .
①证明: MD ? ME ? 0 ②记△ MA B ,△ MDE 的面积分别是 S1 , S2 . 若 . (23 题图)

S1 = ? ,求 ? 的取值范围. S2

、 、

2012 年杨浦区高三年级二模数学试卷(理科) 参考答案和评分标准
说明: 1、 本解答仅列出试题的一种解法, 如果考生的解法与所列 解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分. 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答 中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现 错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上 不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
一.填空题(本大题满分 56 分) 1. ? 6.

?x ? 3 y ? 5 ; 2. 5 ; 3. 2 ; ?2 x ? 4 y ? 6

4.

3 3 ; 5. ? ; 2 3
10. e6 ? 1 ; 11 . 4;

?;
n ?1

7. 12 ; 8. 2 或 ? 3 ;

9. 45 2 ;

3 12. 2012 ; 13.

1 ; 3

14. 8;

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. B ; 16. D; 17. B ; 18.C;

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 解:(1)4+2m-2=0,解得 m=-1 (2) z1 ? z2 =(-cosα -2sinα )+ (-sinα +2cosα )i 为纯虚数 所以,-cosα -2sinα =0,tanα =- 所以, tan 2? =- 20. (1)证明: 由 EC ? ED ? 2a , CD ? 2a ? EC ? ED ,??2 分
BC ? 平面 CC1D1D ? BC ? DE ,

1 , 2

4 3

??4 分

即 DE 垂直于平面 EBC 中两条相交直线, 因此 DE ? 平面 EBC,

??7 分

(2) 解 1: 结合第(1)问得,由 DB ? 5a , DE ? 2a ,??8 分

BE ? 3a , DE ? BE ,所以, S ?BED ?
又由 VC ?BED ? VE ?BCD 得

1 6 2 2a 3a ? a ??10 分 2 2
??12 分

1 6 2 1 3 h a ? a 3 2 3 6 a ??14 分 3
??? ?

故 C 到平面 BDE 的距离为 h ? 解 2: 如图建立直角坐标系,

则 E (0, a, a ) , OE ? (0, a, a) , B(a, 2a,0) , OB ? (a,2a,0) , 因此平面 EBD 的一个法向量可取为 n ? (?2,1,1) , 由 C (0, 2,0) , 得 BC ? (?1,0,0) , ??11 分

??? ?

??9 分

?

z
D1 A1
D (O )

??? ?

E
B1

C1

? ??? ? | n ? BC | 6 ? ? a. 因此 C 到平面 BDE 的距离为 d ? 3 |n|
(其他解法,可根据【解 1】的评分标准给分)

C

y

2x ? 1 21. 解: f(x)是奇函数, 由 可得 a=1, 所以,(x) f = x 2 ?1
(1)F(x)=

A
x

B

4 2x ? 1 (2 x ) 2 ? 2 x ? 6 x ?1= +2 ? x 2 ?1 2x ? 1 2x ? 1

由 (2x )2 ? 2x ? 6 =0,可得 2 x =2,所以,x=1,即 F(x)的零点为 x=1。 (2)f-1(x)= log 2

1? x 1 2 ?1 ,在区间 [ , ] 上,由 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 1? x 2 3

1? x 1? x 1? x ? 1? x ? log 2 ) 恒成立,即 ≤ 2 log 2 ( ?? ? 恒成立 1? x k 1? x ? k ?
2

即 k ? 1 ? x , x ?[ , ] , k ?
2 2 2

1 2 2 3

5 5 5 ,所以, ? ?k? 9 3 3

22. (1)解:由题意得: b1 ? a4 ? 5 ; b2 ? ?2 ? a2 ? a1 ? 5 ;

b3 ? 7 ? a3 ? a1 ? 5 ; b4 ? 2 ? a4 ? a1 ? 5

A4 : 2,1, 4,5 .
(2)证法一: 证明:由已知, b1 ? a1 ? (a1 ? an ) , b2 ? a1 ? a2 ? b1 ? a2 ? (a1 ? an ) . 因此,猜想 bi ? ai ? (?1) (a1 ? an ) .
i

① 当 i ? 1 时, b1 ? a1 ? (a1 ? an ) ,猜想成立; ② 假设 i ? k (k ?N* ) 时, bk ? ak ? (?1) (a1 ? an ) .
k

当 i ? k ? 1 时, bk ?1 ? ak ? ak ?1 ? bk

? ak ? ak ?1 ? [ak ? (?1)k (a1 ? an )] ? ak ? ak ?1 ? ak ? (?1)k (a1 ? an ) ? ak ?1 ? (?1)k ?1 (a1 ? an )
故当 i ? k ? 1 时猜想也成立. 由 ①、② 可知,对于任意正整数 i ,有 bi ? ai ? (?1) (a1 ? an ) .
i

设数列 Bn 的“生成数列”为 Cn ,则由以上结论可知

ci ? bi ? (?1)i (b1 ? bn ) ? ai ? (?1)i (a1 ? an ) ? (?1)i (b1 ? bn ) ,其中 i ? 1, 2,3,?, n .
由于 n 为偶数,所以 bn ? an ? (?1) (a1 ? an ) ? a1 ,
n

所以 ci ? ai ? (?1) (a1 ? an ) ? (?1) (an ? a1 ) ? ai ,其中 i ? 1, 2,3,?, n .
i i

因此,数列 Cn 即是数列 An . 证法二: 因为 b1 ? an , b1 ? b2 ? a1 ? a2 , b2 ? b3 ? a2 ? a3 , ??

bn?1 ? bn ? an?1 ? an ,

由于 n 为偶数,将上述 n 个等式中的第 2, 4,6,?, n 这

n 个式子都乘以 ?1 ,相加得 2
即 ?bn ? ?a1 ,

b1 ? (b1 ? b2 ) ? (b2 ? b3 ) ? ?? (bn?1 ? bn ) ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ?? (an?1 ? an )

bn ? a1 .
由于 a1 ? bn , ai ? bi ?1 ? bi ? ai ?1 (i ? 2,3,?, n) , 根据“生成数列”的定义知,数列 An 是 Bn 的“生成数列”. (3)证法一: 证明:设数列 X n , Yn , Z n 中后者是前者的“生成数列”.欲证 ?i 成等差数列,只需证明 xi , yi , zi 成等差数列,即只要 证明 2 yi ? xi ? zi (i ? 1, 2,3,?, n) 即可. 由(2)中结论可知 yi ? xi ? (?1) ( x1 ? xn ) ,
i

zi ? yi ? (?1)i ( y1 ? yn ) ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i ( y1 ? yn ) ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i [ xn ? xn ? (?1)n ( x1 ? xn )] ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? xi ? 2(?1)i ( x1 ? xn ) ,
所以, xi ? zi ? 2xi ? 2(?1) ( x1 ? xn ) ? 2 yi ,即 xi , yi , zi 成等差数列,
i

所以 ?i 是等差数列. 证法二: 因为 bi ? ai ?1 ? ai ? bi ?1 (i ? 2,3, 4,?, n) , 所以 bi ? ai ? ?(bi ?1 ? ai ?1 ) (i ? 2,3, 4,?, n) . 所以欲证 ?i 成等差数列,只需证明 ?1 成等差数列即可. 对于数列 An 及其“生成数列” Bn , 因为 b1 ? an , b1 ? b2 ? a1 ? a2 , b2 ? b3 ? a2 ? a3 , ?? bn?1 ? bn ? an?1 ? an , 由于 n 为奇数,将上述 n 个等式中的第 2, 4, 6,?, n ? 1 这 相加得

n ?1 个式子都乘以 ?1 , 2

b1 ? (b1 ? b2 ) ? (b2 ? b3 ) ? ?? (bn?1 ? bn ) ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ?? (an?1 ? an )

即 bn ? an ? a1 ? an ? 2an ? a1 . 设数列 Bn 的“生成数列”为 Cn ,因为 b1 ? an , c1 ? bn ? 2an ? a1 , 所以 2b1 ? a1 ? c1 , 即 a1, b1, c1 成等差数列. 同理可证, b1 , c1 , d1; c1 , d1 , e1,?也成等差数列. 即 ?1 是等差数列. 所以 ?i 成等差数列. 23(1)由题意知:半长轴为 2,则有 2 b ? 2

? b ?1
(2)①由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x 2 ? kx ? 1 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME ,故 MD ? ME ? 0 ②设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ?

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 或? ,则点的坐标为 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1

(k1 , k12 ?1)
又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

8k1 ? ? x ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 , ); 解得 ? 或? ,则点 D 的坐标为 ( 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?

又直线的斜率为 ?

1 ?8k1 4 ? k12 , ) ,同理可得点 E 的坐标 ( k1 4 ? k12 4 ? k12

于是 S2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

? S1 1 ? 2 4 ? ? 4k1 ? 2 ? 17? , ? ? S 2 64 ? k1 ?

1 k12 1 ? k1 ? ,平方后代入上式, 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 k1 k1 ? k1 k12 ?
所以 ? ?

S1 4k 2 ? 25 25 ? ? S2 64 64
? 25 ?

, ? ?? 故 ? 的取值范围为 ? ? 64 ?


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