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淄博市2013高三理科数学复习圆锥曲线达标检测试卷)


《圆锥曲线》达标检测试卷 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.椭圆

x2 y2 1 2 2 ? ? 1 上有两点 P、Q ,O 为原点,若 OP、OQ 斜率之积为 ? ,则 OP ? OQ 为 4 16 4
) B. 6

4 C. 20 D. 不确定 ( )

( A. 4 2. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F(c, 0)的弦中最短弦长是 a2 b2 2b 2 a
B.

A.

2a 2 b

C.

2c 2 a

D.

2c 2 b
)

3.θ 是任意实数,则方程 x2+y2sinθ =4 的曲线不可能是( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

x2 y2 ? 4.双曲线 =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 k
A.(-∞,0) B.(-12,0) C.(-3,0) D.(-60,-12)

)

5.以

x2 y2 =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ? 4 12

)

x2 y2 ? A. =1 16 12

x2 y2 ? B. =1 12 16

x2 y2 ? C. =1 16 4

x2 y2 ? D. =1 4 16

6. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且

?BDB1 ? 90? ,则椭圆的离心率为
( A )

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

7.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 长分别是 p、q,则

1 1 ? 等于( p q

)

-1-

A.2a

B.

1 2a

C.4a

D.

4 a

8.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ( ) A.4 B.-4 C.-p2 D.以上都有可能 )

y1 y 2 等于 x1 x 2

9.抛物线 y=x2 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( A. (

3 5 , ) 2 4

B.(1,1)

C. (

3 9 , ) 2 4

D.(2,4)

10.

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 =1(a>b>0)的渐近线( a2 b b a

)

A.重合 B.不重合,但关于 x 轴对称 C.不重合,但关于 y 轴对称 D.不重合,但关于直线 y=x 对称 11.动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) )

x2 y2 ? =1 上一点, 1、 2 是椭圆的两个焦点, cosF1PF2 的最小值是( 12. P 是椭圆 设 F F 则 9 4
A.-

)

1 9

B.-1

C.

1 9

D.

1 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) 13.已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴 a2 b2

的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率是_________. 14.已知圆 x2 +y2 -6x-7=0 与抛物线 y2 =2px(p>0)的准线相切,则抛物线的方程为_ ________ .

15.点 P(8,1)平分双曲线 x2-4y2=4 的一条弦,则这条弦所在的直线方程是______.

-2-

16. 点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 是

x2 y2 ? ? 1 上运动, 则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程 3 4
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点离地面距离为 p,远地点 离地面距离为 q,地球的半径为 R.求卫星运行轨道的短轴长.

18. (本小题满分 12 分) 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程.

3 3 ) 到这个椭圆上的点 .已知点 P (0, 2 2

19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且
2

AF ? BF ? 8 ,且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求 ?ABS 面积的最大值.

20. (本小题满分 12 分)

已知中心在原点,顶点 A , A2 在 x 轴上,离心率为 1 (I)求双曲线的方程;

21 的双曲线经过点 P(6, 6) 3

(II)动直线 l 经过 ?A1 PA2 的重心 G , 与双曲线交于不同的两点 M , N , 问是否存在直线 l 使

G 平分线段 MN 。试证明你的结论。

-3-

21. (本小题满分 12 分) 抛物线 y2=2px 的焦点弦 AB 的中点为 M,A、B、M 在准线上的射影依次为 C、D、 N. 求证: (1)A、O、D 三点共线,B、O、C 三点共线; (2)FN⊥AB(F 为抛物线的焦点).

22. (本小题满分 12 分) 已知 A, B, C 是长轴为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点, B, C 过椭圆中心 O (如图) ,且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)如果椭圆上的两点 P, Q ,使 ?PCQ 的平分线垂直于 AO ,是否总存在实数 ? ,使

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? PQ ? ?AB 。请给出证明。

-4-

《圆锥曲线》参考答案及评分标准
一、选择题:
1.解析: 设直线方程为 y ? kx ,解出 OP ,写出 OQ 答案: C 2. 解析: 通径长
2 2

2b 2 答案: A a

3. 解析:当 sinθ ∈[-1,0)时,方程 x2+y2sinθ =4 的曲线是双曲线;sinθ =0 时,方程的 曲线是两条平行直线;sinθ ∈(0,1)时,方程的曲线是椭圆;sinθ =1 时,方程的曲线是圆. 答案:C 4.解析:∵a2=4,b2=-k,∴c2=4-k.

c2 4 ? k ∵e∈(1,2),∴ 2 ? ∈(1,4),∴k∈(-12,0).答案:B a 4
5.解析:双曲线

y2 x2 ? =1 的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,± 12 ).∴椭圆的顶 12 4

点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±

12 ).∴在椭圆中 a=4,c= 12 ,∴b2=4.∴椭圆

x2 y2 ? =1.答案:D 的方程为 4 16
6. 解析: BF ? AB1 答案: B 7. 解析:当直线平行于 x 轴时,由于 F 点的纵坐标为

1 1 1 ,因此 xP=- ,xQ= , 4a 2a 2a



1 1 1 1 =4a.答案:C ? ? ? p q | xP | | xQ |
p p +x2+ ,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1+x2+p)2, 2 2

8. 解析:由已知|AB|=x1+

整理得 4x1x2+2y1y2+p2=0, 又 2px1=y12,2px2=y22,∴4x1x2=

y1 y 2 p2

2

2





y1 y 2 p2

2

2

+2y1y2+p2=0,∴y1y2=-p2,x1x2=

yy p2 ,∴ 1 2 =-4.答案:B 4 x1 x 2

-5-

9.解析:设 P(x,y)为抛物线 y=x2 上任一点,则 P 到直线的距离 d=

| 2 x ? y ? 4 | | x 2 ? 2 x ? 4 | ( x ? 1) 2 ? 3 , ? ? 5 5 5

∴x=1 时,d 取最小值

3 5 ,此时 P(1,1).答案:B 5

x2 y2 b x2 y2 10. 解析:双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y=± x, 2 ? =1 的渐近线方程 y= a b a b a
±

a b a b a x、 y= x 与 y= x 关于直线 y=x 对称, y=- x 与 y=- x 关于直线 y=x 对称. 答 b a b a b

案:D 11.解析:直线 x+2=0 为抛物线 y2=8x 的准线,由于动圆恒与直线 x+2=0 相切,所以圆 心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离, 由抛物线定义可知, 定点为抛物线的焦点(2, 0). 答案:B

? | PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 ?cos F1 PF2 ? 12. 解析: ? 2 | PF1 || PF2 | ? | PF1 | ? | PF2 |? 6 ?
cosF1PF2 最小,最小值为-

1 .答案:A 9

二、填空题:
13. 解析:由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|即

b2 b2 c ? 2c, 2 ? 2 ? , a a a
∴e2-2e-1=0,e=1+ 答案:1+

2 或 e=1- 2 (舍).

2
p p ,由题设可知 3+ 2 2

14. 解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=16,抛物线的准线为 x=- =4,∴p=2.∴抛物线的方程为 y2=4x. 答案:y2=4x

15. 解析:设弦的两端点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x12-4y12=4,x22-4y22=4,两式

-6-

相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)?(y1-y2)=0.∵AB 的中点为 P(8,1), ∴x1+x2=16,y1+y2=2,∴

y1 ? y 2 =2. x1 ? x2

∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8),即 2x-y-15=0. 答案:2x-y-15=0 16. 解析:设 G ( x, y ), F1 (0,1), F2 (0,?1), P(m, n)则x ?

m 1?1? n ,y ? ,? m ? 3x, n ? 3 y , 3 3

x2 y2 ? ? 1 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 代入 3 4
答案:

3x 2 ?

9y2 ? 1( x ? 0) 4

三、解答题:
17. 解:由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为 2a,∴2a=(p+R)+(q+R),----4 分 ∴a ? R ?

p?q q? p , c ? a ? ( p ? R) ? .----8 分 2 2

∴b ?

a 2 ? c 2 ? [R ? (

p?q 2 q? p 2 )] ? ( ) ? R 2 ? R(q ? p) ? pq . 2 2

∴短轴长为 2

R 2 ? R ( q ? p ) ? pq .----12 分
x2 y2 c 3 得 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y) 为椭圆上的点,由 ? 2 a 2 a b

18. 解:设椭圆方程为

a ? 2b ----4 分
AM
若b ? 若b ?
2

3 1 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 , (?b ? y ? b) ----8 分 2 2

1 3 1 3 2 2 ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 ( ?b ? ) ? 7 , ? b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 2 2 3 1 1 2 2 时, y ? ? 时 4b ? 3 ? 7 , b ? 1 2 2

所求方程为

x2 ? y 2 ? 1 ----12 分 4

19. 解: ①设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 )

-7-

由 AF ? BF ? 8 得 x1 ? x 2 ? p ? 8,? x0 ? 4 ?

p 2

? y12 ? 2 px1 p ? 2 2 又? 得 y1 ? y 2 ? 2 p( x1 ? x 2 ),? y 0 ? 2 k ? y 2 ? 2 px2 ?

p p p k 所以 M ( 4 ? , ) 依题意 ? k ? ?1 , ? p ? 4 p 2 k 4? ?6 2
抛物线方程为 y 2 ? 8x ----6 分 ②由 M (2, y0 ) 及 k l ?

1 2 4 4 , l AB : y ? y 0 ? ( x ? 2) 令 y ? 0 得 x K ? 2 ? y 0 4 y0 y0

又由 y 2 ? 8x 和 l AB : y ? y 0 ?

4 2 ( x ? 2) 得: y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0 y0

? S ?ABS ?

1 1 1 2 2 2 ? KS ? y 2 ? y1 ? (4 ? y 0 ) 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 16) 2 2 4

? S ?ABS ?

1 4 2

2 2 (16 ? y0 )(32 ? 2 y0 ) ?

2 64 3 64 ( ) ? 6 ----12 分 8 3 9

20. 解:(I)设所求的双曲线方程为

21 x2 y 2 ? 2 ? 1? e ? 且双曲线经过点 P(6, 6) ,所以 2 a b 3

所求所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 。----4 分 9 12

(II)由条件 P, A1 , A2 的坐标分别为 (6,6)、 3,0)、 (? (3,0) ,? G 点坐标为 (2, 2) 假设存在直线 l 使 G (2, 2) 平分线段 MN , 设 M , N 的坐标分别为 ( x 1 , y1 ),( x2 , y2 )

?12 x12 ? 9 y12 ? 108.......(1) ? ?? 2 2 ?12 x2 ? 9 y2 ? 108.......(2) ?

----8 分

2 2 (1) ? (2) 得 12( x12 ? x2 ) ? 9( y12 ? y2 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y2 )( y1 ? y2 )



x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 4 ? 2, 1 ? 2, 即 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 4.? 1 ? ? kMN ? k1 2 2 x1 ? x2 3

4 ? l 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 2) 3

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? 4 ? y ? 2 ? ( x ? 2) 3 ?

-8-

消去 y 整理得 x2 ? 4 x ? 28 ? 0?? ? (?4)2 ? 4 ? 28 ? 0 ?所求直线不存在。----12 分

21. 证明:(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点 M(x0,y0),焦点 F 的坐标是(

p ,0). 2

p ? ? y ? k(x ? ) 由? 2 得 ky2-2py-kp2=0. ? y 2 ? 2 px ?
∴A、B、M 在准线上的射影依次为 C、D、N, ∴C(-

p p p ,y1)、D(- ,y2)、N(- ,y0). 2 2 2

∵ k OA

?

y1 y y 2p ? 12 ? , k OD ? 2 , p x1 y1 y1 ? 2 2p

由 ky2-2py-kp2=0

? kp2 得 y1y2= =-p2, k
∴kOA=kOD,∴A、O、D 三点共线.同理可证 B、O、C 三点共线.----6 分 (2)kFN=

y ? y1 y 2 ? y1 y0 ? , x1=x2 时, 当 显然 FN⊥AB; x1≠x2 时,AB= 2 当 k 1 2 2 x2 ? x1 ?p ( y 2 ? y1 ) 2p

?

2p p ? ,∴kFN?kAB=-1.∴FN⊥AB.综上所述知 FN⊥AB 成立.----12 分 y1 ? y 2 y0
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
其中 2a ? 4

22. 解:(I)由条件,设所求的椭圆方程为

??? ??? ? ? ? AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC
2 代入椭圆方程得 b ? ?C ( 1 , 1 )

则 ?ACB ? 90? , 且 O A ? 2 , O C ? O B?

? ???

A C? 2

4 3

x2 3 2 ? y ? 1 ----4 分 即椭圆方程为 4 4
(Ⅱ)若 ?PCQ 的平分线垂直于 OA ,则 PC、QC 倾斜角互补,设 PC 所在的直线方程为

y ? 1 ? k ( x ? 1)

由方程组

-9-

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 3 2 ? ? y ?1 ?4 4
? xP ? xC ?

可得

(3k 2 ? 1) x 2 ? (6k ? 6k 2 ) x ? 3(k ? 1) 2 ? 4 ? 0

----8 分

6k 2 ? 6k 3k 2 ? 6k ? 1 , 且 xC ? 1, xP ? , 代 入 y ? 1 ? k ( x ? 1中 可 得 ) 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

yP ?

?3k 2 ? 2 ? 1 k , ----10 分 2 3k ? 1

同理可得

?3k 2 ? 2k ? 1 ?3k 2 ? 2k ? 1 ? 3k 2 ? 6k ? 1 ?3k 2 ? 2k ? 1 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 xQ ? , yQ ? ? kPQ ? ? ----12 分 2 2 2 2 3k ? 6k ? 1 3k ? 6k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 3 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ??? ? 1 又 k AB ? ,? PQ // AB 总存在 ? 使 PQ ? ? AB ----14 分 3

- 10 -


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