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高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义


课时提升作业(二十二)
复数代数形式的加、减运算及其几何意义

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·昆明高二检测)实数 x,y 满足 z1=y+xi,z2=yi-x,且 z1-z2=2,则 xy 的值是( A.1 ) B.2 C.-2 D.-1 ? xy=1. 对应的复数在第__________

【解析】

选 A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2? 2.在复平面内, 向量 象限( A.一 ) B.二 C.三

对应的复数是 2+i, 则向量

D.四 对应的复数在第三象限.

【解析】选 C.向量

对应的复数为-2-i,所以向量

3.(2014·西宁高二检测)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 若向量 A.2+4i C.-4+2i 【解析】选 D.依题意有 复数为 4-2i. 【变式训练】在复平面内,向量 -1-3i,则向量 A.1-2i C.3+4i 对应的复数为( 对应的复数是 2+i ,向量 ) 对应的复数是 = , 对应的复数分别是 3+i,-1+3i,则 B.-2+4i D.4-2i = ,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即 对应的 对应的复数是( )

B.-1+2i D.-3-4i

【解析】选 D. 向量 = + .所以

对应的复数是 2+i ,则

对应的复数为 -2-i ,因为

对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i.

4.(2014·广州高二检测)已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应 的向量正确的是( )

【解析】选 A.由图可知 z=-2+i,所以 z+1=-1+i,则复数 z+1 所对应的向量的坐 标为(-1,1).故 A 正确. 5.复数 z1=1+icosθ ,z2=sinθ -i,则|z1-z2|的最大值为( A.3-2 C.3+2 B. D. -1 +1 )

【解析】选 D.|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)| = = = ≤ = +1.

6.(2014· 丽江高二检测)A, B 分别是复数 z1, z2 在复平面内对应的点, O 是原点, 若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形 AOB 一定是( )

A.等腰三角形 C.等边三角形

B.直角三角形 D.等腰直角三角形 , 为邻边所作的平行四

【解析】选 B.根据复数加(减)法的几何意义,知以

边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形 OAB 为直角三角形. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.若复数 z 满足 z=|z|-3-4i,则 z=__________. 【解析】设复数 z=a+bi(a,b∈R),

则 答案: -4i

所以

所以 z= -4i.

8.(2014·成都高二检测)已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=__________. 【解析】设 z=a+bi(a,b∈R), 因为|z|=3,所以 a2+b2=9. 又 w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数, 所以 即

又 a2+b2=9,所以 a=0,b=3,所以 z=3i. 答案:3i 9.(2014 · 重 庆 高 二 检 测 ) 已 知 z1=(3x+y)+(y-4x)i(x , y ∈ R) , z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设 z=z1-z2,且 z=13-2i,则 z1=__________, z2=__________. 【解析】z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i, 又 z=13-2i, 故 解得

于是,z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.

答案:5-9i -8-7i 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.设 m∈R,复数 z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i). (1)若 z 为实数,求 m 的值. (2)若 z 为纯虚数,求 m 的值. 【解题指南】根据复数 z 为实数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别 求出相应的 m 值.利用概念解题时,要看准实部与虚部. 【解析】z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)若 z 为实数,则 m2-3m+2=0, 所以 m=1 或 2.

(2)若 z 为纯虚数,则 解得 m=- . 【变式训练】实数 k 为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件, (1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数. 【解析】(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i) =(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,该复数为实数. (2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,该复数为虚数.

(3)当

即 k=4 时,该复数为纯虚数.

11.(2014·太原高二检测)已知:复平面上的四个点 A,B,C,D 构成平行四边 形,顶点 A,B,C 对应复数-5-2i,-4+5i,2,求点 D 对应的复数.

【解析】因为

=



所以 zA-zB=zD-zC, 所以 zD=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i. 即点 D 对应的复数为 1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点 D 对应的复数 z. 图①中点 D 对应的复数为 3+7i, 图②中点 D 对应的复数为-11+3i. 故点 D 对应的复数为 1-7i 或 3+7i 或-11+3i.

【误区警示】四个点 A,B,C,D 构成平行四边形,并不仅有□ABCD 一种情况, 应该还有□ABDC 和□ACBD 两种情况. 【变式训练】 已知平行四边形 ABCD 中, 与 两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点. (1)求 (2)求 对应的复数. 对应的复数. 对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,

(3)求△AOB 的面积. 【解析】(1)由于四边形 ABCD 是平行四边形,所以 于是 即 = ,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, = + ,

对应的复数是-2+2i.

(2)由于

=

-



而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即 对应的复数是 5. = = = · |= . , =- , ,| |= , = , == ,

(3)由于 = 即 于是 而| 所以

· ·cos∠AOB=- , , , || |sin∠AOB = .

因此 cos∠AOB=故 sin∠AOB= 故 S△AOB= | = ×

× ×

即△AOB 的面积为 .

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·福州高二检测)已知复数 z1= -3ai,z2=a+ i,若 z1+z2 是

纯虚数,那么实数 a 的值为( A.1 B.2

) C.-2 D.-2 或 1 ?

【解析】选 C.由 z1+z2=a2-2+a+ a=-2. 2.(2014·南昌高二检测)如图,设向量 那么( ) ,

i 是纯虚数,得



所对应的复数为 z1,z2,z3,

A.z1-z2-z3=0 C.z2-z1-z3=0

B.z1+z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0

【解题指南】利用向量三角形法则,判断复数间的关系. 【解析】选 D.由复数的向量意义及几何意义可得 z1+z2= 3.已知 z1,z2∈C,|z1+z2|=2 A.1 B. + = =z3. )

,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为( C.2 D.2

【解析】选 D.由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应 z1,z2 的向量 为邻边的平行四边形为正方形,所以|z1-z2|=2 【变式训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|= 【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以 长. 和 .

,求|z1-z2|.

为两邻边的平行四边形的两条对角线的

如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 的长|z1-z2|= .

,知四边形为正方形,所以另一条对角线

【拓展延伸】复数运算几何意义的应用 (1) 已知复数 z1 , z2 , z1+z2 在复平面内分别对应点 A , B , C , O 为原点,且 |z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角 线长相等,故四边形 OACB 为矩形. (2)因为│z1│,│z2│,│z1-z2│(或│z1+z2│)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O 三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题. 4.(2014· 沈阳高二检测)复数 2+i 与复数 B,则∠AOB 等于( A. B. ) C. D. i,所以 A(2,1), i 在复平面上的对应点分别是 A,

【解析】 选 B.因为点 A,B 对应的复数分别是 2+i 与复数 B ,

所以 tan∠xOA= ,

tan∠xOB= ,所以 tan∠BOA=tan(∠xOA+∠xOB)= 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

=1,则∠BOA= .

5.在复平面内,O 是原点, 那么





表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,

表示的复数为__________. , , 表示出向量 ,再利用向量与复数的对应进

【解题指南】用向量 行运算. 【解析】由 答案:4-4i = =

-

-

=3+2i-(-2+i)-(1+5i)=4-4i.

6.(2014 · 启 东 高 二 检 测 ) 设 f(z)=z-3i+|z| , 若 z1=-2+4i , z2=5-i , 则 f(z1+z2)=__________. 【解析】因为 z1=-2+4i,z2=5-i, 所以 z1+z2=(-2+4i)+(5-i)=3+3i. 于是 f(z1+z2)=f(3+3i) =(3+3i)-3i+|3+3i| =3+3 .

答案:3+3 【变式训练】设 f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)=( A. 1-3i C.i-2 B.11i-2 D.5+5i )

【解析】选 D.因为 z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i, 又 f(z)=z,所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知复数 6+5i 和-3+4i. (1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量 和 .

(2)写出向量



表示的复数. 和 ,如图:

【解析】(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量

(2) =

= -

-

=-3+4i-(6+5i)=-9-i.

=6+5i-(-3+4i)=9+i. i|的最大值和最小值.

8.(2014·杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+ 【 解题 指南】 先思 考 |z|=2 与 |z+1+ |z+1+ i|的最大值和最小值.

i| 的 几 何意义 ,再 利用 几何图 形求

【解析】设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2 知 x2+y2=4, 故 z 对应的点在以原点为圆心,2 为半径的圆上, 又|z+1+ i|表示点(x,y)到点(-1,)在圆 x2+y2=4 上, )的距离的最小值为 0,最大值为圆的直径 4, )的距离.

又因为点(-1,-

所以圆上的点到点(-1,即|z+1+

i|的最大值和最小值分别为 4 和 0.

【拓展延伸】数形结合求解复数问题 因为复数拥有实部与虚部“两条腿” ,进而与复平面上的点建立了一一对应,又 与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两 个角度思考. 【变式训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2= + i,求复数 z1,z2.

【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 所以 z1+z2 对应向量

=1,

,其中∠COA=60°,如图 1 所示.



对应复数 z1,

对应复数 z2,则四边形 AOBC 是菱形,且△AOC 和△BOC 都 + i 或 z1= + i,z2=1.如图 2 和图 3 所

是等边三角形,于是 z1=1,z2= 示.

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