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高中数学等比数列(基础)


等比数列
一.选择题(共 14 小题) 1.已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( A.21 B.42 C.63 ) D.8 ) D.﹣31 ) D. ) D.3 ) ) D.84

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是( A.2 B.4 C.4

/>
3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,a4=﹣8,则 S5 等于( A.﹣11 4.已知等比数列{an}满足 A.2 B.11 C.331

,a3a5=4(a4﹣1) ,则 a2=( B.1 C.

5.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4

6.已知等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,其前 n 项和为 Sn,则 Sn 的最大值为( A. B. C. D.

7.已知数列{an}是等差数列,若 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列,这数列{an}的公差 d 等于( A.1 B.﹣1 C.2 ) D.16 或﹣54 ) D.﹣2



8.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=14,a1=2,则 a4=( A.16 B.16 或﹣16 C.﹣54 =(

9.已知递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B.

C. ,则下列结论正确的是(

D. )

10.已知数列{an}的首项 a1=1, A.数列是{an}等比数列 C.数列是{an}等差数列

B.数列 a2,a3,…,an 是等比数列 D.数列 a2,a3,…,an 是等差数列 ) D.﹣4030 )

11.在等比数列{an}中,若 a1=2,a2+a5=0,{an}的 n 项和为 Sn,则 S2015+S2016=( A.4032 B.2 C.﹣2

12.在等比数列{an}中,a3﹣2a2=2,且 5a4 是 12a3 和 2a5 的等差中项,则{an}的公比为( A.2 B.3 C.2 或 3 ) D.﹣2 D.6

13.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( A.4 B.2 C.1

14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.1 二.填空题(共 6 小题) B.

,则 S5 等于( C.

) D.

15.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4= 16.已知数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2) ,则数列{an}的前 9 项和等于 17.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1= 18.等比数列{an}中,公比 q=4,且前 3 项之和是 21,则数列的通项公式 an= 19.设等比数列{an}的前 n 和为 Sn,已知 20.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ﹣a,则实数 a= 三.解答题(共 8 小题) 21.等差数列{an}中公差 d≠0,a1=3,a1、a4、a13 成等比数列. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设{an}的前 n 项和为 Sn,求: .
n 2

. . . . .

的值是

,公比 q=



22.在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a2=3,S4=16 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

23.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S6=51,a5=13. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的通项公式是 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

24.已知数列{an}是等差数列,首项 a1=2,公差为 d(d≠0)且 a1,a3,a11 成等比数列. (Ⅰ)求数列={an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

25.已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1+a5=

=63. 的前 n 项和 Tn.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1﹣bn=an+1,求数列

26.已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项的和,且对于任意的 n∈N ,都有 4Sn=(an+1) . (1)求 a1,a2 的值和数列{an}的通项公式; (2)求数列 bn= 的前 n 项和 Tn.

*

2

27.在各项均为负数的数列{an}中,已知点(an,an+1) (n∈N )在函数 (1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=an+n,求 Sn.

*

的图象上,且



28.已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2,数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +n. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Tn.

2

2015 年 12 月 17 日 TjuSky 等比数列(基础)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 14 小题) 1. (2015?黑龙江)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求 q,然后在代入等比数列通项公式即可求. 【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,
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∴ ∴q +q +1=7, 4 2 ∴q +q ﹣6=0, 2 ∴q =2, ∴a3+a5+a7=
4 2



=3×(2+4+8)=42.

故选:B 【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题. 2. (2015?乐山模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是( A.2 B.4 C .4 D.8 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件利用等比数列的性质求解. 【解答】解:∵在各项均为正数的等比数列{an}中, a2=1,a8=a6+2a4,
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解得 a1= ∴a6=

,q= =

, =4.

故选:B. 【点评】本题考查等比数列的第 6 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用. 3. (2015?通辽模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,a4=﹣8,则 S5 等于( A.﹣11 B.11 C.331 D.﹣31 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得数列的公比,代入求和公式计算可得. 【解答】解:∵等比数列{an}中 a1=1,a4=﹣8,
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∴公比 q=

=﹣2,

∴S5=

=11

故选:B 【点评】本题考查等比数列的求和公式,属基础题.

4. (2015?黑龙江)已知等比数列{an}满足 A.2 B.1 C. D.
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,a3a5=4(a4﹣1) ,则 a2=(



【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵ ∴
3

,a3a5=4(a4﹣1) , =4 ,

化为 q =8,解得 q=2 则 a2= = .

故选:C. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题. 5. (2014?广西)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( ) A.6 B.5 C .4 D.3 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出. 【解答】解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10. ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg(a1a2?…?a8)
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= 4lg10 =4. 故选:C. 【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.

6. (2015?河南二模)已知等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,其前 n 项和为 Sn,则 Sn 的最大值为( A. B. C. D.
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【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】利用等比数列的前 n 项和公式 Sn= 【解答】解:∵等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,

,对 n 分奇数偶数讨论即可得出.

∴Sn=

=



当 n 取偶数时,Sn= 当 n 取奇数时,Sn=1+ ∴Sn 的最大值为 .

<1; = .

故选:D. 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和及其分类讨论思想方法,属于基础题. 7. (2015?贵州二模)已知数列{an}是等差数列,若 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列,这数列{an}的公差 d 等于( A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a4 和 d 的方程,进而可得 d 的方程,解方程可得. 【解答】解:由题意 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列, 2 ∴(a4+4) =(a2+2) (a6+6) , 2 ∴(a4+4) =(a4﹣2d+2) (a4+2d+6) , 2 2 ∴a4 +8a4+16=a4 +(2d+6﹣2d+2)a4+(2d+6) (﹣2d+2) , 2 2 ∴a4 +8a4+16=a4 +8a4+(2d+6) (﹣2d+2) , ∴(2d+6) (﹣2d+2)=16, 解得 d=﹣1, 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,属基础题.
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8. (2015?保定模拟)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=14,a1=2,则 a4=( A.16 B.16 或﹣16 C.﹣54 D.16 或﹣54 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式及其前 n 项和的定义即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=13,a1=2, 2 ∴2+2q+2q =14, 2 化为 q +q﹣6=0, 解得 q=﹣3 或 2,
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∴a4=2×2 =16 或 a4=2×(﹣3) =﹣54. 故选:D. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和的定义,属于基础题.

3

3

9. (2015?鞍山一模)已知递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B. C. D.
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=(



【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的性质及其通项公式即可得出.

【解答】解:递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5, ∴a2a8=6,a2+a8=5, 解得 a2=2,a8=3. ∴ = = .

故选:D. 【点评】本题考查了等比数列的性质及其通项公式,属于基础题. 10. (2015?奉贤区一模)已知数列{an}的首项 a1=1, A.数列是{an}等比数列 B.数列 a2,a3,…,an 是等比数列 C.数列是{an}等差数列 D.数列 a2,a3,…,an 是等差数列 【考点】等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.
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,则下列结论正确的是(



【分析】在数列递推式中取 n=n﹣1 得另一递推式,作差后得到 an+1=4an(n≥2) ,由已知求得 a2=3,说明数列从第二项 起是公比为 4 的等比数列. 【解答】解:由 an+1=3Sn(n≥1) ,得 an=3Sn﹣1(n≥2) , 两式作差得:an+1﹣an=3an(n≥2) , 即 an+1=4an(n≥2) , ∵a1=1,an+1=3Sn(n≥1) , ∴a2=3. ∴数列 a2,a3,…,an 是公比为 4 的等比数列. 故选:B. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,是基础题. 11. (2015?南昌校级二模)在等比数列{an}中,若 a1=2,a2+a5=0,{an}的 n 项和为 Sn,则 S2015+S2016=( A.4032 B.2 C.﹣2 D.﹣4030 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得公比 q=﹣1,可得 S2015=2,S2016=0,相加可得. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1=2,a2+a5=0, 3 ∴2q(1+q )=0,解得 q=﹣1, ∴S2015=2,S2016=0 ∴S2015+S2016=2 故选:B 【点评】本题考查等比数列的求和公式,求出公比是解决问题的关键,属基础题.
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12. (2015?黄山三模)在等比数列{an}中,a3﹣2a2=2,且 5a4 是 12a3 和 2a5 的等差中项,则{an}的公比为( A.2 B.3 C .2 或 3 D.6 【考点】等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 q 的方程,解方程验证可得. 【解答】解:设公比为 q, 由已知可得 a3﹣2a2=a2q﹣2a2=2, 又可得 10a4=12a3+2a5, 2 3 ∴10a2q =12a2q+2a2q , 2 化简可得 q ﹣5q+6=0,
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解得 q=2 或 q=3, 但当 q=2 时,与 a2q﹣2a2=2 矛盾,应舍去, 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 13. (2015?河南一模)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( A.4 B.2 C .1 D.﹣2 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题.
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【分析】先根据题设中递推式求得 a1,进而根据 S2=2(a2﹣1)求得答案. 【解答】解:∵S1=2(a1﹣1) , ∴a1=2 ∵a1+a2=2(a2﹣1) , ∴a2=4 故选 A 【点评】本题主要考查了数列求和问题.属基础题. 14. (2015?鞍山校级四模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.1 B. C.
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,则 S5 等于(



D.

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用“裂项求和”即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∴ . , …+ = = .

故选 B. 【点评】熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键. 二.填空题(共 6 小题) 15. (2015?锦州校级模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4= 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【专题】计算题. 3 【分析】根据 S6=4S3 可求得 q ,进而根据等比数列的通项公式,得到答案. 【解答】解:设等比数列的公比为 q,则由 S6=4S3 知 q≠1,
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3 .

∴S6=
3

=
3



∴q =3.∴a1q =3. 故答案为:3 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题.属基础题.

16. (2015?安徽)已知数列{an}中,a1=1,an=an﹣1+ (n≥2) ,则数列{an}的前 9 项和等于 27 . 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列.
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【分析】通过 an=an﹣1+ (n≥2)可得公差,进而由求和公式即得结论. 【解答】解:∵an=an﹣1+ (n≥2) , ∴an﹣an﹣1= (n≥2) , ∴数列{an}的公差 d= , 又 a1=1, ∴an=1+ (n﹣1)= ∴S9=9a1+ , ?d=9+36× =27,

故答案为:27. 【点评】本题考查等差数列的求和,注意解题方法的积累,属于基础题.
2

17. (2015?梅州一模)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1= 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据题意和等比数列的通项公式,列出关于 q 的方程,先求出 q,再求出 a1 的值. 【解答】解:由题意设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0, 2 7 3 2 因为且 a3?a9=2a5 ,a2=1,所以 q?q =2(q ) , 2 化简得 q =2,即 q= ,
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由 a2=a1q=1 得,a1= 故答案为: .

=



【点评】本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题. 18. (2015?衡阳县校级三模)等比数列{an}中,公比 q=4,且前 3 项之和是 21,则数列的通项公式 an= 4 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根基题意和等比数列的前 n 项和公式先求出 a1,代入等比数列的通项公式化简即可. 【解答】解:因为公比 q=4,且前 3 项之和是 21,
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n﹣1



所以 21=
n﹣1 n﹣1

,解得 a1=1,

所以 an=a1?4 =4 , n﹣1 故答案为:4 . 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式、通项公式的应用,属于基础题.

19. (2014?横峰县校级模拟)设等比数列{an}的前 n 和为 Sn,已知 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的前 n 项和公式可得 q,再利用通项公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q≠1,
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的值是 0 .



,∴

=3,化为 1+q =3,即 q =2.

2

2

∴2a2﹣a4=

=0, .

故答案为 0. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式等基础知识与基本技能,属于基础题. 20. (2015?温州一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ﹣a,则实数 a= 1 ,公比 q= 3 . 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件利用递推公式求出数列的前 3 项,再由等比数列的性质能求出 a 和公比.
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n

【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ﹣a, ∴a1=3﹣a, a2=S2﹣S1=9﹣a﹣(3﹣a)=6, a3=S3﹣S2=(27﹣a)﹣(9﹣a)=18, 2 ∴6 =(3﹣a)×18,解得 a=1, q= = .

n

故答案为:1;3. 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要注意公式 的合理运用.

三.解答题(共 8 小题) 21. (2015?南昌校级二模)等差数列{an}中公差 d≠0,a1=3,a1、a4、a13 成等比数列. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设{an}的前 n 项和为 Sn,求: .
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【考点】数列的求和;等比数列的通项公式;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (I)a1、a4、a13 成等比数列.可得 可. (II)由(I)可得:Sn= =n(n+2) ,

,利用等差数列的通项公式可得(3+3d) =3(3+12d) ,解出即

2

.利用“裂项求和”即可得出.

【解答】解: (I)∵a1、a4、a13 成等比数列. ∴
2



∴(3+3d) =3(3+12d) , 2 化为 d ﹣2d=0,d≠0, 解得 d=2. ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1. (II)由(I)可得:Sn= =n(n+2) ,

∴ ∴ = = ﹣ =

. + . . +…+

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”,考查了计算能力,属于基础题. 22. (2015?泉州校级模拟)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a2=3,S4=16 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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*

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)首先根据已知条件建立方程组,进一步求出数列的首项与公差,进一步确定通项公式. (Ⅱ)利用上步的结论,进一步利用裂项相消法求数列的和. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列的公差是 d, 由已知条件得 解得 a1=1,d=2, ∴an=2n﹣1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n﹣1, ∴ = = = . Tn=b1+b2+…+bn

【点评】本题考查的知识要点:等差数列通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型. 23. (2014?赤峰模拟)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S6=51,a5=13. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的通项公式是 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
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【考点】等比数列的前 n 项和;等比关系的确定. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,利用 S6=51,求出 a1+a6=17,可得 a2+a5=17,从而求出 a2=4,可得公差,即 可确定数列{an}的通项公式; (2)求出数列{bn}的通项公式,利用等比数列的求和公式,可得结论. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 ∵S6=51, ∴ ×(a1+a6)=51,

∴a1+a6=17, ∴a2+a5=17,

∵a5=13,∴a2=4, ∴d=3, ∴an=a2+3(n﹣2)=3n﹣2; (2)bn= =﹣2?8
n﹣1


n

∴数列{bn}的前 n 项和 Sn=

= (8 ﹣1) .

【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和,考查等比数列的通项公式,确定等差数列的通项公式是关键. 24. (2015?宜宾模拟)已知数列{an}是等差数列,首项 a1=2,公差为 d(d≠0)且 a1,a3,a11 成等比数列. (Ⅰ)求数列={an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (II)利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出.
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【解答】解: (Ⅰ)a1=2,设公差为 d,由 a1,a3,a11 成等比数列. 2 得(2+2d) =2×(2+10d) , 解得 d=0(舍去)或 d=3, ∴数列{an}的通项公式为 an=3n﹣1. (Ⅱ)由(I)可得: ,

?,

=

+

+…+

+





=

+…+



=



=1+



∴Tn=5﹣



【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

25. (2015?西宁校级模拟)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1+a5= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1﹣bn=an+1,求数列
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=63.

的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)根据已知条件建立方程组,通过解方程求出首项和公差,进一步求出数列的通项公式. (Ⅱ)首先利用叠加法求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和.

【解答】解: (Ⅰ)法一:设正项等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,an>0 则 ,

得 ∴an=2n+1 法二:∵{an}是等差数列且 ,∴ ,

又∵an>0∴a3=7.…(2 分)∵ ∴d=a4﹣a3=2,∴an=a3+(n﹣3)d=2n+1. (Ⅱ)∵bn+1﹣bn=an+1 且 an=2n+1, ∴bn+1﹣bn=2n+3 当 n≥2 时,bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1 =(2n+1)+(2n﹣1)+…+5+3=n(n+2) , 当 n=1 时,b1=3 满足上式,bn=n(n+2) ∴



=



【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型. 26. (2015?红河州一模)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项的和,且对于任意的 n∈N ,都有 4Sn=(an+1) 2 . (1)求 a1,a2 的值和数列{an}的通项公式; (2)求数列 bn= 的前 n 项和 Tn.
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*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用递推关系式求数列的项,进一步求出数列的通项公式. (2)根据求出的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和. * 【解答】解: (1)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项的和,且对于任意的 n∈N , 2 都有 4Sn=(an+1) ①. 所以:当 n=1 时, 解得:a1=1 当 n=2 时, 解得:a2=3 当 ②

所以:①﹣②得: 整理得: (an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0=0 所以:an﹣an﹣1=2 {an}是以 a1=1 为首项,2 为公差的等差数列 an=2n﹣1 (2)根据(1)的结论 ) = 【点评】本题考查的知识要点:数列通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和.属于基础题型. 27. (2014?吉林二模) 在各项均为负数的数列{an}中, 已知点 (an, an+1) (n∈N ) 在函数 (1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=an+n,求 Sn. 【考点】数列的求和;等比关系的确定.
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=

*

的图象上, 且



【分析】 (1)把点的坐标代入直线方程,根据等比数列的定义进行证明,显然公比是 ,再根据条件 首项即可求出这个数列的通项公式; (2)数列 bn 是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列,分别求和即可. 【解答】解: (1)因为点(an,an+1) (n∈N )在函数
*

求出

的图象上,

所以

,故数列 an 是公比

的等比数列

因为 . (6 分) (2)由(1)知, ,

,由于数列 an 的各项均为负数,则

所以

所以

. (12 分)

【点评】本题考查等比数列的概念、通项,等比数列和等差数列的求和.高考对数列的考查难度在下降,其考查的重 点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列,以及数列求和方面.解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本 量方法,即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比.数列求和要掌握好三个方 法,一个是本题使用的分组求和,第二个是错位相减法,第三个是裂项求和法. 28. (2014 秋?信阳期末) 已知数列{an}与{bn}, 若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2, 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +n. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列
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2

的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)首项利用递推关系式和前 n 项和公式求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论求出性数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和.

【解答】解: (1)数列{an}a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2 则:数列为等差数列. an=3+2(n﹣1)=2n+1 2 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +n. 2 2 则:bn=Sn﹣Sn﹣1=n +n﹣(n﹣1) ﹣(n﹣1)=2n 当 n=1 时,b1=2 符合通项公式. 则:bn=2n (2)根据(1)的结论:cn= Tn=c1+c2+…+cn= = 【点评】本题考查的知识要点:数列通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于基础题型. = ]


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