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2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案


2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 log ? x ? sin x ? 2 在区间 (0,
2

?
2

] 上的实根个数为_________________.

解:设 f ( x) ? log ? x ? sin x ? 2 ,则 f ?( x) ?
2

1 x ln

?
2

? cos x ,∵ 0 ? x ?

?
2

,∴ 0 ? cos x ? 1 ,

又 0 ? ln

?

? 1 ,∴ f ?( x) ? 0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log ? x ? sin x ? 2 在区间 (0, ] 上有 2 2 2 2

?

?

且只有一个实根. 2.设数列 ?8 ? (? )

? ?

1 3

n?1

1 ? 的最小整数 n 是______. ? 的前 n 项和为 S n ,则满足不等式 | Sn ? 6 |? 125 ?

1 8[1 ? (? )n ] 1 n?1 ? 1 ? 3 ? 6 ? 6(? 1 ) n ,于 解:易知数列 ?8 ? (? ) ? 是首项是 8 ,公比是 ? 的等比数列,∴ Sn ? 1 3 ? 3 3 ? 1 ? (? ) 3 1 2 1 是 | Sn ? 6 |? ? n ?1 ? ? 3n ?1 ? 250 ,∵ 35 ? 243 ? 250 , 36 ? 729 ? 250 ,故最小整数 n 是 7. 125 3 125
3. 已 知 n ( n ? N , n ? 2 ) 是 常 数 , 且 x1 , x2 , ? , xn 是 区 间 ?0,

? ?? 内任意实数,则函数 ? 2? ?

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1 的最大值等于_________.
解:∵ ab ?

a 2 ? b2 , 2

∴ f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1

?

sin 2 xn ? cos 2 x1 sin 2 x1 ? cos 2 x2 sin 2 x2 ? cos 2 x3 ? ?? ? 2 2 2 (sin 2 x1 ? cos 2 x1 ) ? (sin 2 x2 ? cos 2 x2 ) ? ? ? (sin 2 xn ? cos 2 xn ) n n ? ,故所求函数的最大值等于 . 2 2 2

?

4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有 _________________个交点. 解:圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的个数与每两条 弦的交点数相等,故有 C10 ?
4

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 210 个交点. 1? 2 ? 3 ? 4

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬行后恰

好回到起始点的概率为_________________. 解:由已知条件第 n 次到达起始点的概率记为 an ,则到其他两点的概率为 1 ? an ,则第 n ? 1次到达起始点

1 1 1 1 (1 ? an ) ;所以接下来构造一个等比数列来进行计算.即 an ?1 ? ? ? (an ? ) ,其中 2 3 2 3 1 n ?1 1 ? (? ) 2n ? 2(?1) n 2n ? 2(?1)n 2 a1 ? 0 ,所以 an ? .答案: ? 3 ? 2n 3 3 ? 2n 6.设 O 是平面上一个定点, A , B , C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC AB ? OP ? ? ???? ? OA ? ? ??? ,其中 ? ? [0, ??) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AC | | AB |
的概率为 an ?1 ?

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AC AB AB AC ? ? 解:∵ OP ? ? ???? ? OA ? ? ??? ,∴ OP ? OA ? ? ? ( ??? ? ???? ) , | AC | | AB | | AB | | AC | ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB AC AB AC ? ? 即 AP ? ? ( ??? ? ???? ) ,又 ??? , ???? 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则,知点 P 的轨 | AB | | AC | | AB | | AC |
迹为 ?BAC 的平分线. 7.对给定的整数 m ,符号 ? (m) 表示 ?1, 2,3? 中使 m ? ? (m) 能被 3 整除的唯一值,那么

? (22010 ? 1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? _________________.
解:由二项式定理知, 2 ∴ ? (2 故 ? (2
2010 2010

? 41005 ? (3 ? 1)1005 ? 3 p ? 1 ,即 22010 被 3 除余 1,

? 1) ? 3 , ? (22010 ? 2) ? 1 ? (22010 ? 3) ? 2 , ? 1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? 6 .

2010

8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为

Va , Vb , Vc ,则 Va 2 ? Vb 2 与 (2Vc ) 2 的大小关系是_________________.
解: ∵ Va ? Vb ? (
2 2

?

b 2 a ) 2 ? ( a 2b ) 2 ? a 2b 2 ( a 2 ? b 2 ) ? a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 4? 2 ab 4 2 4? 2 a 4b4 ( ) c ? ? 2 , 9 c 9 c

?

?2

?2

(2Vc ) 2 ? (2 ?

?
3

h 2 (a? ? b?)) 2 ?

∴作商,有

Va 2 ? Vb 2 c4 (a 2 ? b 2 )2 (2ab) 2 ? 2 2 ? ? ? 1 ,故 Va 2 ? Vb 2 ? (2Vc ) 2 . 2 2 2 2 2 (2Vc ) 4a b 4a b 4a b

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分 16 分) 是否存在实数 a ,使直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x ? y ? 1 相交于两点 A 、 B ,且以 AB 为直径的圆
2 2

恰好过坐标系的原点?

解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3 x ? y ? 1

消去 y ,得

(3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

2a ?2 , ① x1 x2 ? , ② 2 3? a 3 ? a2 ??? ??? ? ? ∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ? OB ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2

即 x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,整理,得 (a ? 1) x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 将①②代入③,并化简得 满足题目条件. 2.(本小题满分 20 分)



1 ? a2 ? 0 ,∴ a ? ?1 ,经检验, a ? ?1 确实满足题目条件,故存在实数 a 3 ? a2

? 求证:不存在这样的函数 f : Z ? ?1, 2, 3 ,满足对任意的整数 x , y ,若 | x ? y | ? 2, 3, 5 ,则 ? ?

f ( x) ? f ( y ) .
证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f (n) ? a , f (n ? 5) ? b ,其中 a, b ? ?1, 2,3? ,由 条件知 a ? b . 由于 | (n ? 5) ? (n ? 2) |? 3 , n ? (n ? 2) |? 2 , f (n ? 2) ? a 且 f (n ? 2) ? b , f (n ?2 是 ?1, 2,3? ∴ 即 | ) 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n ? 2) ? c 又由于 | (n ? 5) ? (n ? 3) |? 2 , | n ? (n ? 3) |? 3 ,∴ f (n ? 3) ? f (n ? 2) . 以 n ? 1代替 n ,得 f (n ? 4) ? f (n ? 3) ? f (n ? 2) ,但这与 | (n ? 4) ? (n ? 2) |? 2 矛盾! 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.(本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1,求证: 9abc ? ab ? bc ? ca ? 证明:先证左边的不等式.∵ a ? b ? c ? 1,
2 2 2 2 2

1 (1 ? 9abc) 4
2

∴ ab ? bc ? ca ? (ab ? bc ? ca)(a ? b ? c) ? a b ? ab ? b c ? bc ? a c ? ac ? 3abc

? 6abc ? 3abc ? 9abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ? b ? c ,注意到条件 a ? b ? c ? 1,得

1 ? 4(ab ? bc ? ca) ? 9abc ? (a ? b ? c)3 ? 4(a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc

? a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? (a ? b)[a(a ? c) ? b(b ? c)] ? c(c ? a)(c ? b) ? 0 ,
所以 ab ? bc ? ca ?

1 (1 ? 9abc) , 4

综上, 9abc ? ab ? bc ? ca ?

1 (1 ? 9abc) . 4


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