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安徽省淮北市濉溪县2010届高三第三次月考数学(理科)卷


濉溪县 2010 届高三第三次月考

理科数学试卷
题 得 只有 一项是符合题目要求的,选出你认为正确的答案代号填入本大题最后的相应空格内. 1、“|x 1|<1 成立”是“x(x 3)<0”成立的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 2、已知集合 A = A、R B、(1,2] ,B = C、[0,1] ,R 是实数集,则 (C B)∩A 等于 D、Φ 号 分 一 二 三 总 分

一、选择题.本题共有 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

3、在复平面内,复数 A、1 4、使奇函数 A、 5、以 围是 A、d > B、 B、 为首项的等差数列 B、

对应的点与原点的距离是 C、2 在[ C、 D 、2 ,0]上为减函数的 等于 D、

,当且仅当 n = 10 时,其前 n 项和最小,则公差 d 的取值范

<d<

C、

≤d<

D、

<d≤ 的夹角为

6、连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 = (m,n)与向量 , 则 ∈(0, ] 的概率是 A、 B、 C、 D、

7、 、 为两个互相垂直的平面,a、b 为一对异面直线,下列条件:①a∥ 、b ;②a⊥ 、b∥ ;③a⊥ 、b⊥ ;④a∥ 、b∥ 且 a 与 的距离等于 b 与 的距离.其中是 a⊥b 的充分条件的有 A、①④ B、① C、③ D、②③ 8、已知椭圆 长轴 右端点为 A,若 A、 B、 ,则椭圆的离心率为 C、 D、 (a>b>0)的短轴端点分别为 B 、B ,左、右焦点分别为 F 、F ,

-1-

9、函数 数

的定义域为 D,若对于任意 x 、x ∈D,当 x < x 时,都有



,则称函

在 D 上为非减函数.

设函数 ① 则 A、

在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: = 0; ② + = ; ③ =1 .

等于( A ) B、 C、1 D、

10、如图(1),在三棱锥 P—ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA =3,PB =2,PC=1.设 M 是底面 ABC 内一点,定义 =(m,n,p), 其中 m、n、p 分别是三棱锥 M—PAB、三棱锥 M — PBC、三棱锥 M — PCA 的体积,若 = A、1 题号 答案 二、填空题.本题有 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分.把最简结果填在题中的横线上. 11、不等式 的解集是 . , 且 , 1 ,且 B、2 2 3 4 恒成立,则正实数 a 的最小值为 C、3 5 6 D、4 7 8 9 10

12、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 在△ABC 中, 角 A、 若 则△ABC 的面积等于 . 13、已知 x、y、z 满足 ,则 z = 2x + 4y 的最小值为



14、将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 2 4 6 8 第1行 16 14 12 10 第2行 18 20 22 24 第3行 32 30 28 26 第4行 … … … … … 则 2010 在第 行 ,第 列. 15、在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按 图(2)所标边长,由勾股定理有: .设想正方形换成正方体,把截线换成如
-2-

图(3)的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O—LMN,如果用 s 、 s 、s 表示三个侧面面积, s 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .

三、解答题.本题共有 6 道小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证 明过程. 16、(本题满分 12 分) 已知命题 p:不等式|x|+|x 1|>m 的解集为 R.命题 q: q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. [解] 是减函数.若 p 或

17、(本题满分 12 分) 已知函数 ,且给定条件 p:“ ≤x≤ ”.

(1)求 的最大值及最小值; (2)若又给条件 q:“ ”,且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. [解]

-3-

18、(本题满分 12 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 υ(美元)与其重量 ω(克拉) 的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元. (1)写出 υ 关于 ω 的函数关系式; (2)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (3)试用你所学的数学知识证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为 1∶1 切 割,价值损失的百分率最大. (注:价值损失的百分率 = 忽略不计) [解] × 100%;在切割过程中的重量损耗

19、(本题满分 12 分) 设 A(x ,y )、B(x ,y ) 是椭圆 且满足 · = 0,椭圆的离心率 e = (a > b > 0) 上的两点, ,短轴长为 2,O 为坐标原点. , =( , ),

(1)求椭圆的方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F(0, c)(c 为半焦距), 求直线 AB 的斜率 k 的值. [解]

-4-

20、(本题满分 13 分) 已知各项均为正数的等差数列 列

,其前 n 项和 S 满足 10S = a 满足 .

+ 5a + 6;等比数

满足 b = a ,b = a ,b = a ;数列 (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 T . [解]

-5-

21、(本题满分 14 分) 如图,已知二次函数 ,直线 l :x = 2,直线 l :y = 3tx(其中 1< t < 1, t 为常数);若直线 l 、l 与函数 的图象所围成的封闭图形如图(5)阴影所示. (1)求 y = ; (2)求阴影面积 s 关于 t 的函数 s = u(t)的解析式; (3)若过点 A(1,m)(m≠4)可作曲线 s=u(t)(t∈R)的三条切线,求实数 m 的取值范围. [解]

濉溪县 2010 届高三第三次月考理科数学试卷参考答案 一、选择题:1—5 ABCBDB 6—10 CCDAA

{x | x ? 3 或 x ? ?1} ; 二、 填空填: 11、 12、 2 3; 13、 ﹣6; 14、 252; 4; 15、S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 .
2 2 2 2

-6-

三、解答题:16、[解]∵|x|+|x?1|≥1,∴若 p 成立,则 m<1; ……………………………2 分 又若 q 成立,则 5?2m>1,解得 m<2,…………………………………………………4 分 由已知 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题得:p、q 一真一假. ……………………6 分 当 p 真 q 假时,有 ?

?m ? 1 ,解得 m∈Φ; ……………………………………………8 分 ?m ? 2 ?m ? 1 ,解得 1≤m<2, …………………………………………11 分 ?m ? 2

当 p 假 q 真时,有 ?

综上可得,m 的得取值范围是 ?m | 1 ? m ? 2?. ……………………………………12 分 17、[解] (1)f(x)=2[1-cos( =4sin( 2 x ? ∵

?
4

≤ x≤
max

∴ f ? x?

?

,∴ 3 ≤ 4sin ? 2 x ? ? ? 1 ≤ 5 , 3? ? ? ? 5? ? , f ? x ? ? f ? ? ? 3 , …………………………………………………8 分 f? ??5 ? ? min

? )+1, ………………………………………………………………………4 分 3 ?? ? ? ? 2? ?
2
,∴

? ? 2 x )]-2 3 cos2x-1=2sin2x-1 2

6

≤ 2x ?

3



3

(2)由 f ? x ? ? m ? 2 得: m ? 2 ? f ? x ? ? m ? 2 ,
?m ? 2 ? 3 ∵ p 是 q 的充分条件,∴ ? ? 3 ? m ? 5 . …………………………………12 分 ?m ? 2 ? 5 18、[解] (1)依题意设 v=kω2, ………………………………………………………………2 分 又当 ω=3 时,v=54000,∴k=6000,……………………………………………………3 分 2 故 v =6000ω . ……………………………………………………………………………4 分 (2)设这颗钻石的重量为 a 克拉, 由(1)可知,按重量比为 l∶3 切割后的价值为

? 6 ?

?4?

6000(

1 2 3 a) +6000( a)2. ……………………………………………………………… 6 分 4 4 1 2 3 a) +6000( a)2]. ……………………………………………………7 分 4 4

价值损失为 6000a2 一[6000(

1 3 6000a 2 ? [6000( a)2 ? 6000( a) 2 ] 价值损失的百分率为 4 4 ? 0.375 ? 37.5% 2 6000a
答:价值损失的百分率为 37.5%. ……………………………………………………8 分 (3)若把一颗钻石按重量比为 m∶n 切割成两颗,价值损失的百分率应为

1 ? [(

m 2 n 2 2mn ) ?( ) ]? ,…………………………………………………10 分 m?n m?n ( m ? n) 2

m?n 2 2?( ) 2 mn 1 又 2 ? ? , …………………………………………………………11 分 2 2 ( m ? n) (m ? n) 2

等号当且仅当 m=n 时成立.

-7-

即重量比为 1∶1 时,价值损失的百分率达到最大.…………………………………12 分

c a 2 ? b2 3 19、[解] (1) 2b ? 2, b ? 1, e ? ? ? ? a ? 2, c ? 3 , ……………………4 分 a a 2
椭圆的方程为:

y2 ? x 2 ? 1; …………………………………………………………5 分 4

(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3 ,

? y ? kx ? 3 由? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 , ………………………………………7 分 ? y2 2 ? ? x ?1 ?4

x1 ? x2 ?

?2 3k ?1 ,………………………………………………………8 分 , x1 x2 ? 2 2 k ?4 k ?4
x1 x2 y1 y2 1 k2 ? ? x x ? ( kx ? 3)( kx ? 3) ? (1 ? ) x1 x2 ? 1 2 1 2 b2 a2 4 4

由已知 0 ? m ? n ?

3k 3 k2 ? 4 1 3k ?2 3k 3 , ………………………………10 分 ( x1 ? x2 ) ? ? ? (? 2 )? ? ? 4 4 4 k ?4 4 k2 ? 4 4

解得 k ? ? 2 . …………………………………………………………………………12 分 20、[解](1)∵10Sn=an2+5an+6,………………………………………① ∴10a1=a12+5a1+6. 解之,得 a1=2,或 a1=3. ……………………………………………………………2 分 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2) ,………………………………② 2 2 由①-②,得 10an=(an -an-1 )+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2) . ………………………………………………5 分 当 a1=3 时,a3=13,a15=73.a1, a3,a15 不成等比数列,∴a1≠3. 当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15. - ∴数列{bn}是以 6 为公比,2 为首项的等比数列,bn=2×6n 1. ……………………8 分 - (2)由(1)知,an=5n-3 ,cn=2(5n-3)6n 1. - ∴Tn=2[2+7×6+12×62+…+(5n-3)6n 1], 6 Tn=2[2×6+7×62+12×63+…+(5n-3)6n], - ∴-5 Tn=2[5×6+5×62+…+5×6n 1] +4-2(5n-3)6n =
10 ? 6(1 ? 6n?1 ) +4-2(5n-3)6n=(8-10n)6n-8.…………………………………12 分 1? 6

8 (8 ? 10n)6n ∴Tn= ? .…………………………………………………………………13 分 5 5 21、[解](1)由图可知二次函数的图象过点(0,0),(1,0),
则 f ( x) ? ax( x ? 1) ,又因为图象过点(2,6),∴6=2 a ,? a ? 3 , ………………3 分
2 ∴函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3x( x ?1) ? 3x ? 3x ;

…………………………4 分

-8-

(2)由 ?

? y ? 3x 2 ? 3x ? y ? 3tx

得 x2 ? (1 ? t ) x ? 0,? x1 ? 0, x2 ? 1 ? t ,

?1 ? t ? 1, ∴直线 l2 与 f ( x) 的图象的交点横坐标分别为 0,1 ? t , ……………6 分
?t 2 2 2 由定积分的几何意义知: s(t ) ? ?1 0 [3tx ? (3x ? 3x)]dx ? ?1?t [(3x ? 3x) ? 3tx]dx

?[

3(1 ? t ) 2 3(1 ? t ) 2 2 x ? x3 ] |t0?1 ?[ x3 ? x ] |t ?1 ? (1 ? t )3 ? 2 ? 6t, ?1 ? t ? 1 ,………8 分 2 2

∵曲线方程为 s(t ) ? (1 ? t )3 ? 2 ? 6t , t ? R,? s '(t ) ? 3(1 ? t )2 ? 6, ∴点 A(1, m), m ? 4 不在曲线上,设切点为,则点 M ( x0 , y0 ) 的坐标满足:

y0 ? (1 ? x0 )3 ? 2 ? 6x0 , 因 s '( x0 ) ? 3(1 ? x0 )2 ? 6 ,故切线的斜率为:
(1 ? x0 )3 ? 6 x0 ? 2 ? m 3 ,整理得 2x0 3(1 ? x0 ) ? 6 ? ? 6x0 ? m ? 0 ,……………10 分 x0 ? 1
2

3 ∵过点 A(1, m) 可作曲线的三条切线,∴关于 x0 方程 2x0 ? 6x0 ? m ? 0 有三个实根. 3 2 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 6x0 ? m ,则 g '( x0 ) ? 6x0 ? 6 ,由 g '( x0 ) ? 0 得 x0 ? ?1 ,

∵当 x0 ? (??, ?1)

(1, ??) 时, g '( x0 ) ? 0 g ( x0 ) 在 (??, ?1), (1, ??) 在上单调递增,

∵当 x0 ? (?1,1) 时, g '( x0 ) ? 0,? g ( x0 ) 在 (?1,1) 上单调递减.
3 ∴函数 g ( x0 ) ? 2x0 ? 6x0 ? m 的极值点为 x0 ? ?1 , ………………………………12 分

3 ∴关于 x0 当成 2x0 ? 6x0 ? m ? 0 有三个实根的充要条件是 ?

? g (?1) ? 0 , ? g (1) ? 0

解得 ?4 ? m ? 4 ,故所求的实数 m 的取值范围是 ?4 ? m ? 4 ,……………………14 分

-9-


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