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2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析


2015 年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2015?山东)已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 2. (5 分) (2015?山东)若

复数 z 满足 A.1﹣i B.1+i =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( C.﹣1﹣i D.﹣1+i )



3. (5 分) (2015?山东)要得到函数 y=sin(4x﹣ ( ) A. 向左平移 C. 向左平移

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象

单位 单位

B. D.

向右平移 向右平移

单位 单位 =( a
2

4. (5 分) (2015?山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则 A. 2 ﹣ a B. ﹣ a
2



C.

a

2

D. )

5. (5 分) (2015?山东)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2 的解集是( A.(﹣∞,4) B.(﹣∞,1) C.(1,4)

D.(1,5)

6. (5 分) (2015?山东)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,

则 a=( A.3

) B.2 C.﹣2 D.﹣3 ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将 )

7. (5 分) (2015?山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC=

梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. B. C. D.2π

8. (5 分) (2015?山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ) , 从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,则 P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 9. (5 分) (2015?山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y 2 ﹣2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A. B. C. D. ﹣ 或﹣ ﹣ 或﹣ ﹣ 或﹣ ﹣ 或﹣
2

2

1

10. (5 分) (2015?山东)设函数 f(x)= 的取值范围是( A. [ ,1] ) B.[0,1]

,则满足 f(f(a) )=2

f(a)

的a

C.

[ ,+∞)

D.[1,+∞)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2015?山东)观察下列各式: C C C C … 照此规律,当 n∈N 时, C +C +C +…+C = . .
*

=4 ; +C +C +C =4 ; +C +C =4 ; +C =4 ;
3 2 1

0

12. (5 分) (2015?山东)若“?x∈[0,

],tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为

13. (5 分) (2015?山东)执行如图程序框图,输出的 T 的值为 . x 14. (5 分) (2015?山东)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的定义域 和值域都是[﹣1,0],则 a+b= . 15.(5 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
2



=1

(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B, 若△ OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 . 三、解答题 16. (12 分) (2015?山东)设 f(x)=sinxcosx﹣cos (x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ ABC 面积的最大值.
2

) .

17. (12 分) (2015?山东)如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH;
2

(Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所 成的角(锐角)的大小.

18. (12 分) (2015?山东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3 +3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn.

n

19. (12 分) (2015?山东)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等) .在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次,得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分,若能被 5 整除,但不 能被 10 整除,得﹣1 分,若能被 10 整除,得 1 分. (Ⅰ)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX.

20. (13 分) (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的

离心率为

,左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1

为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E

于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ ABQ 面积的最大值.

3

21. (14 分) (2015?山东)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R, (Ⅰ)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.

2

答案: 1、 解:集合 A={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 则 A∩B={x|2<x<3}=(2,3) . 故选:C. 2、 解: =i,则 =i(1﹣i)=1+i, 可得 z=1﹣i. 故选:A. 3、 解:因为函数 y=sin(4x﹣ 要得到函数 y=sin(4x﹣ )=sin[4(x﹣ )], 单位.

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移

4、

故选:B. 解:∵菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,

4

∴ 则

=a , =(

2

=a×a×cos60°= )? =

, =

5、

故选:D 解:①当 x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2 成立,故 x<1; ②当 1≤x≤5,不等式即为 x﹣1+x﹣5<2,得 x<4,故 1≤x<4; ③当 x>5,x﹣1﹣x+5<2,即 4<2 不成立,故 x∈?. 综上知解集为(﹣∞,4) . 故选 A. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最 大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大 ,此时 z 最大为﹣6,不满足条件, 故 a=2, 故选:B 解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为 1,高为 2 的圆锥,挖去 一个相同底面高为 1 的倒圆锥, 几何体的体积为: = .

6、

7、

8、

故选:C. 解:由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%, 所以 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%)=13.59%. 故选:B. 解:点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) , 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2) ,化为 kx﹣y﹣2k﹣3=0. 2 2 ∵反射光线与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离 d= 化为 24k +50k+24=0, ∴k= 或﹣ .
2

9、

=1,

故选:D.

5

10、 解:令 f(a)=t, 则 f(t)=2 , t 当 t<1 时,3t﹣1=2 , t t 由 g(t)=3t﹣1﹣2 的导数为 g′(t)=3﹣2 ln2, 在 t<1 时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增, 即有 g(t)<g(1)=0, 则方程 3t﹣1=2 无解; t t 当 t≥1 时,2 =2 成立, 由 f(a)≥1,即 3a﹣1≥1,解得 a≥ ,且 a<1; 或 a≥1,2 ≥1 解得 a≥0,即为 a≥1. 综上可得 a 的范围是 a≥ . 故选 C. 11、 解:因为 C C C C … 照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同, 可得:当 n∈N 时,C 故答案为:4 12、
n﹣1 * a t t

=4 ;
1

0

+C +C +C

=4 ; +C +C =4 ; +C =4 ;
3 2

+C

+C

+…+C

=4

n﹣1



. ],tanx≤m”是真命题,

解:“?x∈[0,

可得 tanx≤1,所以,m≥1, 实数 m 的最小值为:1. 故答案为:1. 13、 解:模拟执行程序框图,可得 n=1,T=1 满足条件 n<3,T=1+ 满足条件 n<3,T=1+ xdx,n=2 xdx+ x dx=1+
2

= .

,n=3

不满足条件 n<3,退出循环,输出 T 的值为 故答案为:

14、 解:当 a>1 时,函数 f(x)=ax+b 在定义域上是增函数,

6

所以

,解得 b=﹣1, =0 不符合题意舍去;
x

当 0<a<1 时,函数 f(x)=a +b 在定义域上是减函数, 所以 解得 b=﹣2,a= ,

综上 a+b= 故答案为;﹣ 15、

解:双曲线 C1:
2



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

与抛物线 C2:x =2py 联立,可得 x=0 或 x=±



取 A(



) ,则

=



∵△OAB 的垂心为 C2 的焦点, ∴
2 2

×(﹣ )=﹣1,

∴5a =4b , 2 2 2 ∴5a =4(c ﹣a ) ∴e= = . 故答案为: . 16、 解: (Ⅰ)由题意可知,f(x)= sin2x﹣ = sin2x﹣ =sin2x﹣ 由 2k 由 2k ≤2x≤2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可解得:k ,k∈Z 可解得:k , k ≤ x≤ k ≤ x≤ k ,k∈Z; ,k∈Z; ,

所以 ( f x) 的单调递增区间是[k k ], (k∈Z) ;

], (k∈Z) ; 单调递减区间是: [k

7

(Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA= , 由题意知 A 为锐角,所以 cosA= 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 可得:1+ bc=b +c ≥2bc,即 bc 因此 bcsinA≤ , .
2 2 2



,且当 b=c 时等号成立.

所以△ ABC 面积的最大值为

17、 解: (Ⅰ)证明:根据已知条件,BC=2EF,H 为 BC 中点,EF∥BC; ∴EF∥BH,且 EF=BH; ∴四边形 EFHB 为平行四边形; ∴BE∥HF,HF?平面 FGH,BE?平面 FGH; ∴BE∥平面 FGH; 同样,因为 GH 为△ ABC 中位线,∴GH∥AB; 又 DE∥AB; ∴DE∥GH; ∴DE∥平面 FGH,DE∩BE=E; ∴平面 BDE∥平面 FGH,BD?平面 BDE; ∴BD∥平面 FGH; (Ⅱ)连接 HE,则 HE∥CF; ∵CF⊥平面 ABC; ∴HE∥平面 ABC,并且 HG⊥HC; ∴HC,HG,HE 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空 间直角坐标系,设 HC=1,则: H(0,0,0) ,G(0,1,0) ,F(1,0,1) ,B(﹣1,0,0) ; 连接 BG,根据已知条件 BA=BC,G 为 AC 中点; ∴BG⊥AC; 又 CF⊥平面 ABC,BG?平面 ABC; ∴BG⊥CF,AC∩CF=C; ∴BG⊥平面 ACFD; ∴向量 设平面 FGH 的法向量为 为平面 ACFD 的法向量; ,则:

,取 z=1,则:



设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为 θ,则: cosθ=|cos |= ;

∴平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 60°.
8

n 1 18、 解: (Ⅰ)因为 2Sn=3 +3,所以 2a1=3 +3=6,故 a1=3, n﹣1 当 n>1 时,2Sn﹣1=3 +3, n n﹣1 n﹣1 n﹣1 此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3 ﹣3 =2×3 ,即 an=3 ,

所以 an=



(Ⅱ)因为 anbn=log3an,所以 b1= , 当 n>1 时,bn=3 所以 T1=b1= ; 当 n>1 时,Tn=b1+b2+…+bn= +(1×3 +2×3 +…+(n﹣1)×3 所以 3Tn=1+(1×3 +2×3 +3×3 +…+(n﹣1)×3 两式相减得:2Tn= +(3 +3 +3 +…+3
1﹣n 0
﹣1 ﹣2 ﹣1 ﹣2

1﹣n

?log33

n﹣1

=(n﹣1)×3

1﹣n



1﹣n

) ,

0

﹣1

﹣2

2﹣n

) ,
1﹣n

2﹣n

﹣(n﹣1)×3

)= +

﹣(n

﹣1)×3

)=





所以 Tn=



,经检验,n=1 时也适合,

综上可得 Tn=





19、 解: (Ⅰ)根据定义个位数字是 5 的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345; (Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 随机变量 X 的取值为:0,﹣1,1, 当 X=0 时,可以选择除去 5 以外的剩下 8 个数字中选择 3 个进行组合,即 ; ,

当 X=﹣1 时,首先选择 5,由于不能被 10 整除,因此不能选择数字 2,4,6,8,可 以从 1,3,5,7 中选择两个数字和 5 进行组合,即 ;

当 X=1 时,有两种组合方式,第一种方案:首先选 5,然后从 2,4,6,8 中选择 2 个数字和 5 进行组合,即 ;第二种方案:首先选 5,然后从 2,4,6,8 中选择 1 .

个数字,再从 1,3,7,9 中选择 1 个数字,最后把 3 个数字进行组合,即

则 P(X=0)= X

= ,P(X=﹣1)= 0

= ﹣1

,P(X=1)= 1

=



9

P EX=0× +(﹣1)× +1× = .

20、 解: (Ⅰ)由题意可知,2a=4,可得 a=2, 又 = ,a ﹣c =b , +y =1;
2 2 2 2

可得 b=1,即有椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为 (i)设 P(x0,y0) ,|

+

=1,

|=λ,由题意可知,

Q(﹣λx0,﹣λy0) ,由于

+y0 =1,

2

又 所以 λ=2,即|

+ |=2;

=1,即



+y0 )=1,

2

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得 2 2 2 2 2 (1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,由△ >0,可得 m <4+16k ,① 则有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,所以|x1﹣x2|= ,

由直线 y=kx+m 与 y 轴交于(0,m) , 则△ AOB 的面积为 S= |m|?|x1﹣x2|= |m|?

=2

,设

=t,则 S=2
2 2 2



将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 2 2 由△ ≥0 可得 m ≤1+4k ,② 由①②可得 0<t≤1,则 S=2 在(0,1]递增,即有 t=1 取得最大

值, 2 2 即有 S ,即 m =1+4k ,取得最大值 2 , 由(i)知,△ ABQ 的面积为 3S, 即△ ABQ 面积的最大值为 6 . 2 21、 解: (I)函数 f(x)=ln(x+1)+a(x ﹣x) ,其中 a∈R,x∈(﹣1,+∞) .

10

=
2



令 g(x)=2ax +ax﹣a+1. (1)当 a=0 时,g(x)=1,此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递 增,无极值点. (2)当 a>0 时,△ =a ﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8) . ①当 时,△ ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调
2

递增,无极值点. ②当 a ∵x1+x2= ∴ 时,△ >0,设方程 2ax +ax﹣a+1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,x1<x2. , , . .
2

由 g(﹣1)>0,可得﹣1<x1

∴当 x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此函数 f(x)有两个极值点. (3)当 a<0 时,△ >0.由 g(﹣1)=1>0,可得﹣1<x1 .

∴当 x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 因此函数 f(x)有一个极值点. 综上所述:当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点; 当 0≤a 当a 时,函数 f(x)无极值点; 0 时,函数 f(x)有两个极值点.

(II)由(I)可知: (1)当 0≤a 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.

∵f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. (2)当 <a≤1 时,由 g(0)≥0,可得 x2≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 f(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. (3)当 1<a 时,由 g(0)<0,可得 x2>0, ∴x∈(0,x2)时,函数 f(x)单调递减. 又 f(0)=0,
11

∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去; (4)当 a<0 时,设 h(x)=x﹣ln(x+1) ,x∈(0,+∞) ,h′(x)= ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. 因此 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即 ln(x+1)<x, 可得:f(x)<x+a(x ﹣x)=ax +(1﹣a)x,当 x> ax +(1﹣a)x<0,此时 f(x)<0,不合题意,舍去.
2 2 2

>0.

时,

12


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