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解析几何课件2.1


§2.1

平面曲线的方程

学习目标: 1.掌握求平面曲线方程的一般步骤 2.掌握普通方程与参数方程的关系 重点:平面曲线方程的求解步骤 难点:参数方程的求法 教学方法:讲授法 练习法 课时数:2 授课日期:2012.11.6

定义1 当平面上取定了坐标系之后,如果一个 方程与一条曲线有着关系(1)满足方程的(x,y) 必是曲线上某一点的坐标;(2)曲线上任何一点 的坐标(x,y)满足这个方程,那么这个方程就叫 做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的 图形。

1、一般方程
例1 求圆心在原点,半径为R的圆的方程 例2 已知两点A(-2,-2)和B(2,2),求满足条件
???? ? ???? AM ? MB ? 4的动点M的轨迹方程.
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2、参数方程
? ? ? ? r (t ) ? x(t )e1 ? y(t )e2 (a ? t ? b) 表示的向径 r (t ) 的终点总在一条
曲线上;反过来,在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终 点的向径,而这向径可由t的某一值 t0 (a ? t0 ? b) 通过上式完全 决定,那么就把以上表达式叫做曲线的向量式参数方程,其中 的t为参数。 ? 因为曲线上点的向径r (t ) 的坐标为x(t),y(t),所以 定义2 若取t(a≤t≤b)的一切可能取的值,由

曲线的参数方程也常写成下列形式
? x ? x(t ) ,(a ? t ? b) ? ? y ? y (t )
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我们把上式叫做曲线的坐标式参数方程。

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例 3 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一 点的轨迹。

y
C? B
?

y
P ? r
? a C
? ? a

o
x

P

A

x

o

A

例4 已知大圆半径为a,小圆半径为b,设大圆不动,小圆在 大圆内无滑动的滚动,动圆周上某一定点p的轨迹叫做内旋 轮线(或称内摆线) ,求内旋轮线的方程。

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例 5 把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反 方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部分 成为园的切线,求线头的轨迹. y

? R
例6 把椭圆的普通方程

B P

? ? r

x y ? 2 ?1 2 a b
改写为参数方程。

2

2

O

A

x

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作业:77页第2题
教学后记:平面曲线的普通方程掌握较好, 参数方程的求法不熟练,理解不够深刻,可 适当增加例题,习题。



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