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2016年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(解析版)


2016 年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|lgx≤0},B={x|2x≤ A. (﹣∞,1]B. (0, ]C.[ ,1]D.? 2.若复数 的实部与虚部相等,则实数 a=( ) },则 A∩B=

( )

A.﹣1B.1C.﹣2D.2 3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的 散点图(两坐标轴单位长度相同) ,用回归直线 =bx+a 近似的刻画其相关关系,根据图形, 以下结论最有可能成立的是( )

A.线性相关关系较强,b 的值为 1.25 B.线性相关关系较强,b 的值为 0.83 C.线性相关关系较强,b 的值为﹣0.87 D.线性相关关系太弱,无研究价值 4.某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.92+24πB.82+14πC.92+14πD.82+24π 5.下列命题中错误的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0”

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B.若 x,y∈R,则“x=y”是

成立的充要条件

C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 必一真一假 D.对命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则¬p:?x∈R,则 x2+x+1≥0 6.阅读如图所示的程序框图,输出结果 s 的值为( )

A.

B.

C.

D.

7.点 A(1,2)在抛物线 y2=2px 上,抛物线的焦点为 F,直线 AF 与抛物线的另一交点为 B,则|AB|=( ) A.2B.3C.4D.6

8.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

,设



的夹

角为 θ,则 tanθ 的最大值为( A. B. C. D.



9.己知角 φ 的终边经过点 P(5,﹣12) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0) ,满足对任意的 x,存在 x1,x2 使得 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,且|x1﹣x2|的最小值为 值为( A. ) B.﹣ C. D.﹣ =1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点,F1、 ) ,则 f( )的

10.设点 P 是双曲线



F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率( A. B. C. D.

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11.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: ①y=﹣x3+x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ; x ③y=e +1; ④f(x)= .

其中函数式“H 函数”的个数是( ) A.4B.3C.2D.1 12.已知函数 f(x)=ex﹣ax 有两个零点 x1<x2,则下列说法错误的是( A.a>eB.x1+x2>2 C.x1x2>1D.有极小值点 x0,且 x1+x2<2x0



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.已知 与 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若 + 与 k ﹣ 垂直,则 k= . 14.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=ex+x2+1, 则函数 h(x)=2f(x)﹣g(x)在点(0,h(0) )处的切线方程是 . 15.已知函数 f(x)= 的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围

是 . 16.已知直角△ ABC 的两直角边 AB、AC 的边长分别为方程 x2﹣2(1+ )x+4 =0 的两 根,且 AB<AC,斜边 BC 上有异于端点 B、C 的两点 E、F,且 EF=1,设∠EAF=θ,则 tanθ 的取值范围为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,2an+1=an,b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1(n∈N*) . (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 18.如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,PD⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC=90°, DC=2AB=2a,DA= ,E 为 BC 中点. (1)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明; 若无,请分析说明理由.

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19.在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学 生互评. 某校高一年级有男生 500 人, 女生 400 人, 为了了解性别对该维度测评结果的影响, 采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 表 2:女生 等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进 x 5 3 y 频数 15 频数 15 (1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的 概率; (2) 由表中统计数据填写下边 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与 性别有关”. 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式: K2= 临界值表: P(K2>k0) k0 ,其中 n=a+b+c+d.

0.05 2.706

0.05 3.841 +

0.01 6.635

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的右焦点 F1 与抛物线 y2=4x 的焦点重合,原点到 .

过点 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线的距离是

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,过 F1 作 PF1 的垂直于直线 l 交 于点 Q,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程. 21.已知函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (1)求 f(x)的单调区间;

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(2)设 g(x)=f(x)+2alnx,且 g(x)有两个极值点 xl,x2,其中 x1∈(0,e],求 g(x1) ﹣g(x2)的最小值. 【选做题】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:极坐标与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为 射线 A,B,C,D. (Ⅰ)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为[﹣2,3],求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n,使得 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数 m 的取值 范围. , , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ=a (a>0) , 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点

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2016 年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|lgx≤0},B={x|2x≤ A. (﹣∞,1]B. (0, ]C.[ ,1]D.? 【考点】交集及其运算. 【分析】先化简 A,B,根据并集的运算即可得到结论. 【解答】解:由 lgx≤0=lg1, ∴0<x≤1, 则 A=(0,1], 由 2x≤ = , },则 A∩B=( )

解得 x≤ , 则 B=(0, ], ∴ 故选:B ,

2.若复数

的实部与虚部相等,则实数 a=(



A.﹣1B.1C.﹣2D.2 【考点】复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的除法运算法则把分子、分母分别乘以分母的共轭复数矩形化简,然后利 用实部与虚部相等即可得出. 【解答】解:∵复数 = = 的实部与虚部相等,

∴ 故选 A.

,解得 a=﹣1.

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3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的 散点图(两坐标轴单位长度相同) ,用回归直线 =bx+a 近似的刻画其相关关系,根据图形, 以下结论最有可能成立的是( )

A.线性相关关系较强,b 的值为 1.25 B.线性相关关系较强,b 的值为 0.83 C.线性相关关系较强,b 的值为﹣0.87 D.线性相关关系太弱,无研究价值 【考点】散点图. 【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论. 【解答】解:由散点图可得,点的分布比较集中在一条直线赋值,∴语文成绩和英语成绩之 间具有线性相关关系, 且线性相关关系较强,由于所有的点都在直线 y=x 的下方, ∴回归直线的斜率小于 1, 故结论最有可能成立的是 B, 故选:B. 4.某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.92+24πB.82+14πC.92+14πD.82+24π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体是半圆柱与长方体的组合体,根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱 的半径和高,根据几何体的表面积 S=S 半圆柱侧+S 长方体侧+S 长方体底+2S 半圆柱底,把数据代入面积公 式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是半圆柱与长方体的组合体, 下面长方体的长、宽、高分别为 4、5、4; 上面半圆柱的半径为 2,高为 5;
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∴几何体的表面积 S=S 半圆柱侧+S 长方体侧+S 长方体底+2S 半圆柱底=π×2×5+2×(4+5) ×4+4×5+π×22=92+14π. 故选:C. 5.下列命题中错误的是(
2

) A.命题“若 x ﹣5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0” B.若 x,y∈R,则“x=y”是 成立的充要条件

C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 必一真一假 D.对命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则¬p:?x∈R,则 x2+x+1≥0 【考点】复合命题的真假. 【分析】A 命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”.可以判断出 A 的真假.B 因为 (x﹣y)2≤0?x=y,可判断出 B 的真假. C.依据 p∨q 的真假判断规则:当 p,q 两个命题有一个是真命题时,p∨q 是真命题;当 p, q 两个命题都是假命题时,p∨q 是假命题,据此可以判断出 C 的真假.D.“命题:?x∈R, 结论 p 成立”的否定是:“?x∈R,结论 p 的反面成立”据此可以判断出 D 的真假. 【解答】解:A.据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”.由此可知:命题“若 x2 ﹣5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0”. 所以 A 是真命题. B. y 满足 由实数 x,
2 y∈R, ≤0?x=y, ? (x﹣y) 故当 x, 则“x=y”是

成立的充要条件. C.我们知道:只有当 p 与 q 皆为假命题时,p∨q 才为假命题,既然 C 中 p∨q 为假命题, 则命题 p 与 q 都不可能是真命题,故 C 是假命题. D.据特称命题的否定规则可知:命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则¬p 应是:?x∈R,则 x2+x+1≥0,故 D 正确. 故选 C. 6.阅读如图所示的程序框图,输出结果 s 的值为( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,可知该程序经过四次循 环,得到当 n=5 时不满足 n≥4,输出最后的 s=cos 等变换进行化简整理,即可得到本题答案. 【解答】解:由题意,该程序按如下步骤运行 经过第一次循环得到 s=cos 经过第三次循环得到 s=cos 经过第四次循环得到 s=cos ,n=2, ;经过第二次循环得到 s=cos cos cos cos cos ,n=4; cos ,n=5 cos ,n=3; cos cos cos ,再用三角恒

此时不满足 n≥4,输出最后的 s

因此,输出结果 s=cos

cos

cos

cos

= ×

= ×

= ×

= ×

=

故选:C 7.点 A(1,2)在抛物线 y2=2px 上,抛物线的焦点为 F,直线 AF 与抛物线的另一交点为 B,则|AB|=( ) A.2B.3C.4D.6 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】把 A 代入抛物线方程解出 p 得出抛物线方程,求出 F,利用三点共线得出 B 点坐 标,从而得出|AB|. 【解答】解:∵A(1,2)在 y2=2px 上,∴2p=4,即 p=2. ∴抛物线方程为 y2=4x. ∴F(1,0) ∵A,B,F 三点共线,∴B(1,﹣2) . ∴|AB|=2p=4. 故选 C.

8.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

,设



的夹

角为 θ,则 tanθ 的最大值为(



第 9 页(共 24 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合求出 A,B 的位置,利用向量的数量 积求出夹角的余弦,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,要使 tanθ 最大, 则由 ,得 ,即 A(1,2) ,



,得

,即 B(2,1) ,

∴此时夹角 θ 最大, 则 ,

则 cosθ=

=



∴sin 此时 tan 故选:C.

, = ,

9.己知角 φ 的终边经过点 P(5,﹣12) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0) ,满足对任意的 x,存在 x1,x2 使得 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,且|x1﹣x2|的最小值为 值为( A. ) B.﹣ C. D.﹣ ,则 f( )的

【考点】正弦函数的图象.

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【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sinφ 的值,利用正弦函数的图象的特征求得 ω, 再利用诱导公式求得 f( )的值. , ,有

【解答】解:∵角 φ 的终边经过点 P(5,﹣12) ,由三角函数定义知: 由已知存在 x1,x2 使得 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,且|x1﹣x2|的最小值为 = , )=sin(π+φ)=﹣sinφ= ,

∴ω=4,∴f(x)=sin(4x+φ) ,故 f( 故选:C.

10.设点 P 是双曲线



=1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点,F1、 )

F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率( A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长,再由已知圆的半径为半焦距,知焦点 三角形为直角三角形,从而由勾股定理得关于 a、c 的等式,求得离心率 【解答】解:依据双曲线的定义:|PF1|﹣|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|, ∴|PF1|=3a,|PF2|=a, ∵圆 x2+y2=a2+b2 的半径 ∴F1F2 是圆的直径, ∴∠F1PF2=90° 在直角三角形 F1PF2 中 由(3a)2+a2=(2c)2,得 故选 D 11.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: ①y=﹣x3+x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ; x ③y=e +1; ④f(x)= . ) =c,

其中函数式“H 函数”的个数是( A.4B.3C.2D.1

第 11 页(共 24 页)

【考点】函数单调性的性质;函数的图象. 【分析】不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 【解答】解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ①y=﹣x3+x+1;y'=﹣3x2+1,则函数在定义域上不单调. ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;y'=3﹣2(cosx+sinx)=3﹣2 满足条件. ③y=ex+1 为增函数,满足条件. ④f(x)= ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满 sin(x+ )>0,函数单调递增,

足条件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故选 C. 12.已知函数 f(x)=ex﹣ax 有两个零点 x1<x2,则下列说法错误的是( A.a>eB.x1+x2>2 C.x1x2>1D.有极小值点 x0,且 x1+x2<2x0 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【分析】对四个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:∵f(x)=ex﹣ax, ∴f′(x)=ex﹣a,令 f′(x)=ex﹣a>0, ①当 a≤0 时,f′(x)=ex﹣a>0 在 x∈R 上恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递增. ②当 a>0 时,∵f′(x)=ex﹣a>0,∴ex﹣a>0,解得 x>lna, ∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. ∵函数 f(x)=ex﹣ax 有两个零点 x1<x2, ∴f(lna)<0,a>0, ∴elna﹣alna<0, ∴a>e,A 正确; a= )

,f(2)=e2﹣2a=0,∴x2=2,f(0)=1>0,∴0<x1<1,∴x1+x2>2,正确;

f(0)=1>0,∴0<x1<1,x1x2>1,不正确; f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,∴有极小值点 x0=lna,且 x1+x2 <2x0=2lna,正确.

故选:C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. )
第 12 页(共 24 页)

13.已知 与 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若 + 与 k ﹣ 垂直,则 k= 1 . 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】由 与 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若 + 与 k ﹣ 垂直,知( + )? +1)=0,由此能求出 k. (k ﹣ )=0,故(k﹣1) ( 【解答】解:∵ 与 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若 + 与 k ﹣ 垂直, ∴( + )?(k ﹣ )=0, + ∴k﹣ ﹣1=0, +1)=0, ∴(k﹣1) ( ∵ 与 为两个不共线的单位向量, +1>0, ∴ ∴k=1. 故答案为:1. 14.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=ex+x2+1, 则函数 h(x)=2f(x)﹣g(x)在点(0,h(0) )处的切线方程是 x﹣y+4=0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由题意可得 f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=﹣g(x) ,将已知条件中的方程的 x 换为﹣ x,解方程可得 f(x) ,g(x)的解析式,求得 h(x)的解析式和导数,可得切线的斜率和 切点,运用点斜式方程可得所求切线的方程. 【解答】解:f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 可得 f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=﹣g(x) , x 2 由 f(x)﹣g(x)=e +x +1, 可得 f(﹣x)﹣g(﹣x)=e﹣x+x2+1, 即为 f(x)+g(x)=e﹣x+x2+1, 解得 , ,

即有 h(x)=2f(x)﹣g(x)=

= 可得导数为

, , ,

即有在点(0,h(0) )处的切线斜率为 切点为(0,4) , 则所求切线方程是 x﹣y+4=0. 故答案为:x﹣y+4=0.

15.已知函数 f(x)= 是 .

的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围

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【考点】函数的值域. 【分析】根据函数 f(x)的解析式容易判断 f(x)在[﹣1,0)上单调递减,从而求出 x∈[﹣ 1,0)时,0<f(x)≤1,而当 x∈[0,a]时,通过求导便可判断出 f(x)在[0,1]上单调递 减,在(1,a]上单调递增,且 0≤x≤1 时,0≤f(x)≤2,并能求出 ,从而便可根据 f(x)的值域为[0,2]得出 a 的取值范围. 【解答】解: (1)﹣1≤x<0 时,f(x)=log2(1﹣x)为减函数; ∴f(0)<f(x)≤f(﹣1) ; 即 0<f(x)≤1; (2)0≤x≤a 时,f(x)=x3﹣3x+2,f′(x)=3(x2﹣1) ; ∴x∈[0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,a]时,f′(x)>0; ∴f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,a]上单调递增,且 x=1 时取最小值 0; ∴x∈[0,1]时,f(x)∈[0,2]; ∵f(x)的值域为[0,2],且 ; ∴ ; ∴实数 a 的取值范围是 . 故答案为: . 16.已知直角△ ABC 的两直角边 AB、AC 的边长分别为方程 x2﹣2(1+ )x+4 =0 的两 根,且 AB<AC,斜边 BC 上有异于端点 B、C 的两点 E、F,且 EF=1,设∠EAF=θ,则 tanθ 的取值范围为 ( , ] .

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】解方程可得 AB=2,AC=2 E(a, (2﹣a) ) ,F(b,

,建系可得 A(0,0) ,B(2,0) ,C(0,2

) ,设

(2﹣b) ) ,a>b, <a<2,由 EF=1 可得 b=a﹣ ,可得 ,代入 tanθ=tan(∠BAF﹣∠BAE)

tan∠BAE=

,tan∠BAF=

=

=

,由 <a<2 和二次函数的性质可得答案. ,

【解答】解:解方程 x2﹣2(1+ )x+4 =0 结合 AB<AC 可得 AB=2,AC=2 建立如图所示的坐标系,可得 A(0,0) ,B(2,0) ,C(0,2 ) , 可得直线 BC 的方程为 + 故设 E(a, 则由 EF= ∴tan∠BAE= ,tan∠BAF= =1,可得 y= (2﹣x) ,

(2﹣a) ) ,F(b,

(2﹣b) ) ,a>b, <a<2 =2(a﹣b)=1,可得 b=a﹣ , ,

∴tanθ=tan(∠BAF﹣∠BAE)=

第 14 页(共 24 页)

=

=

=



由 <a<2 和二次函数的性质可得 t=4a2﹣14a+15∈[

,9) ,



∈(



],

故答案为: (



].

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,2an+1=an,b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1(n∈N*) . (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用公式直接计算可知数列{an}的通项公式,通过作差可知 可得 bn=n; (2)通过(1)可知 anbn=n? ,进而利用错位相减法计算即得结论. … = ,进而

【解答】解: (1)a1=2,2an+1=an 得 由题意知: 当 n=1 时,b1=b2﹣1,故 b2=2, 当 n≥2 时, 由 b1=1 可知,bn=n;… (2)由(1)知,anbn=n? ,… ,即 = ,

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∴Tn=

+2?

+…+n? Tn= +

, + +…+ ﹣ n?

, ,…

两式相减得:

=

﹣n?

,…

故 Tn=8﹣

.…

18.如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,PD⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC=90°, DC=2AB=2a,DA= ,E 为 BC 中点. (1)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明; 若无,请分析说明理由.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连接 BD,便可得到 BD=DC,而 E 又是 BC 中点,从而得到 BC⊥DE,而由 PD⊥平面 ABCD 便可得到 BC⊥PD,从而得出 BC⊥平面 PDE,根据面面垂直的判定定理 即可得出平面 PBC⊥平面 PDE; (2)连接 AC,交 BD 于 O,根据相似三角形的比例关系即可得到 AO= 上找 F,使得 PF= ,从而在 PC

,连接 OF,从而可说明 PA∥平面 BDF,这样即找到了满足条件的 F

点. 【解答】解: (1)证明:连结 BD,∠BAD=90°,



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∴BD=DC=2a,E 为 BC 中点,∴BC⊥DE; 又 PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD; ∴BC⊥PD,DE∩PD=D; ∴BC⊥平面 PDE; ∵BC?平面 PBC; ∴平面 PBC⊥平面 PDE; (2)如上图,连结 AC,交 BD 于 O 点,则:△ AOB∽△COD; ∵DC=2AB; ∴ ∴ ; ; ;

∴在 PC 上取 F,使

连接 OF,则 OF∥PA,而 OF?平面 BDF,PA?平面 BDF; ∴PA∥平面 BDF. 19.在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学 生互评. 某校高一年级有男生 500 人, 女生 400 人, 为了了解性别对该维度测评结果的影响, 采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 表 2:女生 等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进 x 5 3 y 频数 15 频数 15 (1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的 概率; (2) 由表中统计数据填写下边 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与 性别有关”. 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式:

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K2=

,其中 n=a+b+c+d.

临界值表: P(K2>k0) 0.05 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 【考点】独立性检验. 【分析】 (1)由题意可得非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待改 进的 2 人为 A,B,则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 10 个,设事件 C 表示“从表二 的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”,则 C 的结果为 6 个,根据 概率公式即可求解. (2)由 2×2 列联表直接求解即可. 【解答】解: (1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 = ,m=25,

∴x=25﹣20=5,y=20﹣18=2, 表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待改进的 2 人为 A,B, 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为: (a,b) (a,c) (b,c) (A,B) (a,A) , (a,B) , (b,A) (,b,B) , (c,A) (c,B) ,共 10 种. 设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”, 则 C 的结果为: (a,A) , (a,B) , (b,A) (,b,B) , (c,A) (c,B) ,共 6 种. ∴P(C)= = ,故所求概率为 . 女生 15 5 20 总计 30 15 45

优秀 非优秀 总计 (2) ∵1﹣0.9=0.1,p(k2>2.706)=0.10, 而 K2= =

男生 15 10 25

= =1.125<2.706,

所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 思路点拨(1)由题意可得非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待 改进的 2 人为 A,B,则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 10 个,设事件 C 表示“从表 二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”,则 C 的结果为 6 个,根 据概率公式即可求解. (2)由 2×2 列联表直接求解即可.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点 F1 与抛物线 y2=4x 的焦点重合,原点到 .

过点 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线的距离是

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,过 F1 作 PF1 的垂直于直线 l 交 于点 Q,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程.
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由已恬条件得 a2=b2+1, ,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2) 由

x2+8kmx+4m2﹣12=0, , 得 (4k2+3) 由直线与椭圆相切, 得 4k2﹣m2+3=0,

由此能证明点 Q 在定直线 x=4 上. 【解答】 (1)解:由于抛物线的 y2=4x 的焦点坐标为(1,0) ,∴c=1, 2 2 ∴a =b +1, ∵顶点到直线 AB: ∴a2=4,b2=3, ∴椭圆 C 的方程为 . 的距离 d= ,

(2)证明:由

,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0(*)

由直线与椭圆相切得 m≠0,且△ =64k2m2﹣4(4k2+3) (4m2﹣12)=0, 整理,得 4k2﹣m2+3=0, 将 4k2+3=m2,m2﹣3=4k2 代入(*)式得 m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得 x=﹣ ,

∴P(﹣

, ) ,又 F1(1,0) ,∴

=

=﹣





=

,∴直线 F1Q 的方程为:y= ,得 x=4,



联立

∴点 Q 在定直线 x=4 上.

21.已知函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=f(x)+2alnx,且 g(x)有两个极值点 xl,x2,其中 x1∈(0,e],求 g(x1) ﹣g(x2)的最小值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
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【分析】 (1)求函数的定义域和导数,讨论 a 的取值范围,利用函数单调性和导数之间的关 系进行求解即可. (2)求出函数 g(x)的表达式,求出函数 g(x)的导数,利用函数极值,最值和导数之间 的关系进行求解. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=1+ ﹣ = ,

①当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 x2﹣ax+1=0, 1)当判别式△ =a2﹣4≤0 时,即 0<a≤2 时,f′(x)≥0 恒成立,此时函数在(0,+∞)上是 增函数, 2)当△ =a2﹣4>0 时,即 a>0 时,方程 x2﹣ax+1=0 的两个根 x1= ,

x2=



当 x∈(0,

)时,f′(x)>0,此时函数 f(x)为增函数,

当 x∈(



)时,f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数,

当 x∈(

,+∞)时,f′(x)>0,此时函数 f(x)为增函数,

综上当 a≤2 时,f(x)的递增区间为(0,+∞) ,无递减区间. 当 a>2 时,函数的递增区间为(0, ) ,∈( ,+∞) ,单调递减区

间为(



) .

(2)由于 g(x)=f(x)+2alnx=x﹣ +alnx,其定义域为(0,+∞) ,

求导得,g′(x)=1+

+ =



若 g′(x)=0 两根分别为 x1,x2,则有 x1?x2=1,x1+x2=﹣a, ∴x2= ,从而有 a=﹣x1﹣ ,

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则 g(x1)﹣g(x2)=g(x1)﹣g( +2alnx1=2(x1﹣ )﹣2(x1+

)=x1﹣ )lnx1,

+alnx1﹣(

﹣x1+aln

)=2(x1﹣



令 h(x)=2(x﹣ )﹣2(x+ )lnx,x∈(0,e], 则[g(x1)﹣g(x2)]min=h(x)min, h′(x)=2(1+ )﹣2[(1﹣ )lnx+(x+ ) ]= ,

当 x∈(0,1]时,h′(x)<0, ∴h(x)在(0,1]上单调递减, x∈(1,e]时,h′(x)<0, ∴h(x)在(0,e]上单调递减, 则 h(x)min=h(e)=﹣ , ∴g(x1)﹣g(x2)的最小值为﹣ . 【选做题】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可 得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 【解答】证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上,
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∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:极坐标与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为 射线 A,B,C,D. (Ⅰ)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】 (Ⅰ)把 C1、把 C2 的方程化为直角坐标方程,根据因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称, 可得直线 y=a 经过圆心(1,1) ,求得 a=1,故 C2 的直角坐标方程. (Ⅱ)由题意可得, ; |OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin(φ+ 【解答】解: (Ⅰ)C1:即 ρ2=2 )sinφ+8cos( ρ( sinθ+ ; =2 cos( +φ) ,再根据 ,计算求得结果. φ; , , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ=a (a>0) , 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点

+φ)cosφ=8cos

cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,

化为直角坐标方程为 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2. 把 C2 的方程化为直角坐标方程为 y=a,因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称,故直线 y=a 经过圆 心(1,1) , 解得 a=1,故 C2 的直角坐标方程为 y=1.

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(Ⅱ)由题意可得, ; ∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin(φ+ =4 .

; =2 )sinφ+8cos( cos( +φ) ,

φ;

+φ)cosφ=8cos[(

+φ)﹣φ]=8×

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为[﹣2,3],求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n,使得 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数 m 的取值 范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a,解得 a﹣3≤x≤3.再根据不等式 f(x)≤6 的解集 为[﹣2,3],可得 a﹣3=﹣2,从而求得 a 的值; (2)由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m,将函数 y=|2n﹣1|+|2n+1|+2,写成分段形式,求得 y 的最小值,从而求得 m 的范围. 【解答】解: (1)原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a, ∴ ,

解得 a﹣3≤x≤3. 再根据不等式 f(x)≤6 的解集为[﹣2,3],可得 a﹣3=﹣2, ∴a=1. (2)∵f(x)=|2x﹣1|+1,f(n)≤m﹣f(﹣n) , ∴|2n﹣1|+1≤m﹣(|﹣2n﹣1|+1) , ∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m,

∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=



∴ymin=4, 由存在实数 n,使得 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立, ∴m≥4,即 m 的范围是[4,+∞) .

第 23 页(共 24 页)

2016 年 7 月 21 日

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