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三明市2013高二上学期期末联考数学(理)试题及答案


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‘(考试时间:2013 年 1 月 26 日下午 3:00-5:00

满分:150 分)

说明: 1.答题前,考生务必先将答题卷上的年段、原班级、原座号、姓名、准考证号、考试座位号用黑色字 迹签字笔填写清楚; 2.请严格按

照答题卷上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题、草稿纸上 答题无效; 3.请保持答题卷卷面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损;

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.从集合 ? , 事件 B 为“取出的数是奇 1, 2, 3, 4, 5?中随机取出一个数,设事件 A 为“取出的数是偶数” 数” ,则事件 A 与 B A.是互斥且是对立事件 C.不是互斥事件 A. 5
源:学+科+网Z+X+X+K]

B.是互斥且不对立事件 D.不是对立事件 C.7 D. ? 1

2.若向量 a 、 b 的坐标满足 a ? b ? (?2 , ? 1 , 2) , a ? b ? (4 , ? 3 , ? 2) ,则 a · b 等于 B. ? 5
[来

3.已知某个三棱锥的三视 图如右,根据图中标出的尺寸 (单位: cm ) ,则这个三棱锥的体积是 A. C.

1 cm3 3 4 cm3 3

B. D.

2 cm3 3 8 cm3 3

4.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个不同平面, 下列四个命题中,正确的命题是 A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a // b B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b D.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ? 5.有一抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2 米时,水面宽 4 米,则当 水面下降 1 米后,水面宽度为

6 A.9 B.4.5 C. D. 2 6 6.如图是把二进制数 11111 ( 2) 化为十进制数的一个程序框图,
则判断框内应填入的条件是 A. i ?4 B. i?4 C. i?5 D. i ? 5 7.据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车 辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml (不含 80) 之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg/100ml
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[来源:Z&xx&k.Com]

(第 6 题图)

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(第 7 题图)

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(含 80)以上时,属醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2012 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾 车和醉酒驾车共 28800 人,如图是对这 28800 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则 属于醉酒驾车的人数约为 A. 4320 B. 2880 C. 8640 D. 2160

8.已知函数 f ( x ) 的图像如图所示, f '( x)是f ( x) 的导函数, 则下列数值排序正确的是 A. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) C. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(2) ? f '(3) 9.在棱长为 A.

a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 内任取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小等于 a 的概率为
B.

2 2

2 ? 2

C.

1 6

D.

1 ? 6

10. 已知双曲线

x2 y2 O 为坐标原点, 点 P 在双曲线上, 且 OP ? 5 , ? 2 ? 1 b ? N ? 的两个焦点为 F1 , F2 , 4 b
2

?

?

若 PF 1 、 F 1 F2 、 PF2 成等比数列,则 b 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置) 11.写出命题“ ?x0 ? (0, ? ) ,使得 sin x0 ? x0 ”的否定形式是********** 12. 当 a ? 3 时,右边的程序段输出的结果是********** 13.若双曲线 IF a<10 THEN y=2*a ELSE y=a*a PRINT y
(第 12 题图)

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则双曲 3 a2
7 2

线的渐近线方程为**********

14. 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M , A( , 4) ,则 PA ? PM 的最 小值是**********. 15.给出以下四个命题: ① ② ③ “正三角形都相似”的逆命题; 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy ? 100; “ ? 3 ? m ? 5 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆”的必要不充分条件; 5?m m?3

[来源:学|科|网]

2 2 ④ ?ABC 中,顶点 A, B 的坐标为 A(?2, 0), B(2, 0) ,则直角顶点 C 的轨迹方程是 x ? y ? 4

其中正确命题的序号是**********(写出所有正确命题的序号).
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 16.(本小题满分 13 分) 已知 p :“直线 x ? y ? m ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相交”; q :“方程 x 2 ? x ? m ? 4 ? 0 的两根 异 号”.若 p ? q 为真, ? p 为真,求实数 17.(本小题满分 13 分) 已知动点 M 到 A(0 , 1) 的距离比它到 (Ⅰ )求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ )过点 N (2 , 1) 作曲线 C 的切线 l ,求切线 l 的方程,并求出 l 与曲线 C 及 y 轴所围成图形的面积 S . 18.(本小题满分 13 分) 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? AD ? 2 ,

m 的取值范围.

x 轴的距离多一个单位.

AA1 ? 4 ,点 E 在 CC1 上,且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ )证明: A1C ? 平面 BDE ; (Ⅱ )求二面角 A1 ? DE ? B 的 余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 昼夜温差 C) 就诊人数 y (个) 22 25 29 26 16 12 期 1月10日 10 2月10日 11 3月10日 13 4月10日 12 5月10日 8 6月10日 6

x (°

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再 用被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ )求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (Ⅱ )若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于

x 的线性回归方程

? ? bx ? a ; (其中 b ? y

18 ) 7
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(Ⅲ )若由线性回归方 程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线 性回归方程是理想的.试问该小组所得线性回归方程是否理想? 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 方程为

x2 y2 3 左、 右焦点分别是 F1 , F2 , 若椭圆 C 上的点 P(1 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , ) 2 2 a b

到 F1 , F2 的距离和等于 4 . (Ⅰ )写出椭圆 C 的方程和焦点坐 标; (Ⅱ )设点 Q 是椭圆 C 的动点,求线段 F1Q 中点 T 的轨迹方程; (Ⅲ )直线 l 过定点 M (0 , 2) ,且与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,若 ?AOB 为锐角( O 为坐标原点) , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

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普通高中 2012—2013 学年第一学期三明一、二中联合考试

高二数学(理科)试题参考答案

三、 解答题(共 6 小题,共 80 分,只给出一种答案,其它解法只要言之有理,均应酌情给分) 16. (本小题满分 13 分) 解:∵

p ? q 为真, ? p 为真, ∴ p 假 q 真.

若 p 为假:由圆心 ?1 , 0 ? 到直线的距离 d 不小于半径 1 ,即 d ? ∴m ? 1 ? 2 或 m ? 1 ? 2 . 若 q 为真:由韦达定理知: x1 x2 ? m ? 4 ? 0 即 m ? 4 . 所以当 p 假 q 真时, m ? 1 ? 2 或 1 ? 2 ? m ? 4 . 故 m 的取值范围是: ? ? , 1 ? 2 ? 1 ? 2 , 4 . 17.(本小题满分 13 分)

1? m 2

? 1,
????9 分

?

? ?

?

????13 分

解: (Ⅰ )设动点 M 的坐标为 ( x , y ) ,依题意得:动点 M 到点 A 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等, 由抛物线定义知:M 的轨迹 C 是以 A 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物线,其方程为:

x2 ? 4y .
(Ⅱ )∵ 曲线 C 的方程可写成: y ?

??????6 分

[来源:Z#xx#k.Com]

1 2 x ,注意到点 N (2 , 1) 在曲线 C 上,过点 N 的切线 l 斜率为 4

y?

x?2

?

1 x 2

x?2

? 1 ,故所求的切线 l 的方程为: y ? 1 ? x ? 2 即 y ? x ? 1 .
????9 分

由定积分的几何意义,所求的图形的面积
2 1 2 2 1 1 S ? ? ( x 2 ? x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) ? . 0 4 0 3 12 2

????13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD1 所在的直线为

x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如下图所 2,, 0) C(0, 2,, 0) E(0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . 示的空间直角坐标系 D ? xyz .则 B(2,
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, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) . DE ? (0, 21) ,, DB ? (2, 2, 0) , AC 1 ? (?2
又 DB

??? 2 分

有 A1C ? DB ? BD , AC ? DE . =-4+4+0=0 , A1C ? DE =0+4-4=0 ,故 AC 1 1

DE ? D ,所以 AC ? 平面 BDE . 1
z D1 A1

??? 6 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )得 A1C 是平面 BDE 的一个法向量, 设向量 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 DE 的法向量,则

C1 B1

? ? ?n ? DE ? n ? DE ? 2 y ? z ? 0 ?? ? ? ? ?n ? DA1 ? 2 x ? 4 z ? 0 ?n ? DA1 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4,1, ?2) .??? 10 分

n ? A1C (?2) ? 4 ? 2 ?1 ? (?4) ? (?2) 14 . ? ? 42 | n || A1C | 2 6 ? 21 D 14 A 所以二面角 A1 ? DE ? B 的余弦值为 .?????13 分 cos ? n, A1C ??
42
19.(本小题满分 13 分) x

E C B y

解: (Ⅰ )设抽到相邻两个月的数据为事件 A .因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况 都是等可能出现的,其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种, ∴

P( A) ?

5 1 ? . 15 3 30 , 7

????4 分

(Ⅱ )由数据求得 x ? 11 , y ? 24,由公式 a ? y ? b x ,得 a ? ?

18 30 x? . 7 7 150 150 4 (Ⅲ )当 x ? 10 时, y ? ,有 ? 22 ? ? 2 ; 7 7 7 78 78 6 同样,当 x ? 6 时, y ? ,有 ? 12 ? ? 2 ; 7 7 7
所以 y 关于

?? x 的线性回归方程为 y

????9 分

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 20.(本小题满分 14 分)

????13 分

3 3 1 4 解: (Ⅰ )由题意得: 2a ? 4 ? a ? 2 ,又点 P( 椭圆 C 上, ∴ ? 2 ? 1 ? b 2 ? 1 1, ) 2 4 b 2 x ? y 2 ? 1 ,焦点 F1 (? 3,0)、F2 ( 3,0) . ∴ 椭圆 C 的方程 ???????5 分 4 (Ⅱ )设椭圆 C 上的动点 Q(x0 , y0 ) ,线段 F1Q 中点 T ( x, y ) ,
? ? 3 ? x0 2 ?x ? ?x ? 2x ? 3 (2 x+ 3) ? 2 2 由题意得: ? 代入椭圆 C 的方程得, ? (2 y) ?1 ?? 0 y 4 y ? 2 y 0 0 ? ? y? ? 2 ?
即 (x ?

3 2 ) ? 4 y 2 ? 1 为线段 F1Q 中点 T 的轨迹方程. 2

????????9 分

(Ⅲ )由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0 ,设 l : y ? kx ? 2 代入
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x2 ? y 2 ? 1 整理, 4

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(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,
3 4
????①

? ? (16 k ) 2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ? 12 ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ? k 2 ?
设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) ,∴

x1 ? x 2 ? ?

16 k 12 , x1 x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

∵ ?AOB 为锐角 ? cos?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 又 ∴

y1 y2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
12 16 k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12k 2 ? 32k 2 4(4 ? k 2 ) ? ? 4 ? ? 0 , ∴ k 2 ? 4 . ????② 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 3 3 3 <k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 . ???14 分 (-2,- ) ? ( ,2) 4 2 2 ? (1 ? k 2 ) ?
2 x

由①、②得

21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ )函数 f (x)的定义域为 ?0 , ? ?? ,当 ? ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, f ?( x) ? 1 ? , 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 2 , 由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 2 . 故 f ( x) 的单调减区间为 ?0 , 2? ,单调增区间为 ?2 , ? ?? . (Ⅱ ) f ( x) ? 0 在 ?e , ? ?? 恒成立等价于: ? ?
(1 ? ln x ) ? ( x ? 1)
2

????4 分

2ln x 在 ?e , ? ?? 恒成立, x ?1
1 x

2ln x , x ? (e, ??), 则 ? ?( x ) ? 2 令 ? ( x) ? x ?1

? 0 ,x∈ (e, ??) ,于是 ? ( x) 在 (e, ??) 上为减函数,又

在 x=e 处连续,故在 (e, ??) , ? ( x ) ? ? (e) ? 要??

2 2 ln x 对任意的 x ? ?e , ? ?? 恒成立.只 , 从而要使 ? ? e ?1 x ?1
????9 分

2 2 ,故 ? 的最小值为 . e ?1 e ?1

(Ⅲ )一次函数 g ( x ) ?

1 1 x 在 R 上递增,故函数 g ( x ) ? x 在 ?0 , e? 上的值域是 ?0 , 1? . e e

当 ? ? 0 时, f ( x) ? ?2 ln x 为单调递减函数,不合题意;

?(x ? ) 2 ? , x ? ?0 , e? ,要使 f ( x) 在 ?0 , e? 不单调,只要 0 ? 2 ? e ,此 当 ? ? 0 时, f ?( x) ? ? ? ? ? x x
时??

2

2 e 2

??①

故 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增.注意到 x ? 0 时, f ( x) ? ??

2

?

?

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∴ f ( x) min ? f ( ) ? 2 ? ? ? 2 ln

2

2

?

?

? 2 ln ? ? ? ? 2 ? 2 ln 2 , f (e) ? ? (e ? 1) ? 2

∴ 对任意给定的 x0 ? (0, e] ,在区间 (0, e] 上总存在两个不同的 xi (i ? 1 , 2) 使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立, 当且仅当 ? 满足下列条件 ?

? 2 ?f( )?0 ? ? f (e) ? 1

?

,即 ?

?2 ln ? ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ? (e ? 1) ? 2 ? 1 ?

[来源:学科网 ZXXK]

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