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山东省实验中学高中数学竞赛辅导——不等式部分


重要不等式应用汇总
1. 排序不等式: 设 a1 ? a 2 ? ... ? a n , b1 ? b2 ? ... ? bn 2. 均值不等式:当 a i ? R ? ( i
n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

j1 , j 2 ,..., j n 是 1,2,..., n 的一个排列,则 a1bn ? a 2 bn?1 ?

... ? a n b1 ? a1b j1 ? a 2 b j2 ? ... ? a n b jn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn .

? 1,2,? n )时,有:

? n a1 a 2 ? a n ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n

a1 ? a 2 ? ? ? a n n
2 2

2

3. 柯西不等式:设 ai , bi ? R(i ? 1,2,...n) 则 (

? a )(? b
i ?1 2 i i ?1

n

n

2 i

) ? (? ai bi ) 2 .
i ?1

n

等号成立当且仅当存在 ? ? R ,使得 bi ? ?ai (i ? 1,2,..., n) . 从历史角度看,柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形: (1)设 ai ? R, bi ? R 则
?

?b
i ?1

n

a

2 i i

?

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 i ?1 n

n

.

(2)设 a i , bi 同号,且 ai , bi ? 0, 则 ? ai ? i ?1 bi

n

(? a i ) 2 (? ai bi )
i ?1 i ?1 n

n

.

4. 琴生( Jensen)不等式:若 f (x) 是 (a, b) 上的凸函数,则对任意 x1 , x2 ,..., xn ? (a, b)

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )]. n n 5.幂均值不等式: f(
设 ? ? ? ? 0(ai ? R ) 则 M ? ? (
?
? ? ? ? ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ? a ? ? a 2 ? ... ? a n ? ) ?( 1 ) ? M?. n n
1 1

6. 切比雪夫不等式: 设两个实数组 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 则

1 (a1bn ? a 2 bn ?1 ? ... ? a n b1 ) ? n

? a ?b
i ?1 i

n

n

n

?

i ?1

i

n
n

?

1 (a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ). n
n

(该不等式的证明只用排序不等式及

? ai ? ? bi 的表达式就可得证)
i ?1 i ?1

7.一个基础不等式:

x ? y 1?? ? ?x ? (1 ? ? ) y 其中 x, y ? 0, ? ? [0,1] ,若 x, y 中有一个为零,则结论成立
8.赫尔德( Holder )不等式:设 a k , bk ? 0(k ? 1,2,...n).

p, q ? 1 且 1 ? 1 ? 1 ,则
p q

?a b
k ?1 k

n

k

? (? a ) ? (? b ) (等号成立当且仅当 a kp ? tbkq )
k ?1 p k k ?1 q k

n

1 p

n

1 q

*9.与对数函数有关的一个不等式:

x ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0.(该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性) 1? x
*10.三角函数有关的不等式: sin x ? x ? tan x x ? (0, *11.绝对值不等式: 设 a, b, a1 , a 2 , ? a n *12.舒尔( Schur )不等式: 设 x, y, z ? R ,则 x( x ? y)( x ? z ) ? y( y ? x)( y ? z ) ? z ( z ? x)( z ? y) ? 0 *13. 闵可夫斯基( Minkowski 不等式: ) 如果 x1 , x2 ,......, xn 与 y1 , y 2 ,......, y n 都是非负实数 p ? 1 , 那么 (? ( xi ? y i ) p ) p ? (? xip ) p ? (? y ip ) p
i ?1 i ?1 i ?1 n 1 n 1 n 1

?

2

)

? C ,则有:│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│; │ a1 ? a 2 ? ? ? a n │≤ a1 ? a 2 ? ? ? a n
?

14. 贝努利不等式 (1)设 xi ? ?1, i ? 1,2,? n, n ? 2 且同号,则

? (1 ? x ) ? 1 ? ? x
i i ?1 i ?1

n

n

i

(2)设 x ? ?1 ,则(ⅰ)当 0 ? ? ? 1 时,有 (1 ? x) ? 1 ? ?x ; (ⅱ)当 ? ? 1或 ? ? 0 时,有 (1 ? x)? ? 1 ? ?x ,上两式当且仅当 x ? 0 时等号成立。 不等式(1)的一个重要特例是 (1 ? x) n ? 1 ? nx( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 2) 15.艾尔多斯—莫迪尔不等式 设 P 为△ABC 内部或边界上一点,P 到三边距离分别为 PD,PE,PF,则

?

PA ? PB ? PC ? 2( PD ? PE ? PF ) 当且仅当△ABC 为正三角形,且 P 为三角形中
心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式 16. 外森比克不等式: 已知三角形的边长为 a,b,c, 其面积为 S, 求证 a ? b ? c ? 4 3S , 当且仅当 a=b=c
2 2 2

时取等号

其他不等式综合问题 例 1: (第 26 届美国奥数题)设 a、b、c∈R+, 求证:

1 1 1 1 ? 3 3 ? 3 3 ? 3 a ? b ? abc b ? c ? abc c ? a ? abc abc
3

推广 1:设 a、b、c、d∈R+,求证: ?

1 1 ? a 3 ? b 3 ? c 3 ? abcd abcd

推广 2:设 ai∈R+(i=1、2、3,…,n),求证: ?

n

1
i?k n ? ai ? ? ai i ?1 n

i ?1

?

1 ? ai
i ?1 n

例 2:设 x、y、z∈R+,求证:

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1. y 2 ? z 2 ? yz z ? x 2 ? zx x ? y 2 ? xy

推广 1:设 ai∈R+,(I=1,2,3,…,n)求证: ?

n

a in
k ?i

i ?1

? a ? ? ak
n k k ?i

? 1.

推广 2:设 xyz∈R+,求证:
x n ?1 y n ?1 z n ?1 3 ? n ?1 n ? n ?1 n ? n ?1 n n ?1 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 n?2 y ? y z ? y z ? ??? ? z z ? z x ? z x ? ? ? ?x x ? x y ? x y ? ??? ? y

例 3:设 x、y∈(0,1) ,求证:

1 1 2 。 (9) ? ? 2 2 1 ? xy 1? x 1? y

推广 1:xi∈(0,1)(i=1、2、3,…,n),求证: ?

1 n ? n n i ?1 1 ? x i 1 ? ? xi
n i ?1

推广 2:xi∈(0,1),(i=1、2、3,…,n),求证: ?

n 1 1 ?? . 2 i ?1 1 ? x i ?1 1 ? x i x i ?1 i n

推广 3:xi∈(1,+∞),(i=1、2、3,…,n),求证: ?

n 1 1 ?? . (xn+1=x1) 2 i ?1 1 ? x i ?1 1 ? x i x i ?1 i n

例 4.已知 a,b,c,m 为正数.求证:

a b c a?m b?m c?m . ? ? ? ? ? b c a b?m c?m a?m

2 2 2 例 5.设正数 x,y,z,a,b,c 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)= x ? y ? z 的

1? x

1? y

1? z

最小值.

例 6.设 n 是给定的正整数,且 n≥3,对于 n 个实数 x1,x2,…,xn,记|xi-xj|(1≤i<j≤n)的最小 值为 m.若 x12+x22+…+xn2=1,试求 m 的最大值

例 7.设 n 是一个固定的整数,n≥2 (Ⅰ)确定最小的常数 c 使得不等式

1? i ? j ? n

? xi x j ( xi ? x j ) ? c(? xi ) 4 对所有的非负实数 x1,x2,…,xn 都成立;(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的
2 2 i ?1

n

常数 c,确定等号成立的充要条件。

例 8. (2007 年 CMO 试题 5) 设有界数列 {a n }( n ? 1) 满足 a n ? 求证: a n ?

2 n ? 2006

?

k ?n

ak 1 ? , n ? 1,2,3? k ? 1 2n ? 2007

1 , n ? 1,2,3,? n

相关练习: 1.设 a, b, c ? R
?

且 abc ? 1, 求证 a ? b ? c ? a ? b ? c .
2 2 2 3 3 3

2.设 xi ? 0, (i ? 1,2,..., n).

?x
i ?1

n

i

? 1, 求证: ?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?

?
i ?1

n

xi .

n ?1

3.已知 a, b, c 为满足 a ? b ? c ? 1 的正数,求证:

1 1 1 27 ? ? ? . a ? bc b ? ca c ? ab 4

4. 若 x, y, z 均大于 ? 1,求证

J?

1? x2 1? y2 1? z2 ? ? ? 2. 2 2 1? y ? z 1? z ? x 1? x ? y2

5. 已知正数 a1 , a2 ,......, an ,b1 , b2 ,......, bn 满足条件: a1 ? a2 ? ...... ? an ? b1 ? b2 ? ...... ? bn ? 1 求
2 2 an a12 a2 ? ? ...... ? 的最小值。 a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

6. 设 x, y, z 为正数,且 3x ? 4 y ? 5z ? 1 ,求

1 1 1 的最小值。 ? ? x? y y?z z?x

7. 设 a, b, c, d ? R , abcd ? 1 求证

?

1 1 1 1 ? ? ? ?2 a(b ? 1) b(c ? 1) c(d ? 1) d (a ? 1)

8. 设正数 a, b, c, x, y, z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b, bx ? ay ? c ,
2 2 2 求函数 f ( x, y, z ) ? x ? y ? z 最小值

1? x

1? y

1? z

9. 证明:对任意自然数 n ,成立不等式

2 3 4.... n ? 3.

10. 非负数 a1 , a 2 ,..., a n 中最大的一个为 a ,证明不等式
2 2 a12 ? a 2 ? ... ? a n a ? a 2 ? ... ? a n 2 a 2 ?( 1 ) ? n n 4

(并给出等号成立的条件)

11.已知 xi ? R, (i ? 1,2,..., n; n ? 2) 满足

? | xi |? 1, ? xi ? 0 ,求证 | ?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

xi 1 1 |? ? . i 2 2n

12.非负实数 a, d 和正数 b, c 满足 b ? c ? a ? d ,求证

b c 1 ? ? 2? . c?d a?b 2

13.若 x, y, z 为非负实数,满足 x ? y ? z ? 1 ,证明

0 ? xy ? yz ? zx ? 2 xyz ?

7 . 27

14. ?ABC 的三边 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,证明 5(a ? b ? c ) ? 18abc ?
2 2 2

7 . 3

15.设 x1 , x 2 ,..., x n 都是正数,求证

2 x2 x2 x12 x 2 ? ? ... ? n ?1 ? n ? x1 ? x 2 ? ... ? x n . x 2 x3 xn x1

16. 设实数 x, y, z 都不等于 1,xyz ? 1 , (1) 求证:

x2 y2 z2 ? ? ? 1; ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ( z ? 1) 2

(2)证明:存在无穷多组三元有理数组 ( x, y, z ) 使得上式等号成立。

2 2 2 xn ?1 xn x2 x2 1 17. 个正数 x1 , x2 , ?, xn , n 它们的和是 1.求证: 1 ? ??? ? ? . x1 ? x2 x2 ? x3 xn ?1 ? xn xn ? x1 2

18.设整数 n ? 3. 非负实数 a1 , a 2 ,..., a n 满足 a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 2 , 求 a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1 ? a n 的最小值。 2 2 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a12

19.已知 x, y, z ? R , xyz ? 1, 且 x(1 ? z ) ? 1, y(1 ? x) ? 1, z (1 ? y) ? 1, 求证 2( x ? y ? z ) ?

?

1 1 1 ? ? ? 3. (怎样利用条件 xyz ? 1. ) x y z

20.设 a, b, c, d 为正实数,且满足 ab ? bc ? cd ? da ? 1 , 求证:
a3 b3 c3 d3 1 ? ? ? ? . b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c 3

21.已知 n ? N

?

且 n ? 2 ,求证: 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 ? 2 . 7 2 3 4 2n ? 1 2n 2

22.设 u, v, w 均为正实数,满足条件 u vw ? v wu ? w vu ? 1 ,试求 u ? v ? w 的最小 值

23.已知正实数 a, b, c, d 满足 abcd ? 1 , a ? b ? c ? d ? 证明: a ? b ? c ? d ?

a b c d ? ? ? . b c d a

b c d a ? ? ? . a b c d ..

24.求函数 y ?

x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值。

25. 求证不等式: ? 1 ? (

?k
k ?1

n

2

k 1 ) ? ln n ? . 2 ?1

26.设 a ? b ? c 是直角三角形的三边长,求最大常数 K , 2 2 2 使得 a (b ? c) ? b (c ? a) ? c (a ? b) ? Kabc 对于所有的直角三角形都成立

课后练习: (一)代数不等式讨论题 1.求证:

n 1 1 1 ? 1? ? ??? n ? n( n ? 2) 2 2 3 2 ?1

2.求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? (n ? Z ? ) 2 n 2 3 n

3.若 0 ? a, b, c

? 1 ,求证:

a b c ? ? ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 1 b ? c ?1 c ? a ?1 a ? b ?1

? a b c 4.已知 a, b, c ? R ,求证: a b c ? (abc)

a ?b ? c 3

5.设 a ? b ? c ? d
2 2 2
4 4

2

? 1 ,求证:

(a ? b) ? (a ? c) ? (a ? d ) 4 ? (b ? c) 4 ? (b ? d ) 4 ? (c ? d ) 4 ? 6

6.设 a

? 1, n ? Z , n ? 2 ,求证: n a ? 1 ? a ? 1
n

7.设 x 2 ? y 2 ? 1 ,求证: x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2

8.设 a

? b ? 0, n ? Z , n ? 1 ,求证: n a ? n b ? n a ? b

9.设 {ai }(i

? 1,2,?) 是互不相同的正整数序列,证明: ? ai 7 ? ? ai 5 ? 2(? ai 3 ) 2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

? ? 10.已知 ai ? R , i ? 1,2? n, p ? Z ,求证:

a1

p ?1 p

a2

?

a2

p ?1 p

a3

???

a n?1 an

p ?1 p

?

an

p ?1 p

a1

? a1 ? a 2 ? ? ? a n

11.设 ai

? 0, i ? 1,2,? n, ,且 ? ai ? 1 ,求证: ? (ai ?
n i ?1

n

i ?1

1 2 1 2 ) ? (n ? 1) 2 ai n

12.设 ai ? 0, i ? 1,2,? n, ,求证:

?a
i ?1

n

i

n

?

?a
i ?1

n

2 i

n

13.设 ai ? Z , i ? 1,2, ? n, ,且互不相等,求证:

?

1 n ai ? i ? ? i2 i ?1 i ?1

n

14.设 a, b, c ? R ,求证:

?

a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

15.设 a, b, c ? R ,求证: abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b)

?

16.设 0 ? ai ? a(i ? 1,2,3,4) ,求证:

a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 a1a 2 ? a 2 a3 ? a3 a 4 ? a 4 a1 ? ?2 a a2

17.求证:从任意三个正数中总能选出两个数 x, y ,使得 0 ? x ? y ? 1 成立
1 ? xy

18.设{ a n }是满足 1 ? a0 ? a1 ? ? ? a n ? ? 的实数序列,而{ bn }由下列定义的实数序
n ? 列: bn ? ? (1 ? a k ?1 ) 1 ,求证: ?n ? Z 有 0 ? bn ? 2 成立 ak ak k ?1

19.设 x, y, z ? R ,求证: ( x

2

? y 2 ? z 2 )[( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 ? ( xy ? yz ? zx) 2 ]

? ( x ? y ? z ) 2 [( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( xy ? yz ? zx)] 2

20.已知 0

? a ? 1, x 2 ? y ? 0 ,求证: log a (a x ? a y ) ? log a 2 ? 1
8

21.已知 a, b ? R ? ,

? n 1 1 ? ? 1 ,求证: ?n ? Z , (a ? b) a b

? a n ? b n ? 2 2 n ? 2 n?1

22.设 x0

? 5, x n ?1 ? x n ?

1 ,求证: 45 ? x1000 ? 45.1 xn

23.设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, x2 ? x3 ? x4 ? x1 ,求证: ( x1

? x2 ? x3 ? x4 ) 2 ? 4 x1 x2 x3 x4

24.已知 v ? R

?

, u ? [? 2 , 2 ] ,求证: (u ? v) 2 ? ( 2 ? u 2 ? ) 2 ? 8

9 v

25.设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2

? R ,满足 a1 ? 0, a 2 ? 0, a1c1 ? b1 , a 2 c2 ? b2 , 2 求证: (a1 ? a 2 )(c1 ? c 2 )(b1 ? b2 )
2 2

26.设 n ? Z , n ? 2, x1 , x 2 ? x n 为正数,并且

?x

i

? 1 ,求证: ?

xi 1 ? xi

?

?

xi

n ?1

(二)几何不等式讨论题 1.在 ? ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,P、Q 在 AB 边上,求证:

S ?PQR S ?ABC

?

2 9

2.设 a, b, c 为 ? ABC 三边长,求证: (a ? b ? c) 2 ? 4(ab ? bc ? ca)

3.求证:在 ? ABC 中,

aA ? bB ? cC ? ? a?b?c 3

4. ? ABC 三边长分别是 a、b、c,面积为 S,其内一点 P 到三边距离分别为 x、y、z,试 求 xyz 的最大值

5.? ABC 三边长分别是 a、b、c,面积为 S,求证:a 4 ? b 4 ? c 4 ? 16 S 2 ? (a ? b) 4 ? (b ? c) 4 ? (c ? a) 4

6. ? ABC 三边长分别是 a、b、c,求证: a 2 b(a ? b) ? b 2 c(b ? c) ? c 2 a(c ? a) ? 0

7.给出 ? ABC 极其内部一点 P,直线 AP、BP、CP 分别交对边于 M、N、Q,证明,三 个比值 AP/PM,BP/PN,CP/PQ 中至少有一个不大于 2,也有一个不小于 2

8. 在 ? ABC 的三边 AB、 、 上, BC CA 分别取与顶点不重合的三点 M、 、 证明: LAM、 K L, ?

? MBK、 ? KCL 中至少有一个的面积不大于 ? ABC 的面积的 1/4

9.设 P 是 ? ABC 内一点,从 P 向 BC、CA、AB 做垂线,垂足分别为 D、E、F,找出所 有使

BC CA AB 为极小值的 P 点 ? ? PD PE PF

10.设 ABCD 为一凸四边形,它的三个边 AB、AD、BC 满足 AB=AD+BC,四边形内距离 CD 为 h 的地方有一点 P,使得 AP=h+AD,BP=h+BC,证明: 1 ?
h 1 AD ? 1 BC

11. ? ABC 中设 AB、 、 上高分别为 ha , hb , hc , 在 BC CA 内切圆半径为 r , 求证 ha ? hb ? hc ? 9r

12.在 ? ABC 中,a,b,c 为三边长, p ? 1 (a ? b ? c) ,r 为内切圆半径,求证: 2

( p ? a) ?2 ? ( p ? b) ?2 ? ( p ? c) ?2 ? r ?2

13.已知某四面体有且仅有一条棱长大于 1,证明该四面体的体积 V

?

1 8

(三)三角不等式讨论题 1.在 ? ABC 中,求证:

3 ? cos A ? cos B ? cosC ? 1 2

cos ? , (sin ? ) cos ? , (cos? ) sin ? 的大小关系 2.设 ? ? (? , ? ) ,求 (cos? ) 4 2

3.设 ? , ? , ? 是一锐角三角形的三个内角,求证: sin? ? sin ? ? sin ? ? tg? ? tg? ? tg? ? 2?

4.在 ? ABC 中,求证:2sinAsinBsinC

? sin 2 A(sin B ? sin C ? sin A) ? ? sin 2 B(sin C ? sin A ? sin B) ? sin 2 C (sin A ? sin B ? sin C )

5.设 0 ? x ? y ? z ? ? ,证明:
2

?
2

? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

6.在 ? ABC 中,证明: sin A sin B sin C ? 1
2 2 2 8

7.在锐角 ? ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ? 2

8. 设 P 为 ? ABC 中内一点,若 ?PAB ? ? , ?PBC ? ? , ?PCA ? ? , 证明: sin ? sin ? sin ? ? 1
8


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