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四川省成都外国语学校2013届高三9月月考 数学理




成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题
数 学 (理科) 试 题 试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准 考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑

。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中。只有一项 是符合题目要求的。 1. 若 集 合 A ? { ? 1 , 1} B ? { 0 , 2 } 则 集 合 { z | z ? x ? y , x ? A , y ? B } 的 子 集 的 个 数 为 ( , , A.8 B. 7 2.下列命题正确的是( ). A.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;
? ? ? ? ? ? ? ?

)

C. 3
? ?

D.

2
? ?

B. a ? b 的充要条件是 a ? b ? 0
? ?

C. 若 a 与 b 的夹角是锐角的必要不充分条件是 a ? b ? 0 ; D. a // b 的充要条件是 a ? ? b 3. 已知三条不重合的直线 m 、 n 、 l ,两个不重合的平面 ? 、 ? ,有下列命题: ①若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? ; ②若 l ? ? , m ? ? ,且 l ∥ m ,则 ? ∥ ?
? ? ? ?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ? ? , ? ? ? = m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两 顶点, M, N 将椭圆长轴四等分, 若 O, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( ) A、3 B、2 C、 3 D、 2

·1·



5、如右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A、16 B、24 C、34 D、48 6 如果数列 a 1 ,
a2 a1



a3 a2

,…,

an a n ?1

,…是首项为 1,公比 ? 2 的

等比数列,则 a 5 等于( A.32 B.64
1 2

) C.-32
1 3
2 2

D.-64

7、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 的值是() A、-3 B、- C、 D、2

8. 曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为( ) A. ? ? 2 sin ? 9. 已知 f ? x ? ? a B.
x?2

? ? co s ?

C.

? ? 2 co s ?
2

D. ? ? 2 cos ?

, g ? x ? ? log a x ? a ? 0, a ? 1 ? ,若 f ? 4 ? ? g ? ? 4 ? ? 0 ,则 y= f
y 1 o 1 2 x
C

? x ? ,y= g ? x ? 在

同一坐标系内的大致图象是 y

y 1 -1 x o 1 2

y 1
??? ?

1 -1 o 1 2 x

-1

-1

x o 1 2
??? ?

A D 10. 在 三 棱 锥 P ? A B C 中 , 若 B O 是 底 面 ABC 内 部 一 点 , 满 足 O A ? 2 O B ? 4 O C ? 0 , 则

????

?

V P ? AOB V P ? AOC

?(

)
3 2
5 3
/

A.

B. 5

C. 2

D.

11. .设函数 f ( x ) 是定义在 (0, ? ? ) 的非负可导的函数,且满足 xf ( x ) ? f ( x ) ? 0 ,对任意的正数
a , b ,若 a ? b ,则必有(

) B. b f ( a ) ? a f ( b ) C. a f ( a ) ? f ( b ) D. b f ( b ) ? f ( a )

A. a f ( b ) ? b f ( a )
x

12. 已知函数 f ( x ) ? e ? x ,对于曲线 y ? f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判 断:① ? A B C 一定是钝角三角形 ② ? A B C 可能是直角三角形 ③ ? A B C 可能是等腰三角形 ④ ? A B C 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是( )A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④

第Ⅱ卷
·2·



二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4,共 16 分) 13.设 a , b ? R , a ? b i ? 14.已知 co s(? ? ? ) ?
11 ? 7i 1 ? 2i

,则 a ? b ? =_______. ( i 为虚数单位)
1 2 , 则 lo g

1 3

, co s(? ? ? ) ?

5

(tan ? ? tan ? ) ? _________.

15.若实数 x,y 满足 ? y ≥ ?

? 2 x ? y ≥ 0, x,

且 z ? 2 x ? y 的最小值为 4,则实数 b 的值为______

? y ≥ ? x ? b, ?

3 ? 4 ? 8 | x ? |,1 ? x ? 2 ? ? 2 16. 已知定义在 [1, ?? ) 上的函数 f ( x ) ? ? ,给出下列结论: 1 x ? f ( ), x ? 2 ? ? 2 2
n ? ①函数 f ( x ) 的值域为 [0 , 4 ] ;②关于 x 的方程 f ( x ) ? ( ) ( n ? N ) 有 2 n ? 4 个不相等的实根;③当

1

2

[2

n ?1

, 2 ], n ? N 时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S ,则 S ? 2 ;④存在 x 0 ? [1, 8] ,
n

?

使得不等式 x 0 f ( x 0 ) ? 6 成立。其中你认为正确的所有结论的序号为____. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos
2

?x
2

? cos( ? x ?

?
3

), (其中 ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? 。

(Ⅰ)求 ? 的值,并求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,若 f ( A ) ? ?
? ABC 的面积为 6 3 ,求 ? ABC 的外接圆面积。
1 2 , c ? 3,

18、 (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5(单位: ? g/m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高, 就代表空气污染越严重:
3

某市 2012 年 8 月 8 日——9 月 6 日 (30 天) 对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得数据后得到如下条形图: (I)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (II)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布列和数
·3·



学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知正三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 各棱长都为 a ,P 为线段 A1 B 上的动点.
B1

A1 C1

P

(Ⅰ)试确定 A1 P : P B 的值,使得 P C ? A B ;
A B C

(Ⅱ)若 A1 P : P B ? 2 : 3 ,求二面角 P ? A C ? B 的大小;

20.(本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? (1 ? x ) 2 ? ln(1 ? x ) 2 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
e
2 (3)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? x ? a 在 [0, 2 ] 上恰有两个零点,求实数 a 的取值范围。

1

21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F(1,0) ,且点(-1,

2 2

)在椭圆上。 (I)求椭

圆 C 的标准方程; (II) 已知动直线 l 过点 F, 且与椭圆 C 交于 A, 两点, B 试问 x 轴上是否存在定点 Q, 使得 Q A ? Q B ? ? 恒成立?若存在 ,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由。
??? ??? ? ? 7 16

22.己知函数 f ( x ) ? lo g 3 N 的中点。

3x 1? x

, M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 是 f ( x ) 图像点的两点, 横坐标为

1 2

的点 P 是 M,

(1)求证: y1 ? y 2 的定值; ( 2 ) 若
Sn ? ( 1 n f )?? 2 n n? f( ? ) 1 ? f n (若 n?

·4·



?1 ,n ? 1 ?6 ? an ? ? ( n ? N *) ,Tn 为数列{ a n }前 n 项和,若 T n ? m ( S n ? 1 ? 1) 对一 1 ? , n ? 2, ? 4 ( S n ? 1)( S n ? 1 ? 1) ?

切 n∈N*都成立,试求实数 m 的取值范围 (3)在(2)的条件下,设 b n ?
17 52
1 4 ( S n ? 1 ? 1)( S n ? 2 ? 1) ? 1

, Bn 为数列{ b n }前 n 项和,

证明: B n ? 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C

。 数学试题(理科)参考答案:

3 B

4 B

5 A

6 A

7 D

8 D

9 B

10 C

11 A

12 B

二、填空题: 13.___8____; 三、解答题:

14.___-2______;

15.________3____;16.___①③_________

? ABC 的外接圆半径等于

a 2 sin A

?

7 3

?

7 3 3

则 ? ABC 的外接圆面积等于

49 ? 3

………(12 分)

·5·



19. 【法一】 (Ⅰ) P C ? A B 时, P 在 A B 上的射影 D . 连结 C D .则 A B ? 平面 P C D , A ?D 当 作 ∴ B C ∴ D 是 A B 的中点,又 P D // A A1 ,∴ P 也是 A1 B 的中点,即 A1 P : P B ? 1 . 取 AB 的中点 D ? , 连接 C D ? 、P D ? .∵ ? A B C 为正三角形, C D ? ? A B . ∴
P D ? // A1 A



反之当 A1 P : P B ? 1 时, 由于 P 为 A1 B 的中点时,

∵ A1 A ? 平面 A B C ,∴ P D ? ? 平面 A B C ,∴ PC ? AB .……6′(Ⅱ)当 A1 P : P B ? 2 : 3

时,作 P 在 A B 上的射影 D . 则 P D ? 底面 A B C .作 D 在 A C 上的射影 E ,连结 P E ,则 PE ? AC . ∴ ? D E P 为 二 面 角 P ? A C ? B 的 平 面 角 . 又 ∵ P D // A A1 , ∴
BD DA ? BP PA 1
PD DE

?

3 2

,∴ A D ?

2 5

a .∴

D E ? A D ? sin 6 0 ?

?

3 5

a

,又∵

PD A A1

?

3 5

,∴ PD ? a .∴ ta n ? P E D ?
5

3

?

3 ,∴ P ? AC ?B 的大

小为 ? P E D ? 60 ? .…12【法二】以 A 为原点, A B 为 x 轴,过 A 点与 A B 垂直的直线为 y 轴, A A1 为 z
, 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 如图所示, P ? x , 0, z ? , B ? a ,00 设 则

? 、A1 ? 0, 0, a ? 、C ? ?

?a ?2

,

3a 2

? ,0 ? ? ?

.

(Ⅰ)由 C P ? A B ? 0 得 ? x ? ?
?

??? ??? ? ?

?

a 2

,?

3a 2

? , z ? ? ? a , 0, 0 ? ? 0 ? ?

,即 ? x ?
?

?

a? 1 ? ? a ? 0 ,∴ x ? a ,即 P 为 A1 B 的 2? 2

中点,也即 A1 P : P B ? 1 时, PC ? AB .…………4′ (Ⅱ)当 A1 P : P B ? 2 : 3 时, P 点的坐标是
3a ? ? 2a , 0, ? ? 5 5 ? ?

.



?? m ? 3, ? 3 , ? 2

?

?

.



?? ??? ? 3a ? ? 2a m ? A P ? 3, ? 3 , ? 2 ? ? , 0, ??0 5 5 ? ?

?

?



·6·


?? ???? ?a m ? A C ? 3, ? 3 , ? 2 ? ? , ?2 ?

?

?

3a 2

? ,0 ? ? 0 ? ?

.∴ m 是平面 P A C 的一个法向量.又平面 A B C 的一个法向量为

??

?? ? ?? ? ? m ?n 1 n ? ? 0, 0,1 ? . co s ? m , n ? ? ?? ? ? 2 m ? n

,∴二面角 P ? A C ? B 的大小是 6 0 ? .……12 分

20.

·7·



·8·



·9·




bn ?

3


1


?


1

S n ?1 ?
?

n 2

, S n?2 ?
1 ?

n ?1 2
1









4 ( S n ? 1 ? 1)( S n ? 2 ? 1) ? 1

( n ? 2 )( n ? 3) ? 1

n?2

n?3

B n ? a1 ? (

1 4

?

1 5

)?(

1 5

?

1 6

)?? ? (

1 n?2

?

1 n?3

) ?

1 13

?

1 4

?

1 n?3

?

17 52

·10·


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