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北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学试题


北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2017.1

A 卷 [必修 模块 4]
题号 分数 一 二 17

本卷满分:100 分 三 本卷总分 18 19

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 如果 ? 是第三象限的角,那么( (A) sin ? ? 0 (B) cos ? ? 0 ) (C) tan ? ? 0 (D)以上都不对

2. 若向量 a ? (1, ?2) , b ? ( x, 4) 满足 a ? b ,则实数 x 等于( (A) 8 (B) ?8 (C) 2

) (D) ?2

3. 若角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 tan ? ? ( (A)

) (C)

4 3

(B) ?

4 3

3 4

(D) ?

3 4

π 4. 函数 f ( x) ? sin( ? x) 是( 2



π (A)奇函数,且在区间 (0, ) 上单调递增 2

π (B)奇函数,且在区间 (0, ) 上单调递减 2

π (C)偶函数,且在区间 (0, ) 上单调递增 2

π (D)偶函数,且在区间 (0, ) 上单调递减 2

5. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的图象(



π 对称 4 π (C)关于直线 x ? 对称 2
(A)关于直线 x ?
高一数学第一学期期末试卷

π 对称 4 π (D)关于直线 x ? ? 对称 2
(B)关于直线 x ? ?
第 1 页 共 10 页

6. 如图, 在 △ ABC 中, 点 D 在线段 BC 上, 且 BD=2DC, 若 AD ? ? AB ? ? AC , 则 (A)

????

??? ?

??? ?

? ? ( ?



1 2

(C)2

1 3 2 (D) 3
(B) B

A

D

C

7. 定义在 R 上,且最小正周期为 π 的函数是 ( (A) y ? sin | x | (B) y ? cos | x |

) (C) y ?| sin x | (D) y ?| cos 2 x |

8. 设向量 a, b 的模分别为 2 和 3,且夹角为 60? ,则 | a + b | 等于 ( (A) 13 (B) 13 (C) 19

) (D) 19

9. 函数 y ? 2 2 sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0, 0 ? ? ? π ) 的图象的一部分如图所示, 则 (



π , 8 π (B) ? ? , 8 π (C) ? ? , 4 π (D) ? ? , 4
(A) ? ?

3π 4 π ?? 4 π ?? 2 3π ?? 4

??

y
2 2

O
?2 2

2

6

x

10. 如图,半径为 1 的 ? M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发, 绕着点 O, 顺时针方向旋转到 OB, 在旋转的过程中, OC 交 ? M 于点 P,记 ?PMO ? x ,弓形 PNO (阴影部 分)的面积 S ? f ( x) ,那么 f ( x ) 的图象是( y y y ) A y C P N O B M

π π 2
O

π π 2 π
(A)

π
2π x O

π

2π x

O

π
(B)

π
(C)

2π x

O

π
(D)

2π x

高一数学第一学期期末试卷

第 2 页 共 10 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11. 若向量 a ? (?1 , 2) 与向量 b = ( x, 4) 平行,则实数 x =______.

1 12. 若 ? 为第四象限的角,且 sin ? ? ? ,则 cos ? ? ______; sin 2? ? ______. 3
13. 将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移

π 个单位,所得图象对应的函数表达式为______. 4

14. 若 a , b 均为单位向量,且 a 与 b 的夹角为 120? ,则 a ? b 与 b 的夹角等于______. 15. 已知 sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,则 cos( x ? y ) ? _____. 3 5 π 5π 16. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,? ? (0,π)) 满足 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,给出以下四 6 6
个结论: 1 ○ 3 ○

? ? 3;
? 可能等于 3 π ; 4

2 ? ? 6 k , k ? N? ; ○ 4 符合条件的 ? 有无数个,且均为整数. ○

其中所有正确的结论序号是______.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ? ? (0, π) ,且 tan(? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值;

π 1 )?? . 4 3

(Ⅱ)求

sin ? ? cos ? 的值. 2 cos ? ? sin ?

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ?

π ). 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)若直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象无公共点,求实数 a 的取值范围.

高一数学第一学期期末试卷

第 3 页 共 10 页

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 , CD ? 1 ,

??? ? ???? ??? ? ??? ? BC ? a(a ? 0) ,P 为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? xAD , PB ? PC ? y ,则
得到函数 y ? f ( x) . (Ⅰ)求 f (1) 的值; D (Ⅱ)对于任意 a ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值. P A B C

B卷

[学期综合]


本卷满分:50 分

题号 分数

一 6 7 8

本卷总分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x || x |? 1} ,则 A ? (?U B) ? _____.

? x ?2 , x ? 0, 2.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (a) ? 2 ,则实数 a ? ?ln x, x ? 0,

.

3.定义在 R 上的函数 f (x)是奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数, f (3) ? 0 ,则不等式

f ( x) ? 0 的解集为_____.
? x ? 1? ? x ? 4.函数 f ( x) ? ? (其中[x]表示不大于 x 的最大整数,例 ? ? ? ? ( x ? N) 的值域为_____. ? 2 ? ?2?

如[3.15]=3,[0.7]=0.) 5. 在如图所示的三角形空地中,欲建一个面积不小于 200 m2 的 内接矩形花园(阴影部分) , 则其边长 x(单位:m)的取值 范围是______.
高一数学第一学期期末试卷 第 4 页 共 10 页

x A
30 m

30 m

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 4 (Ⅰ)若 f (a ) ?

x ?1 . x ?1

1 ,求 a 的值; 2

(Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论.

7. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 3x , g ( x) ?| x ? a | ?3 ,其中 a ? R . (Ⅰ)若函数 h( x) ? f [ g ( x)] 的图象关于直线 x ? 2 对称,求 a 的值; (Ⅱ)给出函数 y ? g[ f ( x)] 的零点个数,并说明理由.

8. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) 的定义域为 R,如果存在函数 g ( x) ,使得 f ( x)≥g ( x) 对于一切实数 x 都 成立,那么称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (?1,0) .
2

(Ⅰ)若 a ? 1 , b ? 2 .写出函数 f ( x) 的一个承托函数(结论不要求注明) ; (Ⅱ)判断是否存在常数 a, b, c ,使得 y ? x 为函数 f ( x) 的一个承托函数,且 f ( x) 为 函数 y ?

1 2 1 x ? 的一个承托函数?若存在,求出 a, b, c 的值;若不存在,说明理由. 2 2

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.
高一数学第一学期期末试卷 第 5 页 共 10 页

2017.1

1.C

2.A

3.D

4.D

5.B

6.A

7.C

8.C

9.B

10.A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ?2 12.

2 2, 4 2 ? 3 9
208 225

13. y ? cos(2 x ? 16. ○ 2 ○ 3

π ) ( 或 y ? ? sin 2 x ) 2

14. 150?

15. ?

注:第 16 题少选得 2 分,多选、错选不得分. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 tan(? ?

tan ? ? 1 1 π 1 ) ? ? ,得 ?? , 4 3 1 ? tan ? 3 2 tan ? 4 ? . 2 1 ? tan ? 3

………………3 分 ………………5 分 ………………8 分

解得 tan ? ? ?2 . 所以 tan 2? ?

(Ⅱ)由 tan ? ? ?2 ,得 cos ? ? 0 . 将分式

sin ? ? cos ? 的分子分母同时除以 cos ? , 2 cos ? ? sin ?
………………12 分



sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? ?? . 2 cos ? ? sin ? 2 ? tan ? 4

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? cos x ? cos( x ?

π ) 3 π π ? cos x ? (cos x cos ? sin x sin ) 3 3

………………2 分

?

1 3 cos2 x ? sin 2 x 2 4 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 4 4

………………3 分

?
?

………………4 分 ………………6 分

1 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 6 4 π π π π π 由 2kπ ? ≤2 x ? ≤2kπ+ ,得 kπ ? ≤x≤kπ+ , 2 6 2 3 6 π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [kπ ? ,kπ+ ], (k ? Z) . 3 6 π (Ⅱ)因为 sin(2 x ? ) ? [ ?1,1] , 6
高一数学第一学期期末试卷 第 6 页 共 10 页

………………8 分

所以函数 f ( x) ?

1 π 1 1 3 sin(2 x ? ) ? 的值域为 [? , ] . 2 6 4 4 4

………………10 分

因为直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象无公共点, 所以 a ? (??, ? ) ? ( , ??) . 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图,以点 B 为原点,以 AB,BC 所在的直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系, 则 B (0, 0) ,A(?2, 0) , C (0, a ) ,D(?1, a) ,AD ? (1, a) ,AB ? (2,0) ,BC ? (0, a) . ………………2 分

1 4

3 4

………………12 分

????

??? ?

??? ?

??? ? ???? ??? ? 由 AP ? xAD , 得 AP ? ( x, ax) .
所以 PB ? PA ? AB ? (2 ? x, ?ax) ,

y D P A B x C

??? ? ??? ? ??? ?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ………4 分 P C? P B ? BC ? ( 2 ? ,x a ? .) ax
所以 y ? PB ? PC ? (2 ? x)2 ? a2 x ? a2 x2 , 即 f ( x) ? (a ? 1) x ? (a ? 4) x ? 4 .
2 2 2

??? ? ??? ?

………………6 分 ………………7 分

所以 f (1) ? 1 . (注:若根据数量积定义,直接得到 f (1) ? 1 ,则得 3 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,知函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? (a ? 4) x ? 4 为二次函数,其图象开口向上,
2 2 2

且对称轴为 x ?

a2 ? 4 , 2(a 2 ? 1)

………………8 分

因为对称轴 x ?

a2 ? 4 (a 2 ? 1) ? 3 1 3 1 ? ? ? ? , x ? [0,1] , ……10 分 2 2 2 2(a ? 1) 2(a ? 1) 2 2(a ? 1) 2
………………12 分

所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 4 .

B卷

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. [?1, 0) 2. ?

2 2 或e 2

3. (?3, 0) ? (3, ??)

4. {0,1}

5. [10, 20]

注:第 2 题少解不得分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.
高一数学第一学期期末试卷 第 7 页 共 10 页

6.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由 f ( a ) ? log 4 解得 a ? ?3 . (Ⅱ)由函数 f ( x) ? log 4

a ?1 1 a ?1 ? ,得 ? 2, a ?1 2 a ?1 x ?1 x ?1 ? 0. 有意义,得 x ?1 x ?1

………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 1 ,或 x ? ?1} . 因为 f (? x) ? log 4

?x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? log 4 ( ) ? ? log 4 ? ? f ( x) , ?x ?1 x ?1 x ?1

所以 f (? x) ? ? f ( x) , 即函数 f ( x ) 为奇函数. 7.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由函数 f ( x) ? 3 , g ( x) ?| x ? a | ?3 ,
x

………………10 分

得函数 h( x) ? f [ g ( x)] ? 3| x ?a|?3 . 因为函数 h( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称, 所以 h(0) ? h(4) ,即 3 解得 a ? ?2 . (Ⅱ)方法一:由题意,得 g[ f ( x)] ?| 3 ? a | ?3 .
x
|a|?3

………………1 分

? 3|a ? 4|?3 ,
………………3 分

由 g[ f ( x)] ?| 3x ? a | ?3 ? 0 ,得 | 3x ? a |? 3 , 当 a≥3 时,
x x 由 3 ? 0 ,得 3 ? a ? 3 ,

………………5 分

所以方程 | 3x ? a |? 3 无解, 即函数 y ? g[ f ( x)] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时, 因为 y ? 3x ? a 在 R 上为增函数,值域为 (a, ??) ,且 ?3≤a ? 3 , 所以有且仅有一个 x0 使得 3x0 ? a ? 3 ,且对于任意的 x ,都有 3x ? a ? ?3 , 所以函数 y ? g[ f ( x)] 有且仅有一个零点; 当 a ? ?3 时,
高一数学第一学期期末试卷 第 8 页 共 10 页

………………6 分

………………8 分

因为 y ? 3x ? a 在 R 上为增函数,值域为 (a, ??) ,且 a ? ?3 , 所以有且仅有一个 x0 使得 3x0 ? a ? 3 ,有且仅有一个 x1 使得 3x1 ? a ? ?3 , 所以函数 y ? g[ f ( x)] 有两个零点. 综上,当 a≥3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 有且仅有一个零点;当 a ? ?3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 有两个零点. 方法二:由题意,得 g[ f ( x)] ?| 3 ? a | ?3 .
x

………………10 分

由 g[ f ( x)] ?| 3x ? a | ?3 ? 0 ,得 | 3x ? a |? 3 , 即 3x ? a ? 3 ,或 3x ? a ? ?3 , 整理,得 3x ? 3 ? a ,或 3x ? ?3 ? a . 1 考察方程 3x ? 3 ? a 的解, ○ 由函数 y ? 3x 在 R 上为增函数,且值域为 (0, ??) ,

………………5 分

得当 3 ? a ? 0 , 即 a ? 3 时, 方程 3x ? 3 ? a 有且仅有一解; 当 3 ? a≤0 , 即 a≥3 时,方程 3x ? 3 ? a 有无解; 2 考察方程 3x ? ?3 ? a 的解, ○ 由函数 y ? 3x 在 R 上为增函数,且值域为 (0, ??) , 得当 ?3 ? a ? 0 ,即 a ? ?3 时,方程 3x ? ?3 ? a 有且仅有一解;当 ?3 ? a≤0 , 即 a≥-3 时,方程 3x ? ?3 ? a 有无解. ………………9 分 ………………7 分

综上,当 a≥3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 没有零点; 当 ?3≤a ? 3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 有且仅有一个零点;当 a ? ?3 时,函数 y ? g[ f ( x)] 有两个零点. ………………10 分

注:若根据函数图象便得出答案,请酌情给分,没有必要的文字说明减 2 分. 8.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)答案不唯一,如函数 y ? 0 , y ? x 等. (Ⅱ)因为函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (?1, 0) ,
2

………………3 分

所以 a ? b ? c ? 0 .
高一数学第一学期期末试卷 第 9 页 共 10 页

1 ○

因为 y ? x 为函数 f ( x) 一个承托函数,且 f ( x) 为函数 y ? 数, 所以 x≤f ( x)≤ x ?
2

1 2 1 x ? 的一个承托函 2 2

1 2

1 对 x ? R 恒成立. 2
2 ○ ………………5 分

1 ,即 f (1) ? a ? b ? c ? 1 . 所以 1≤f (1)≤
由○ 1 ○ 2 ,得 b ?

1 1 ,a ? c ? . 2 2
1 1 x? ?a. 2 2
2

………………6 分

所以 f ( x) ? ax ?
2

由 f ( x)≥x 对 x ? R 恒成立,得 ax ?

1 1 x ? ? a≥0 对 x ? R 恒成立. 2 2
………………7 分

当 a ? 0 时,得 ?

1 1 x ? ≥0 对 x ? R 恒成立,显然不正确; 2 2

?a ? 0, ? 2 当 a ? 0 时,由题意,得 ? 即 (4a ?1) ≤0 , 1 1 ? ? ? 4a( ? a)≤0, ? ? 4 2
所以 a ?

1 . 4
1 2 1 1 1 1 x ? ,得 x 2 ? x ? ≥0 , 2 2 4 2 4
2

………………9 分

代入 f ( x )≤

化简,得 ( x ? 1) ≥0 对 x ? R 恒成立,符合题意. 所以 a ?

1 1 1 ,b ? , c ? . 4 2 4

………………10 分

高一数学第一学期期末试卷

第 10 页 共 10 页



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