tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)


湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)},B={x||x﹣1|<1},则(?UA)∩B=() A.(﹣2,1) B.(﹣2,1] C.[1,2) D.(1,2) 2. (5 分)复数 z= A.第一象限 (i 为虚数单位)在

复平面内对应的点位于() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. (5 分)若 p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)若抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 x ﹣y =2 的右焦点重合,则 p 的值为() A. B. 2 C. 4 D.2 5. (5 分)一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此 三棱锥外接球的表面积为()
2 2 2

A.

B.9π

C . 4π

D.π

6. (5 分)设 a=( ) A.a>b>c

,b=log B.a>c>b

2,c=log

3,则() C.b>c>a D.c>a>b

7. (5 分)已知直线 mx+y+m﹣1=0 上存在点(x,y)满足

,则实数 m 的取值

范围为() A.(﹣ ,1) B.[﹣ ,1] C.(﹣1, ) D.[﹣1, ]

8. (5 分)将函数 f(x)=

cos

2

+ sinx﹣

的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原

来的 ,再将所得图象向右平移 A.g(x)=cos ( + )

得到函数 g(x) ,则函数 g(x)的解析式为() C.g(x)=sin(2x﹣ ) D. g(x)=sin

B.g(x)=﹣sin2x

9. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径

的圆被直线 + =1 截得的弦长为 A.3 B. 2

a,则双曲线的离心率为() C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,

x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x3(x1+x2)+ A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1]

的取值范围是() C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1)

二、填空题(共 7 小题,每题 5 分,共 35 分) 11. (5 分)已知向量 满足| |= ,| |=2,| + |= ,则向量 与 夹角的余弦值为.

12. (5 分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为.

13. (5 分)在样本频率分布直方图中,样本容量为 160,共有 11 个小长方形,若中间一个小 长方形的面积等于其他 10 个小长方形面积和的 ,则中间一组的频数为.

14. (5 分)实数 x,y>0,且 x+2y=4,那么 log2x+log2y 的最大值是. 15. (5 分)记 x2﹣x1 为区间[x1,x2]的长度.已知函数 y=2 ,x∈[﹣2,a](a≥0) ,其值域为[m, n],则区间[m,n]的长度的最小值是. 16. (5 分)设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已知 b ﹣2b+c =0,则
2 2 |x|

?

的范围是.

17. (5 分)关于圆周率 π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和 查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值:先请 120 名同学, 没人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数 对(x,y)的个数 m;最后再根据统计数 m 估计 π 的值.假如统计结果是 m=34,那么可以估 计 π≈(用分数表示) .

三、解答题 18. (12 分)已知向量 =(sinx, sinx) , =(sinx,﹣cosx) ,设函数 f(x)= ? .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)+sin(2A﹣ =1,b+c=7,△ ABC 的面积为 2 ,求边 a 的长. )

19. (12 分)已知{an}中,a1=1,其前 n 项和为 Sn,且满足 an= (Ⅰ)求证:数列{ }是等差数列;



(Ⅱ)证明:S1+ S2+ S3+…+ Sn< .

20. (13 分)如图所示,矩形 ABCD 中,DA⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE,AC 和 BD 交于点 G. (Ⅰ)求证:AE∥平面 BFD; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣BFG 的体积.

21. (14 分)已知函数 (1)当 m=2 时,求 f(x)的极大值; (2)试讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性;

, (其中常数 m>0)

(3)当 m∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) ) , 使得曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围.

22. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,且点 P(1, )在椭

圆 C 上,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)过椭圆 C1: + =1 上异于其顶点的任一点 P,作圆 O:x +y = 的两条切线,切
2 2

点分别为 M,N(M,N 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m、n,证 明: + 为定值.

湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)},B={x||x﹣1|<1},则(?UA)∩B=() A.(﹣2,1) B.(﹣2,1] C.[1,2) D.(1,2) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 化简集合 A,B;求集合(?UA)∩B 即可. 解答: 解:A={x|y=ln(1﹣x)}=(﹣∞,1) , B={x||x﹣1|<1}=(0,2) , 故(?UA)∩B=[1,2) ; 故选 C. 点评: 本题考查了集合的化简与运算,属于基础题. 2. (5 分)复数 z= A.第一象限 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数在复平面内对应点的坐标得答案. 解答: 解:∵z= ∴复数 z= = ,

在复平面内对应的点的坐标为(1,2) ,位于第一象限.

故选:A. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数基本概念,是基础题. 3. (5 分)若 p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可. ? ? ? 解答: 解:由 p 是 q 的充分不必要条件知“若 p 则 q”为真,“若 q 则 p”为假, ? ? 根据互为逆否命题的等价性知,“若 q 则 p”为真,“若 p 则 q”为假, 故选:B. 点评: 本题考查四种命题的真假判断,充要条件的判断方法,考查基本知识的掌握情况.

4. (5 分)若抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 x ﹣y =2 的右焦点重合,则 p 的值为() A. B. 2 C. 4 D.2 考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点和双曲线的右焦点,可得 p 的方程,即可解得 p. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点为( ,0) ,
2

2

2

2

双曲线 x ﹣y =2 即

2

2



=1 的右焦点为(2,0) ,

由题意可得 =2,解得 p=4. 故选 C. 点评: 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,主要考查焦点坐标,考查运算能力,属于 基础题. 5. (5 分)一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此 三棱锥外接球的表面积为()

A.

B.9π

C . 4π

D.π

考点: 球的体积和表面积;简单空间图形的三视图. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,确定三棱锥的形状,设三棱锥外接球的半径为 r,则 r =(1﹣r) +(
2 2

),

2

求出 r,即可求出三棱锥外接球的表面积. 解答: 解:由题意,三棱锥的一个侧面垂直于底面,底面是等腰直角三角形,顶点在底面 中的射影是底面斜边的中点, 设三棱锥外接球的半径为 r,则 r =(1﹣r) +( ∴r= , ∴三棱锥外接球的表面积为 4 = ,
2 2

),

2

故选:A. 点评: 本题考查球和几何体之间的关系,本题解题的关键是确定三棱锥外接球的半径,从 而得到外接球的表面积.

6. (5 分)设 a=( ) A.a>b>c

,b=log B.a>c>b

2,c=log

3,则() C.b>c>a D.c>a>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=( ) >0>b=log 2=﹣log32>﹣1,c=log 3=﹣log23<﹣1,

∴a>b>c. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题.

7. (5 分)已知直线 mx+y+m﹣1=0 上存在点(x,y)满足

,则实数 m 的取值

范围为() A.(﹣ ,1) B.[﹣ ,1] C.(﹣1, ) D.[﹣1, ]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用直线直线 mx+y+m﹣1=0 与平面区域的关系,建 立条件关系确定 m 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 直线 mx+y+m﹣1=0 等价为 y=﹣m(x+1)+1,则直线过定点 D(﹣1,1) ,

要使直线 mx+y+m﹣1=0 上存在点(x,y)满足



则满足 A 在直线 mx+y+m﹣1=0 的上方,且 B 在直线 mx+y+m﹣1=0 的下方, 由 ,解得 ,即 A(1,2) ,



,解得

,即 B(1,﹣1) ,

则满足



即 故选:A

,得﹣ <m<1,

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的理解能力,利用数形结合是解决此类问 题的基本方法.
2

8. (5 分)将函数 f(x)=

cos

+ sinx﹣

的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原

来的 ,再将所得图象向右平移 A.g(x)=cos ( + )

得到函数 g(x) ,则函数 g(x)的解析式为() C.g(x)=sin(2x﹣ ) D. g(x)=sin

B.g(x)=﹣sin2x

考点: 二倍角的余弦;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由二倍角的余弦化简函数解析式, 由函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律即可得解. 解答: 解:∵f(x)= cos
2

+ sinx﹣

=

×

+ sinx﹣

=sin(x+

) , ) , )

∴其图象上所有点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 , 得到的函数解析式为: y=sin (2x+ 再将所得图象向右平移 + ]=sin(2x﹣ ) . 得到函数 g(x) ,则函数 g(x)的解析式为:g(x)=sin[2(x﹣

故选:C. 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,二倍角的余弦函数公式的应用, 属于基础题.

9. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径 a,则双曲线的离心率为() C. D.

的圆被直线 + =1 截得的弦长为 A.3 B. 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出圆心到直线的距离,利用以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 求出 a,c 的关系,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:由题意,圆心到直线的距离为 d= = , a,

∵以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 ∴2
4 2 2

a,

=

a,
2 2

∴2(c ﹣a b )=3a c , 4 2 2 2 2 2 ∴2c ﹣2a (c ﹣a )=3a c , 4 2 ∴2e ﹣5e +2=0, ∵e>1, ∴e= . 故选:D. 点评: 熟练掌握双曲线的性质和圆中弦长的计算、离心率计算公式是解题的关键.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,

x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,则 x3(x1+x2)+ A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1]

的取值范围是() C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 f(x)= 的图象如下,由图象可得 x1+x2=﹣2,x3x4=1;1

<x4≤2;从而化简 x3(x1+x2)+

,利用函数的单调性求取值范围.

解答: 解:作函数 f(x)=

,的图象如下,

由图可知,x1+x2=﹣2,x3x4=1;1<x4≤2; 故 x3(x1+x2)+ =﹣ +x4,

其在 1<x4≤2 上是增函数, 故﹣2+1<﹣ 即﹣1<﹣ +x4≤﹣1+2; +x4≤1;

故选 B. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题. 二、填空题(共 7 小题,每题 5 分,共 35 分) 11. (5 分)已知向量 . 满足| |= ,| |=2,| + |= ,则向量 与 夹角的余弦值为

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 把| + |= 解答: 解:由| |= ,即 ∴3+2× +4=5, 两边平方,然后代入数量积公式求得向量 ,| |=2,| + |= ,得 , 与 夹角的余弦值.

即 故答案为: .



点评: 本题考查平面向量的数量积运算,关键是对数量积公式的记忆与运用,是基础题.

12. (5 分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为



考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=1+ + +…+ 的值,计算不满足条件 S< 的最小 S 的值,可得答 案. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1+ + +…+ 的值, ∵S=1+ + + = ∴输出 S= 故答案为: . . < 满足条件,S=1+ + + + = > 不满足条件.

点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. 13. (5 分)在样本频率分布直方图中,样本容量为 160,共有 11 个小长方形,若中间一个小 长方形的面积等于其他 10 个小长方形面积和的 ,则中间一组的频数为 32.

考点: 频率分布直方图.

专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据频率和为 1,结合题意,求出中间一组的频率以及频数. 解答: 解:设中间一组的频率为 x,根据频率和为 1, 得:x+4x=1, 解得 x= ; ∴中间一组的频数为 160× =32. 故答案为:32. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率= 基础题目. 14. (5 分)实数 x,y>0,且 x+2y=4,那么 log2x+log2y 的最大值是 1. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 基本不等式;对数的运算性质. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出. 解:∵实数 x,y>0,且 x+2y=4, ,化为 xy≤2,当且仅当 x=2y= 时取等号. 的应用问题,是

则 log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1. 因此 log2x+log2y 的最大值是 1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性,属于基础题. 15. (5 分)记 x2﹣x1 为区间[x1,x2]的长度.已知函数 y=2 ,x∈[﹣2,a](a≥0) ,其值域为[m, n],则区间[m,n]的长度的最小值是 3. 考点: 函数的值域;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用.
|x|

分析: 先去绝对值原函数变成 y=

,所以可将区间[﹣2,a]分成[﹣2,0) ,
a

和[0, a], 所以求出每种情况的 y 的取值范围: x∈[﹣2, 0) 时, 1<y≤4; 而 x∈[0, a]时, 1≤y≤2 , 所以讨论 0≤a≤2,和 a>2 两种情况,并求出每种情况下函数的值域,从而求出区间[m,n]的 长度的最小值.

解答: 解:



∴①x∈[﹣2,0)时,



∴此时 1<y≤4; ②x∈[0,a]时,2 ≤2 ≤2 ; a ∴此时 1≤y≤2 ,则: 0≤a≤2 时,该函数的值域为[1,4],区间长度为 3; a a>2 时,区间长度为 2 ﹣1>3; ∴综上得,区间[m,n]长度的最小值为 3. 故答案为:3. 点评: 考查含绝对值函数的处理方法:去绝对值,指数函数的单调性,根据函数的单调性 求函数的取值范围,区间长度的概念,以及分段函数值域的求法,注意对 a 的讨论. 16. (5 分)设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已知 b ﹣2b+c =0,则
2 2 0 x a

?

的范围是



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示, 延长 AO 交外接圆于 D. 由于 AD 是⊙O 的直径, 可得∠ACD=∠ABD=90°, 于是 = =b ﹣b= =
2

, =

.可得 =
2 2

.再利用 c =2b﹣b ,化为

2

2

.由于 c =2b﹣b >0,解得 0<b<2.令 f(b) .利用二次函数的单调性即可得出.

解答: 解:设 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,故 O 是三角形外接圆的圆心 如图所示,延长 AO 交外接圆于 D. ∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD=∠ABD=90°. ∴ ∴ = = = = =b ﹣b=
2 2 2

, = =



?cos∠BAD

(∵c =2b﹣b ) .

2

2

∵c =2b﹣b >0,解得 0<b<2.

令 f(b)=

. .

∴当 b= 时,f(b)取得最小值 又 f(0)=0,f(2)=2. ∴ 即 故答案为 . 的取值范围是 .



点评: 本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单 调性等基础知识与基本方法,属于难题. 17. (5 分)关于圆周率 π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和 查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值:先请 120 名同学, 没人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数 对(x,y)的个数 m;最后再根据统计数 m 估计 π 的值.假如统计结果是 m=34,那么可以估 计 π≈ (用分数表示) .

考点: 模拟方法估计概率. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 由试验结果知 120 对 0~1 之间的均匀随机数 x,y,满足 ,面积为 1,两

个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y) ,满足 x +y <1 且

2

2

,x+y>1,面积



﹣ , 由几何概型概率计算公式, 得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,

二者相等即可估计 π 的值. 解答: 解:由题意,120 对都小于 l 的正实数对(x,y) ,满足 ,面积为 1,

两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y) ,满足 x +y <1 且

2

2

,x+y>1,面

积为

﹣ ,

因为统计两数能与 l 构成钝角三角形三边的数对(x,y) 的个数 m=34, 所以 = ﹣ ,所以 π= . = .

故答案为:

点评: 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题,也考查了几何概率的应用问题,是综合题. 三、解答题 18. (12 分)已知向量 =(sinx, sinx) , =(sinx,﹣cosx) ,设函数 f(x)= ? .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)+sin(2A﹣ =1,b+c=7,△ ABC 的面积为 2 ,求边 a 的长. )

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理,进而根据正弦函数的性 质确定函数的单调增区间. (2)根据(1)中函数的解析式,根据 f(A)+sin(2A﹣ 公式求得 bc 的值,利用余弦定理求得 a. 解答: 解: (1) 由题意得 f (x) =sin2x﹣ 令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, sinxcosx= ﹣ sin2x= ﹣sin (2x+ ) , )=1,求得 A,根据三角形面积

解得:kπ+

≤x≤kπ+

,k∈Z ,kπ+ ],k∈Z )+sin(2A﹣ )=1,

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ+ (2)由 f(A)+sin(2A﹣ 化简得:cos2A=﹣ , 又因为 0<A< ,解得:A= ,

)=1 得: ﹣sin(2A+

由题意知:S△ ABC= bcsinA=2

,解得 bc=8,

又 b+c=7,所以 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc(1+cosA)=49﹣2×8×(1+ )=25, ∴a=5 点评: 本题只要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象与性质,余弦定理的应用.

2

2

2

2

19. (12 分)已知{an}中,a1=1,其前 n 项和为 Sn,且满足 an= (Ⅰ)求证:数列{ }是等差数列;



(Ⅱ)证明:S1+ S2+ S3+…+ Sn< .

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列{ 数列; (Ⅱ)求出 Sn 的通项公式,利用放缩法进行证明不等式. }是等差

解答: 解: (Ⅰ)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 即 Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1, 则 ﹣ ,…(4 分)

,…(2 分)

从而{

}构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列.…(6 分) }构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ,

(Ⅱ)∵{ ∴

=1+2(n﹣1)=2n﹣1,即 Sn=

∴当 n≥2 时, Sn= = = ( ﹣ ) .…(9 分) ﹣ )< ﹣ .…(12 分)

从而 S1+ S2+ S3+…+ Sn<1+ (1

点评: 本题主要考查数列求和以及,等差数列的判断,根据数列的递推关系结合等差数列 的定义是解决本题的关键. 20. (13 分)如图所示,矩形 ABCD 中,DA⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE,AC 和 BD 交于点 G. (Ⅰ)求证:AE∥平面 BFD;

(Ⅱ)求三棱锥 C﹣BFG 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 FG,证明 FG∥AE,然后证明 AE∥平面 BFD. (2)利用 VC﹣BGF=VG﹣BCF,求出 S△ CFB.证明 FG⊥平面 BCF,求出 FG,即可求解几何体 的体积. 解答: (1)证明:由题意可得 G 是 AC 的中点,连结 FG, ∵BF⊥平面 ACE,∴CE⊥BF.而 BC=BE,∴F 是 EC 的中点,…(2 分) 在△ AEC 中,FG∥AE,∴AE∥平面 BFD.…(5 分) (2)解:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF,又 BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE.…(8 分) ∵AE∥FG.而 AE⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF.∵G 是 AC 中点,F 是 CE 中点, ∴FG∥AE 且 FG= AE=1.∴Rt△ BCE 中,BF= CE=CF= ∴S△ CFB= × × ,…(10 分)

=1.∴VC﹣BGF=VG﹣BCF= ?S△ CFB?FG= ×1×1= .…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,三角锥的体积的求法,考查转化思想 以及计算能力.

21. (14 分)已知函数

, (其中常数 m>0)

(1)当 m=2 时,求 f(x)的极大值; (2)试讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)当 m∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) ) , 使得曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题. 分析: (1)利用导数,我们可以确定函数的单调性,这样就可求 f(x)的极大值; (2)求导数,再进行类讨论,利用导数的正负,确定函数的单调性; (3)曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,意味着导数值相等,由此作为解题的突破 口即可. 解答: 解: (1)当 m=2 时,

(x>0)

令 f′(x)<0,可得 令 f′(x)>0,可得 ∴f(x)在 故

或 x>2; , 和(2,+∞)上单调递减,在 单调递增

(2) >0) ①当 0<m<1 时,则 ,故 x∈(0,m) ,f′(x)<0;

(x>0,m

x∈(m,1)时,f′(x)>0 此时 f(x)在(0,m)上单调递减,在(m,1)单调递增; ②当 m=1 时,则 ,故 x∈(0,1) ,有 恒成立,

此时 f(x)在(0,1)上单调递减; ③当 m>1 时,则 故 此时 f(x)在 , 时,f′(x)<0; , (m,1)上单调递减,在 时,f′(x)>0 单调递增

(3)由题意,可得 f′(x1)=f′(x2) (x1,x2>0,且 x1≠x2)



?

∵x1≠x2,由不等式性质可得 又 x1,x2,m>0 ∴ ?

恒成立,

对 m∈[3,+∞)恒成立



,则

对 m∈[3,+∞)恒成立 ∴g(m)在[3,+∞)上单调递增, ∴ 故

从而“

对 m∈[3,+∞)恒成立”等价于“



∴x1+x2 的取值范围为 点评: 运用导数,我们可解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值,正确求导是 我们解题的关键

22. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,且点 P(1, )在椭

圆 C 上,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围; (3)过椭圆 C1: + =1 上异于其顶点的任一点 P,作圆 O:x +y = 的两条切线,切
2 2

点分别为 M,N(M,N 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m、n,证 明: + 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由焦点坐标确定出 c 的值,根据椭圆的性质列出 a 与 b 的方程,再将 P 点坐标 代入椭圆方程列出关于 a 与 b 的方程,联立求出 a 与 b 的值,确定出椭圆方程即可; (2)设直线 l 方程为 y=kx+2,A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,联立 l 与椭圆方程,消去 y 得到关 于 x 的一元二次方程, 利用韦达定理表示出 x1+x2 与 x1x2, 根据∠AOB 为锐角, 得到 ? >

0,即 x1x2+y1y2>0,即可确定出 k 的范围; (3)由题意:确定出 C1 的方程,设点 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,N(x3,y3) ,根据 M,N 不在坐标轴上,得到直线 PM 与直线 OM 斜率乘积为﹣1,确定出直线 PM 的方程,同理可得 直线 PN 的方程,进而确定出直线 MN 方程,求出直线 MN 与 x 轴,y 轴截距 m 与 n,即可确 定出所求式子的值为定值. 解答: 解: (1)由题意得:c=1, 2 2 ∴a =b +1,

又因为点 P(1, )在椭圆 C 上, ∴ +
2

=1,
2

解得:a =4,b =3, 则椭圆标准方程为 + =1;

(2)设直线 l 方程为 y=kx+2,A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 联立 ,消去 y 得: (4k +3)x +16kx+4=0,
2 2

∵△=12k ﹣3>0,∴k > , ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ? , >0,即 x1x2+y1y2>0,
2

2

2

∵∠AOB 为锐角,∴

∴x1x2+(kx1+2) (kx2+2)>0,即(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 整理得: (1+k )?
2 2 2

+2k?

+4>0,即

>0,

整理得:k < ,即 <k < , 解得:﹣ <k<﹣ 或 <k< ;

(3)由题意:C1:

+

=1,

设点 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,N(x3,y3) , ∵M,N 不在坐标轴上,∴kPM=﹣ =﹣ ,

∴直线 PM 的方程为 y﹣y2=﹣

(x﹣x2) ,

化简得:x2x+y2y= ④, 同理可得直线 PN 的方程为 x3x+y3y= ⑤,

把 P 点的坐标代入④、⑤得



∴直线 MN 的方程为 x1x+y1y= , 令 y=0,得 m= ,令 x=0 得 n= ,

∴x1=

,y1=



又点 P 在椭圆 C1 上, ∴( 则 ) +3( +
2

) =4,

2

= 为定值.

点评: 此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,韦达定理,以及椭圆的 简单性质,熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键.


推荐相关:

湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)...


湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|y=ln(1﹣x)...


湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

.5 . 湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出...


湖北省襄阳五中2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

.5 . 湖北省襄阳五中 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出...


2016年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)

2016 年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是...


2014~2015学年度 最新 湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(二)文科数学试卷及答案

湖北省襄阳五中 2015 届高三年级五月模拟考试(二) 文科数学试题 命题人:马文俊 程玲 审题人:程玲 考试时间:2015 年 5 月 18 日 一、选择题: (本大题共10...


湖北省襄阳五中2015届高三5月高考模拟题(一)数学理

湖北省襄阳五中2015届高三5月高考模拟题()数学理_数学_高中教育_教育专区。湖北省襄阳五中 2015 届高三年级五月模拟考试(一) 理科数学试题考试时间: 2015 年 5...


湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(三)理科数学试题

湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(三)理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。湖北省襄阳五中 2015 届高三年级五月模拟考试(三) ②设 l , m 表示不同的...


高考试卷湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷

湖北省襄阳五中 2015 届高三年级五月模拟考试(二) 理科数学试题命题人:周敏 尤文娟 审题人:丁全华 考试时间: 2015 年 5 月 17 日一.选择题:本大题共 10 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com