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第一节 作差比较法


第一节 作差比较法
一 教学目标 1.理解作差比较法的本质 2.回忆小学、初中有关数学运算的知识 3.引起学生学习数学的兴趣 4.多角度的对数学问题进行分析 二 教学过程 作差比较法 如果: a ?b ? 0 ,则 a ? b 如果: a ?b ? 0 ,则 a ? b 如果: a ?b ? 0 ,则 a ? b 作差比较法是比较两个实数大小的重要方法 例 1 比较下列

各组数的大小 (1)

20 21 和 21 22

(2) ( x ? 1)( x ? 3) 和 ( x ? 1) 2 (3) (2 x ? 1)( x ? 2) 和 (2 x ? 1)( x ? 2) (4) x 2 ? y 2 ? 9 和 4( x ? y ) 分析与解答:我们可以利用作差比较法进行判断 (1) 分析与解答:

20 21 20? 22 ? 212 4 4 0 4 4 1 ? ? ? ? 21 22 21? 22 462 1 ?? ?0 462
? 20 21 ? 21 22

(2) 分析与解答:

( x ?1)(x ? 3) ? ( x ? 1)2 ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x2 ? 2x ? 1) ? ?4 ? 0 ?( x ?1)(x ? 3) ? ( x ? 1) 2
(3)分析与解答:

(2x ?1)(x ? 2) ? (2x ? 1)(x ? 2) ? 2x2 ? 3x ? 2 ? (2x2 ? 3x ? 2) ? 6x
本题减出的差 6x ,无法确定正负,所以这就需要我们进行分类讨论 ① 当 x ? 0 时,

(2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2)
② 当 x ? 0 时,

1

(2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2)
③ 当 x ? 0 时,

(2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? (2 x ? 1)( x ? 2) ? (2 x ? 1)( x ? 2)
(4)分析与解答:

x 2 ? y 2 ? 9 ? 4( x ? y) ? x 2 ? 4x ? 4 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ? 0 ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 4( x ? y)
2 本题需要对结果进行配方,配方之后我们可以利用 x ? 0 ,即一个实数的平方大于或等

于零这个特点进行判断。 对于配方首先同学们应当注意这是数学的基本运算之一,如何才能很好的配方,请同学 们要遵循下面两个步骤 ① 只有二次项系数为 1 的时候,才能进行配方,这是配方运算的大前提。 ② 在满足前提之后,要配一次项系数一半的平方
2 例如:我们要把二次三项式 x ? 6 x ? 10 配方。在配方的时候,请同学们先看看是否符合配

方的前提, 即二次项系数为 1, 本题明显是符合的, 本题一次项系数是 ? 6 , 它的一半是 ? 3 , 再平方等于 9,具体解答过程如下: x 2 ? 6x ? 10 ? x 2 ? 6x ? 9 ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? 1
2 再例如:将二次三项式 2 x ? 8 x ? 11 配方。本题很明显不符合配方运算的前提,我们要先

把 2 提出来,再进行配方。具体解答过程如下:

2 x 2 ? 8x ? 11 ? 2( x 2 ? 4 x) ? 11 ? 2( x 2 ? 4 x ? 4 ? 4) ? 11 ? 2( x ? 2) 2 ? 8 ? 11 ? 2( x ? 2) 2 ? 3
下面请同学们练习一下,把下面三个式子进行配方
2 ① x ? 8 x ? 10 ? 2 ② ? x ? 4x ? 5 ? 2 ③ 3x ? 36 x ? 100 ?

答案:① ( x ? 4)2 ? 6 ;② ? ( x ? 2)2 ? 1;③ 3( x ? 6)2 ? 8 例 2:假设 b ? a ? 0, m ? 0 ,求证: 分析与解答:利用作差比较法

a?m a ? b?m b

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) bm ? am (b ? a)m ? ? ? ? b?m b b(b ? m) b(b ? m) b(b ? m)

2

由于, b ? a ? 0, m ? 0 ,所以

(b ? a)m ?0 b(b ? m)



a?m a ? b?m b
当然,在证明这个不等式时,可以有这样的联想,假如 b 克糖水中有 a 克糖,那么这时

b 。当再加入 m 克糖时(只要糖水溶液还没有达到饱和状态) ,这时候 a a?m 糖水溶液浓度变为 ,很显然这时候糖水将会变甜,说明糖的浓度变大了,所以 b?m a?m a 这个生活中的小例子正好说明了这个不等式, 可以再想一想生活中还有什么例 ? 。 b?m b
候糖水溶液的浓度为 子,可以说明一个数学道理。这样数学的乐趣就体现出来了,学习数学就也不枯燥了。这一 点希望大家好好回味。

3


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