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第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案


3.8 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997) 第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于 1997 年 12 月举行. 【初赛试题】 1.乘夏利出租汽车,行程不超过 4 公里时,车费为 10.40 元,行程 大于 4 公里但不超过 15 公里时, 超出 4 公里部分, 每公里车费 1.60 元. 行 程大于 15 公里后,超出 15 公里的部分,每公里车费 2.40 元,途中因红 灯等原因而停车等候,每等候 5 分钟收车费 1.60 元,又计程器每半公里 计一次价,例如,当行驶路程 x(公里)满足 12≤x<12.5 时,按 12.5 公 里计价;当 12.5≤x<13 时,按 13 公里计价.等候时间每 2.5 分钟计一 次价,例如,等候时间 t(分钟)满足 2.5≤t<5 时,按 2.5 分钟计价;当 5≤t<7.5 时,按 5 分钟计价.请回答下列问题. (1)若行驶 12 公里,停车等候 3 分钟,应付多少车费? (2)若行驶 23.7 公里,停车等候 7 分钟,应付多少车费? (3)若途中没有停车等候,所付车费 y(元)就是行程 x(公里)的函数 y =f(x),画出 y=f(x)(0<x<7)的图象. 2.某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小,假设罐装饮 料筒为正圆柱体(视上、下底为平面),上下底半径为 r,高为 h.若体积 为 V,上下底厚度分别是侧面厚度的 2 倍,试问当 r 与 h 之比是多少时用 料最少? (你可以到市场上做一下调查,看看哪些罐装饮料大体上符合你的计 算结果.) 3. 中国人民银行前不久公布银行存款利率从 97 年 10 月 23 日起下调, 调整后的整存整取年利率如下表: 现有一位刚升入初一的学生,家长欲为其存 1 万元,以供 6 年后上大 学使用.若此期间利率不变,问采用怎样的存款方案,可使 6 年所获收益 最大?最大收益是多少? 4.有一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成, 如图 3—111 所示,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶 部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米,若行车道总宽度 AB 为 6 米, 请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米?(精确到 0.1 米) 5.“人口问题”是我国最大社会问题之一,估计人口数量和发展趋 势是我们制定一系列相关政策的基础,由人口统计年鉴,可查得我国从 1949 年至 1994 年人口数据资料如下: 试估计我国 1999 年的人口数. 6. 如图 3—107 所示, 有一条河 MN, 河岸的一侧有一很高建筑物 AB. 一 人位于河岸另一侧 P 处, 手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量 长度的皮尺(测量长度不超过 5 米). 请你设计一种测量方案(不允许过河),并给出计算建筑物的高度 AB 及距离 PA 的公式.希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少. 7.一房间的门宽为 0.9 米, 墙厚为 0.28 米.今有一家具其水平截 面如图 3—108,问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由). 8.现有一批长方体金属原料,其长宽高的规格为 12×3×3.1(长度 单位:米). 某车间要用这些原料切割出两种长方体,其长宽高的规格第一种为 3 ×2.4×1,第二种为 4×1.5×0.7.若这两种长方体各需 900 个,假设忽 略切割损耗, 问至少需多少块金属长方体原料?如何切割?此时材料的利 用率是多少?(计算到小数点后面 3 位) 9.改革开放以来,土地承包制成为基本政策,经常会遇到类似下面 的阿题.

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