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《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计


《函数 y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计
设计理念 新课程的教学中,注重信息技术与数学课程的整合,注重以学生为主体,教 师为主导的教学理念。本节课通过精心设计数学实验,创设实验情境,引导学生 通过实验手段,经历数学知识的建构过程,体验数学发现的喜悦,发展他们的创 新意识。倡导自主探究、动手实践等学习数学的方式,将传统意义下的“学习” 数学改变为“研究数学” ,使

学生的数学学习活动变的主动而富有个性。 教学分析 本节倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点作图法” 来揭示参数 φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,正确找出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的图象变换规律,并通过图象的变化过程,进一 步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数 性质的一个直观反映。 如何经过变换由正弦曲线来获取函数 y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过对参数 φ、ω、A 的分类讨论,让学生深刻认识到图像变换与函数解析式变换之间的内 在联系, 通过引导学生对由函数 y ? sin x 到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会到由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想。 三维目标 一、知识与技能 1.理解三个参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响; 2.掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。 二、过程与方法 1.通过学生自己动手画图像,使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要 求;通过在同一个坐标系内对比相关的几个函数图像,发现规律,总结提练,加 以应用; 2. 经历对函数 y ? sin x 的图象到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换规律的探索过程, 体会由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想;培养学生全面分析、抽象、概括

的能力;培养学生研究问题和解决问题的能力。 三、情感态度与价值观 1.通过对问题的自主探究,培养学生的独立意识和独立思考能力;通过小组 交流 ,培养学生的合作意识; 2. 在解决问题的难点时,培养学生解决问题抓主要矛盾的思维方式; 3. 在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引 发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观。 重点难点 教学重点: 用参 数思 想分层次、逐步 讨 论 φ 、 ω 、 A 变化时 对函数 y=Asin(ωx+φ) 的 图 象 的 形 状 和 位 置 的 影 响 , 掌 握 由 函 数 y=sinx 到 函 数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程。 教学难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识。 关键:理解三个参数 φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响。 教法学法 1、教学方法:开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价 2、学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 3、学法指导: (1)以探究问题为载体,从几个具体的、简单的例子开始,通过学生动手作 图实践,多媒体动画演示, 引导学生利用图形直观启迪思维,在自主探究、合 作交流中,完成由特殊到一般的思维飞跃. (2)让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,主动参与知识的发生、 发展过程,在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识,在探究过程中学习科 学研究的方法,在探究过程中培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能 力. 4、教学手段:运用学案导学,多媒体辅助教学构建学生自主探究的学习环 境。 教学用具:多媒体、实物投影仪 教学过程设计:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。 教学内容 师生活动
1

设计意图

一、创设情境,提出问题 问题 1、同学们,在平静 的湖面上忽 然吹过 一 阵 教师提出问题, 学生回 通过学生熟悉的实际生活问 微风,你会 看到什 么 现 答, 一名学生在黑板上 题 引 入 , 使 学 生 了 解 函 数 象?你能将 你观察 到 的 画出图形, 教师用多媒 y=Asin( ω x+ φ ) 在生产实践 现象用图形 画出来 吗 ? 体展示人浪图片。 教师 中 的 重 要 性 , 并 对 函 数 看到这个图 形你联 想 到 引导得出所画图形与 y=Asin( ω x+ φ ) 图象的特征 我们数学中 的那个 函 数 正弦曲线的关系, 引入 有一个直观的印象 , 激发学 图象? 问题 2、运动会开幕式上 的人浪形状与它类似 吗? 二、合作探究,自我尝试 问题:你认为应该怎样讨 学生思考讨论, 教师引 引导学生思考研究问题的方 论三个参数φ、ω、A 对 导总结: 先分别讨论参 法,初步建立起探索本节课 函数 y=Asin(ωx+φ)的 数φ、ω、A 对函数图 内容的程序与轮廓。 图象的影响? 象的影响, 再整合为对 函数 y=Asin(ωx+φ) 图像的整体考察。 探究一、 ? 对 函 数 学生动手画图, 思考讨 将学生置身于符合自身实际 课题。 生研究该函数图象的兴趣。 同时也体现数学来源于生活 的思想。

y=sin(x+ ? )的图象有什 论, 自主探究, 大胆猜 的学习活动中去,从自己的 么影响? 例 1 :画出函数 (x+
? ),x∈R 3

想。 教师用实物投影仪 经 验 和 已 有 的 知 识 基 础 出 y=sin 展示学生作品, 并用计 发,掌握五点作图法,以及

的简图。 算机演示作图过程, 以 利用平移变换法作出函数
? ) 3

并 探 究 它 的 图 象 与 及图象的动态变换过 y=sin(x+ ? )简图的方法。 引 y=sinx 图象的关系。 思考 1:一般地,函数 程。 导学生观察 y=sin (x+

的图象与 y ? sin x 图象间的变

y ? sin( x ? ? ) 的图象和函 学生思考、 讨论并给出 换 关 系 , 获 得 ? 对 函 数

数 y ? sin x 图像的关系是 回答,教师补充。
2

y=sin(x+ ? ) 的图象的影响

什么? 思考 2:一般地,函数

【 结 论 1 】: 函 数 的具体认识。
y ? sin( x ? ? ) 的 图 像 引导学生通过自己的概括认

y ? f ( x ? ? ) 的图象和函 可由函数 y ? sin x 的图 识 ? 对函数 y=sin(x+ ? ) 的

数 y ? f ( x) 图像的关系是 像向左 (? ? 0) ( ? ? 0 向 图象的影响。 并推广到 ? 对一 什么?
?

右 ) 平移 | ? | 个单位而 般的函数图像变换与函数解

练 习 1 : 已 知 函 数 得到。 这种变换称为平 析 式 变 换 之 间 的 关 系 的 影
y ? 3 sin(x ? ) 的图象为 C, 移变换。 5

响,经历“数学化” 、 “再创 造”的活动过程。体会由特 殊到一般的化归思想,渗透 数形结合的思想,让学生的

为了得到函数 y ? 3 sin x 的 图象,只要把 C 上所有的 点( )
? 个单 5 ? 个单 5

A 、向右平行移动 位 B 、向左平行移动 位 C、向右平行移动 位 D、向左平行移动 位

思维得到进一步的发展。为 学生思考、 讨论、 口答, 很好的解决本节课的重点奠 教师点评。 定基础。 一题两解,培养学生应用逆

2? 个单 5 2? 个单 5

向思维解决数学问题的思维 方式,巩固熟悉平移变换对 函数图像的影响,培养学生 灵活应用知识解决问题的能 力。

探究二、你能用上述方法 学生动手画图, 思考讨 在学生已有认知结构的基础
?x ? ? ) 来 研 究ω对 y ? sin(

论, 自主探究, 大胆猜 上再次提出问题,应用类比 想。 教师用实物投影仪 的 方 法 探 究 参 数 ? 对 函 数
y ? sin( ?x ? ? )

的图象的影响吗? 例
?

2 、 作 出 函 数 展示学生作品, 并用计

的图象的影响,

y ? sin(2 x ? ) 的简图,并 3

算机演示作图过程, 以 使得学生能够对所学习的方

探 究 它 的 图 象 与 及图象的动态变换过 法、知识有更加深刻的认识,
y ? sin(x ?

?
3

) 图象间的关

程。 学生思考、 讨论并给出

巩固已有的经验。

系。

思 考 1 : 一 般 地 , 函 数 回答,教师补充。
y ? sin( ?x ? ? )

的 图 象 和 函 【结论 2】 :
3

一般

应用类比的方法引导学生自

数 y ? sin(x ? ? )图象 的 关 系 地,函数 是什么?
y ? sin( ?x ? ? ) x ? R

己 概 括 认 识 ? 对 函 数
y ? sin( ?x ? ? ) 的图象的影响。

思 考 2 : 一 般 地 , 函 数 ( ? ? 0, ? ? 1 )的图象可 并推广到 ? 对一般的函数图
y ? f (?x) y ? f ( x)

的 图 象 和 函 数 以看作把
y ? sin(x ? ? )图象

像变换与函数解析式变换之 上所有 间的关系的影响,体会由特 殊到一般的化归思想,渗透

图像的关系是什

么?
?
5

点的横坐标缩短( ? ?1

练 习 2 : 已 知 函 数 时)或伸长( 0?? ?1 时) 数形结合的思想,让学生的
y ? 3 sin(x ? ) 的图象为 C, 到原来的

1

?

倍(纵坐

思维得到进一步的发展。

为 了 得 到 函 数 标不变) 而得到的。 这
1 ? 只 y ? 3 sin( x ? ) 的图象, 2 5

种变换称为周期变换。

要把 C 上所有的点 ( ) 巩固熟悉周期变换对函数图 像的影响,培养学生灵活应
1 2

A、 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B、 横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 C、 纵坐标伸长到原来的 2 学生口答,教师点评。 倍,横坐标不变 D、 纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变
1 2

用知识解决问题的能力。

探究三、类似的,你能研 学生独立或小组合作 学生独立或小组合作进行研 究 A 对 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的影响吗? 例 3 、 作 出 函 数 ? y ? 3 sin( 2 x ? ) 的简图, 3 并 探 究 它 的 图 象 与 ? y ? sin( 2 x ? ) 图象间的 3 关系。 思考 1:一般地,函数
4

进行研究, 教师适当指 究,教师适当指导。学生交 导。学生交流讨论结 流讨论结果,教师用实物投 果, 教师用实物投影仪 影仪展示学生作品,并用计 展示学生作品, 并用计 算机演示作图过程,以及图 算机演示作图过程, 以 象的动态变换过程。 及图象的动态变换过 在学生已有认知结构的基础 程。 上再次提出问题,应用类比 的方法探究参数 A 对函数

y ? A sin(?x ? ? ) 的 图 象 学生思考、 讨论并给出

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的影

?x ? ? ) 图 像 回答, 和 函 数 y ? sin( 教师强调语言的 响,使得学生能够对所学习

的关系是什么?

准确性。

的方法、知识有更加深刻的 认识,巩固已有的经验。

思 考 2 : 一 般 地 , 函 数 【结论 3】 :一般地,
y ? Af ( x) y ? f ( x)

的 图 象 和 函 数 函数
y ? A sin(?x ? ? ) ,
x ? R ( A ? 0, A ? 1) 的
?

图像的关系是什

应用类比的方法引导学生自 己概括认识 A 对函数
y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的影



练 习 3 : 已 知 函 数 图象可看作把
y ? 3 sin(x ? ) 的图象为 C, 5
y ? sin( ?x ? ? )

图象上所

响。并推广到 A 对一般的函 数图像变换与函数解析式变 换之间的关系的影响,体会

为 了 得 到 函 数 有点的纵坐标伸长
y ? 4 sin(x ?

?
5

) 的图象,只

(A>1 时)或缩短

要 把 C 上 所 有 的 点 (0<A<1 时)到原来的 由特殊到一般的化归思想, ( )
4 3

A 倍(横坐标不变)而 渗透数形结合的思想,让学 得到。因此,
y ? A sin( ?x ? ? ) , x ? R

A、 横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变 B、 横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 C、 纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变 D、 纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变

生的思维得到进一步的发 展。

3 4

的值域是 ?- A, A? ,最大 值为 A,最小值为 巩固熟悉振幅变换对函数图

4 3
3 4

-A. 这种变换称为振幅 像的影响,培养学生灵活应 变换。 用知识解决问题的能力。

学生口答,教师点评。

三、归纳整合、 抽象概括 问题 1: 通过前面的学习, 以具体的例子为载体 你能回答出函数 y=sinx 引导学生用准确的数 的图象经过 了哪些 图 象 学 语 言 描 述 由 函 数 变 换 可 以 得 到 函 数 y=sinx 的图象到函数 ? ? y ? 3 sin( 2 x ? ) 的 图 y ? 3 sin(2 x ? ) 的 图 象 3 3 象? 的变换过程, 教师用多 问 题 2 :你 能得出 函 数 媒体演示图象的动态
5

再层层推进 y ? A sin(?x ? ? ) 的 图 象 变化过程。 与 y=sinx 的图象之间的 推广到一般情况。 关系吗? 有效的数学学习过程,不能

结 论 : 一 般 地 , 函 数 单纯的模仿与记忆,数学思

结 论 : 一 般 地 , 函 数 y=Asin(ωx+φ)(其中 维的领悟和学习过程更是如 y=Asin( ω x+ φ )( 其 中 A>0, ω >0) 的图象 , 可 此。让学生在解题过程中亲 A>0, ω >0) 的 图 象 , 可 以 以看作用下面的方法 身经历和实践体验,通过师 看作用下面的方法得到 : 得到:先画出函数 y= 生互动学习,生生合作交流, 先画出函数 y=sinx 的图 sinx 的图象 ; 再把正 共同探究,发展思维,总结 象 ; 再 把 正 弦 曲 线 向 左 弦曲线向左(右)平移| 规律,得出结论,进一步体 ( 右 ) 平移 | φ | 个单位长 φ | 个单位长度 , 得到 会由简单到复杂,由特殊到 度 , 得 到 函 数 y=sin(x+ 函 数 y=sin(x+ φ ) 的 一般的化归思想,让学生的 φ ) 的图象;然后使曲线 图象; 然后使曲线上各 思维得到进一步的深化。 上各点的横 坐标变 为 原 点的横坐标变为原来 来的
1

?

倍,得到函数 的

1

?

倍 , (纵坐标不

y=sin( ω x+ φ ) 的图象; 变 ) 得 到 函 数 最后把曲线 上各点 的 纵 y=sin( ω x+ φ ) 的 图 坐标变为原来的 A 倍,这 象; 最后把曲线上各点 时 的 曲 线 就 是 函 数 的纵坐标变为原来的 y=Asin(ωx+φ)的图象. A 倍,(横坐标不变)

问 题 3 : 如 何 由 函 数 这时的曲线就是函数
y ? f ( x)

的图象得到函数 y=Asin( ω x+ φ ) 的图 的图象? 象。

y ? Af (?x ? ? )

四、知识整理,拓展深化 问题: (1)这节课你学到 学生小结,相互补充, 知识整理,凝炼提高,形成 了什么? ( 2 )你又掌握了哪些数 学思想方法? 五、布置作业,提高升华 1、阅读课本 P49-P53
6

教师强调。

系统,拓展深化

通过作业(1) ,使学生养成

2、书面作业: 必做:P57 (4) 选做:讨论 2 的性质 3、课后思考:由函数 y=sinx 的 图 象 到 函 数
y ? A sin( ?x ? ? )

先看书,后做作业的习惯.书 (3)、 学生课后独立思考完 面 作 业 的 布 置 实 行 弹 性 布 成。 (3)、(4) 置,使学生在完成基本学习 任务的同时,拓展自主发展 的空间。课后思考题起到承 上启下的作用,既是本节课 知识的灵活应用,又为下节 课的学习起到了铺垫,既发 展了学生的学习潜能,又激 发了学生的学习兴趣,促进 了学生的自主发展。

1、2

的图象还

有其他变换方法吗?

六、板书设计

课题 一、? 对 函数 y=sin(x+ ? )的图象的影响
?x ? ? ) 的图象的影响 二、ω对 y ? sin(

?x ? ? ) 的图象的影响 三、 A 对 y ? A sin( ?x ? ? ) 与函数 y=sinx 四、函数 y ? A sin(

的图象之间的关系

7


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