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2009届高三数学中档题训练(四)


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2009 届高三数学中档题训练(四)
31.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个 红球,n 个白球.两甲,乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4

个球中至少有 2 个红球的概率为

3 ,求 n. 4

32.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的 正切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。 2

· cos 33.设函数 f ( x) ? a b ,其中向量 a ? (m, 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,且 y ? f ( x) 的 1)
图象经过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

34.甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机,设经过该机打进的电话是
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打给甲、乙、丙的概率依次为

1 1 1 、 、 。若在一段时间内打进三个电话,且各个电话相 6 3 2

互独立。求: (Ⅰ)这三个电话是打给同一个人的概率; (Ⅱ)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率;

35 . 三 棱 锥 被 平 行 于 底 面 ABC 的 平 面 所 截 得 的 几 何 体 如 图 所 示 , 截 面 为 A1B1C1 ,

?BAC ? 90? ,A1 A ? 平面 ABC ,A1 A ? 3 ,AB ? 2 ,AC ? 2 ,AC1 ? 1 , 1
(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小. A1 B1 A B D

BD 1 ? . DC 2
C1

C

, 36 . 在 △ ABC 中 , a, b c 分 别 是 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 . 若 a ? 2,

C?

π , 4

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 2 5

37. 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球, 乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑 球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率;

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38.如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC
为 FA, FD 的中点

// ?

1 AD ,BE 2

// ?

1 AF ,G , H 分别 2

(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ) C , D, F , E 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB ? BE ,证明:平面 ADE ? 平面 CDE

39.已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? .

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40.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为

4 3 2 、 、 、 5 5 5

1 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

参考答案
2 2 C2 C2 1 1 1 31.解: (I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P( A) ? 2 ? 2 ? ? ? . C4 C5 6 10 60

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球”为 事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意,得

P( B) ? 1 ?

3 1 ? . 4 4

P( B1 ) ?

2 1 1 2 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C21? Cn 1 ? ; ? 2 ? 2? 2 n ) ? 1) C4 Cn? 2 C 4 Cn? 2 2 3 ( ? 2 n (

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P( B2 ) ?

2 2 n(n ? 1) C2 Cn ; ? 2 ? 2 C4 Cn? 2 6(n ? 2)(n ? 1)

所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 化简,得 7n2 ?11n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ?

2n2 n(n ? 1) 1 ? , ? 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4

3 (舍去) , 7

32.由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以

A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C(C,1,0) ,

D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 , , ,1 ) 2 2

所以

??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3,0,0), AF ? ( , ,1). 2 2

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),

??? ? ?m ? AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ?m ? AF ? 0, ?
? 3 x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2


z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1),

因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AFC, 故 又

??? ? BD 为平面 AFC 的一法向量.

??? ? BD =(- 3,3,0 ) ,

??? ? ??? ? m ? BD 2?3 15 ??? ? ? 所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m | ? | BD | 5 ? 12
因为 二面角 E-AF-C 为锐角,

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所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

b 33.解: (Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 3π ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?
2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2? ? ? . 2 C4 C5 6 10 60

34.解: (I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P( A) ?

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球”为 事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意,得

P( B) ? 1 ?

3 1 ? . 4 4

P( B1 ) ?

2 1 1 2 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C21? Cn 1 ? ; ? 2 ? 2? 2 n ) ? 1) C4 Cn? 2 C 4 Cn? 2 2 3 ( ? 2 n (

2 2 n(n ? 1) C2 Cn ; P( B2 ) ? 2 ? 2 ? C4 Cn? 2 6(n ? 2)(n ? 1)

所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 化简,得 7n ?11n ? 6 ? 0,
2

2n2 n(n ? 1) 1 ? , ? 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4

解得 n ? 2 ,或 n ? ?

3 (舍去) , 7
A1

35. (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0) B( 2,0) C(0,0) A (0, 3),C1 (01 3) , B1 0,, 0,, 2,, 1 0, , ,

z C1

??? 1 ??? ? ? ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC . 3

A B x D C y

?2 2 2 ? ? D 点坐标为 ? 0 ? 3 , ,? . 3 ? ? ?

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???? ? 2 2 2 ? ??? ? ???? , ,? , BC ? (? 2,0) AA1 ? (0, 3) . 0? ? AD ? ? 2,, 0, ? 3 3 ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ? BC?AA1 ? 0 , BC ?AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A ? AD ? A ,
? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
(Ⅱ)? BA ? 平面 ACC1 A ,取 m ? AB ? ( 2,0) 为平面 ACC1 A 的法向量, 0, 1 1 设平面 BCC1B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC ? n ? 0, 1 ? n ? 0 . CC

??? ?

??? ?

???? ?

?? 2l ? 2m ? 0, 3 ? ?? ? l ? 2m,n ? m, 3 ??m ? 3n ? 0, ?
1, 如图,可取 m ? 1 ,则 n ? ? 2, ? ? ? 3? ?, 3 ? ?

cos ? m,n ??
2

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ? ( 2) ? 0 ? 0
2 2 2

3 3
2 2

? 3? ( 2) ? 1 ? ? ? ? 3 ?
15 . 5

?

15 , 5

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arccos

4 3 36.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7 37. (Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球 均为红球”为事件 B .由于事件 A,B 相互独立,且
由正弦定理得 c ?
2 2 C3 1 C3 5 P( A) ? 2 ? , P( B) ? 2 ? , C7 7 C9 18

故取出的 4 个球均为红球的概率是

1 5 5 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? . 7 18 126
(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个 红球为黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事件 D .由于事件 C,D 互斥,且

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P(C ) ?

C1 C1 C2 2 C2 C1 C1 10 3 4 4 4 ? 2 ? , P( D) ? 2 ? 5 2 2 ? . 2 C7 C9 21 C7 C5 63

故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为

2 10 16 ? ? . 21 63 63 38. 由平面 ABEF ? 平面 ABCD , AF ? AB ,得 AF ? 平面 ABCD , P(C ? D) ? P (C ) ? P ( D) ?
以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A ? xyz (Ⅰ)设 AB ? a,BC ? b, BE ? c ,则由题设得

A? 0 , 0? , 0? ,a B
????

? ,, 0C ?,
??? ?

0a? b

?

, D 0 ,? , ? b

0 ? 2 ? , 0 c?, G , 0 ?c ,H 0 b 0c, , a E , , ?

,

所以 HG ? ? 0, b,0? , BC ? ? 0, b,0 ? 于是 HG ? BC

????

??? ?

又点 G 不在直线 BC 上 所以四边形 BCHG 是平行四边形。 (Ⅱ) C , D, F , E 四点共面。理由如下: 由题设知 F ? 0,0, 2c ? ,所以

??? ? ???? ??? ???? ? EF ? ? ?a,0.c ? , CH ? ? ?a,0.c ? , EF ? CH
又 C ? EF , H ? FD ,故 C , D, E , F 四点共面。 (Ⅲ)由 AB ? BE 得,所以 CH ? ? ?a,0, a ? , AE ? ? a,0, a ? 又 AD ? ? 0, 2b,0 ? ,因此 CH ? AE ? 0, CH ? AD ? 0 即 CH ? AE, CH ? AD 又 AD ? AE ? A ,所以 CH ? 平面 ADE 故由 CH ? 平面 CDFE ,得平面 ADE ? 平面 CDE 39.解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

????

??? ?

????

???? ??? ?

???? ??? ?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2

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又∵ cos ?? ? ? ? ?

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

2

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3

40. (Ⅰ) “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 解: 记 的事件为 Ai (i ? 1 2,4) , P ( A1 ) ? ,3, 则

4 , 5

3 2 1 , P ( A3 ) ? , P ( A4 ) ? , ? 该 选 手 进 入 第 四 轮 才 被 淘 汰 的 概 率 5 5 5 4 3 2 4 96 P4 ? P A A A A? (P ) (P 2A (P 3 ) (P4 ) ? ? ? ? . ( 1 2 3 )4 A ) A ? P 1 5 5 5 5 625 P ( A2 ) ?
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 3
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

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