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2005年全国高中数学联赛二试


2005 年全国高中数学联赛试题(二)
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆

称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为 旁心。 )

二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

三、 (本题满分 50 分)

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:

? f (k ) 的值.
k ?1

240

1

2005 年全国高中数学联赛试题(二)参考答案
一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为 旁心。 ) 证明: (1)先证 DE 过△ABC 的内心。 如图,连 DE、DC,作∠BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I,连 IC,则由 AD=AC, 得,AG⊥DC,ID=IC. 又 D、C、E 在⊙A 上, ∴∠IAC=

1 ∠DAC=∠IEC,∴A、I、C、E 四点共圆, 2 1 ∠ABC. 2 1 1 ∠ABC,∴∠ACI= ∠ACB,∴I 为△ABC 的内心。 2 2

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC,而∠CIE=2∠ICD, ∴∠ICD=

∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+

(2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(

1 1 ∠BAC+∠ADG)-∠ADI= ∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. 2 2

I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心

二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

解:由条件得, b(az ? cx ? b) ? c(bx ? ay ? c) ? a(cy ? bz ? a) ? 0 ,

2

即 2bcx ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2 2

?x ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,z ? . ,同理,得 y ? 2ac 2ab 2bc

? a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,
b2 ? c 2 ? a 2 , a 2 ? c2 ? b2 , a 2 ? b2 ? c 2 ,
故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,

? x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC ,问题转化为:在锐角△ABC 中,
求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )=

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? 的最小值. 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC

? 令 u ? cot A, v ? cot B, w ? cot C, 则 u, v, w ? R , uv ? vw ? wu ? 1,

且 u ? 1 ? (u ? v)(u ? w), v ? 1 ? (u ? v)(v ? w), w ? 1 ? (u ? w)(v ? w).
2 2 2

cos A ? ? 1 ? cos A

2

1?

u2 u2 ?1 u u2 ?1

?

u2 u 2 ? 1( u 2 ? 1 ? u )

?

u 2 ( u 2 ? 1 ? u) u2 ?1

? u2 ?

u3 u2 ?1

u2 ?

u3 (u ? v)(u ? w)

? u2 ?

u3 1 1 ( ? ), 2 u?v u?w

cos2 B v3 1 1 cos2 C w3 1 1 2 2 ?v ? ( ? ), ?w ? ( ? ). 同理, 1 ? cos B 2 u ? v u ? w 1 ? cosC 2 u?w v?w
1 u 3 ? v 3 v 3 ? w3 u 3 ? w3 1 ? f ? u 2 ? v 2 ? w2 ? ( ? ? ) ? u 2 ? v 2 ? w 2 ? [(u 2 ? uv ? v 2 ) 2 u?v v?w u?w 2
+ (v ? vw ? w ) ? (u ? uw ? w )] ?
2 2 2 2

1 1 (uv ? vw ? uw) ? . (取等号当且仅当 u ? v ? w ,此时, 2 2 1 1 a ? b ? c, x ? y ? z ? ), [ f ( x, y, z )] min ? . 2 2

三、 (本题满分 50 分)

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f (n) ? ? 1 . ?[{ n }]当n不为平方数 ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:

? f (k ) 的值.
k ?1

240

3

解:对任意 a, k ? N * ,若 k 2 ? a ? (k ? 1) 2 ,则 1 ? a ? k ? 2k ,设 a ? k ? ? ,0 ? ? ? 1,
2



1

{ a} ?

?

1

?

1 a ?k

?

a ? k 2k ? ? 2k 1 2k ? ? ? 1,?[ ]?[ ]. 2 2 2 a?k a?k a?k a ?k2 { a}

让 a 跑遍区间 (k 2 , (k ? 1) 2 )中的所有整数,则

k 2 ? a ?( k ?1) 2
( n ?1) 2

?

[

2k 1 2k ] ? ?[ ], {a} i i ?1

于是

?
a ?1

f (a) ? ?? [
i ?1 i ?1

n

2k

2k ??① ] i

下面计算

?[
i ?1

2k

2k ], 画一张 2k×2k 的表,第 i 行中,凡是 i 行中的位数处填写“*”号,则这行的 i

“*”号共 [

2k 2k 2k ] 个,全表的“*”号共 ? [ ] 个;另一方面,按列收集“*”号数,第 j 列中,若 j i i i ?1

有 T(j)个正因数,则该列使有 T(j)个“*”号,故全表的“*”号个数共

?T ( j) 个,因此 ?[
j ?1
i ?1

2k

2k

2k 2k ] = ?T ( j) . i j ?1

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6
n n 2k

1 *

2 * *

3 * *

4 * * *

5 *

6 * * *

*



? f (a) ? ??T ( j) ? n[T (1) ? T (2)] ? (n ? 1)[T (3) ? T (4)] ?? ? [T (2n ? 1) ? T (2n)]
i ?1 i ?1 j ?1

??② 由此,

? f (k ) ?? (16 ? k )[T (2k ? 1) ? T (k )] ??③
k ?1 k ?1

256

15

记 ak ? T (2k ? 1) ? T (2k ), k ? 1,2,?,15, 易得 ak 的取值情况如下: k 1 3 2 5 3 6 4 6 5 7 6 8 7 6 8 9 9 8 10 8 11 8 12 10 13 7 14 10 15 10

ak

4

因此,

? f (k ) ?? (16 ? k )ak ? 783??④
k ?1 k ?1

16 n

15

据定义 f (256) ? f (162 ) ? 0 , 又当 k ?{241 ,242,?,255 }, 设k ? 152 ? r

(16 ? r ? 30) ,
?

k ? 15 ? 152 ? r ? 15 ?

r r r , ? ? 2 15 ? r ? 15 31 15 ? r ? 15 30
2

r

1?

1 30 1 31 ] ? 1, k ? {241 ,242,?,255 } ??⑤ ? ? ? 2 ,则 [ r { 152 ? r } r { k}

从则

? f (k ) ? 783? ? f (k ) ? 783? 15 ? 768.
i ?1 i ?1

240

256

2005 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨

本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨, 供感兴趣的读者参考。 题目:设正数 a、 b、 c、x 、y、 z 满足 cy ? bz ? a ; az ? cx ? b;

bx ? ay ? c ,求函数

x2 y2 z2 的最小值。 f ( x, y, z ) ? ? ? 1? x 1? y 1? z
一.几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较平易,给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜, 殊不知,这是一个极大的误区,本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一: 由 Cauchy 不等式知 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 ? ? ? 1? x 1? y 1? z

( x ? y ? z) 2 u2 9 ? ? (记u ? x ? y ? z ) ? u ? 3 ? ?6 3? x ? y ? z 3?u u?3
到此,在 u>0 的情况下,力图使用函数 f ( x) ? x ?

1 的性质无法得到最小值。 x

思路二:考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系,于是,可根据三个条件等式容易求出 x、y、z 用 a、b、c 表达的式子:

x?

b2 ? c2 ? a2 ; 2bc

y?

c2 ? a 2 - b2 ; 2ca

z?

a 2 ? b2 - c2 2ab

5

因为 a、b、c;x、y、z 都是正数,所以,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0; b 2 ? c 2 - a 2 ? 0; c 2 ? a 2 - b 2 ? 0
即以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC,令 x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC, 从而,结 合 Cauchy 不等式有

cos2 A cos2 B cos2 C (cos A ? cos B ? cosC ) 2 f ( x, y, z ) ? ? ? ? 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 3 ? cos A ? cos B ? cosC


u ? c o sA ? c o sB ? c o s C ,则

f ( x, y, z ) ?

cos2 A cos2 B cos2 C u2 9 ? ? ? ? u ?3? ?6 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 3 ? u u?3
A B C sin sin ? 1 2 2 2 3 4 ? u ?3? 3? 2

因为 u ? cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? 4 sin

u ? cos A ? cos B ? cos C ?

3 ,∴ 2

到此,似乎胜利的曙光就在眼前,立刻想到在区间 ? 4, ? 内使用函数 f ( x) ? x ? 的性质,但 x ? 2? 也无法得到最小值,而此时的最大值正好与题目的最小值

?

9?

1

1 (由于函数 2

f ( x, y, z ) ?

1 cos2 A cos2 B cos2 C 0 ? ? 的对称性,可以猜测其最小值在 A=B=C=60 时达到 ) 2 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC

吻合,实际上,这是一条无用的信息(表明使用 Cauchy 不等式过当! ) ,它是答题人再次陷入不能自 拔的困境。 俗话说得好,失败是成功之母,上面的思路也昭示我们,对原式不能直接使用 Cauchy 不等式, 需要再对原式做更好的更有用的恒等变形,可能是正确的途径。 二.赛题的解答 为证明本赛题,我们先证明如下一个引理。 引理:在△ABC 中,求证:

tan 2

A B C A B C ? tan 2 ? tan 2 ? 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2



等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。 证明:用向量方法证明如下 设 i , j , k 是平面上的单位向量, 且 j 与k 成角为π -A, k 与i 成角为π -B, i 与 j 成角为π -C, 那么,

? ? ?

?

?

? ?

?

?

? A ? B ? C (i tan ? j tan ? k tan ) 2 ? 0 ,所以 2 2 2

6

A B C ? tan 2 ? tan 2 2 2 2 A B B C C A ? 2 tan tan cos C ? 2 tan tan cos A ? 2 tan tan cos B 2 2 2 2 2 2 A B C B C A ? 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) ? 2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) ? 2 2 2 2 2 2 C A B ?2 tan tan (1 ? 2sin 2 ) 2 2 2 tan 2
A B B C C A? ? ? 2? tan tan ? tan tan ? tan tan ? ? 2 2 2 2 2 2? ? A B C sin sin sin A B C 2 2 2 ? 4 sin sin sin ( ? ? ) B C C A A B 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? 4 sin sin sin ? A B C 2 2 2 2 ? cos cos cos 2 2 2 A B C ? 2 ? 8 sin sin sin . 2 2 2
注意到,在△ABC 中有熟知的等式: tan

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 . 2 2 2 2 2 2

从而①得证。 有了上面的引理,本题的解答就容易多了,下面看本题的解法。 解:同思路二得到,以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC, 令 x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC, 从而

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? sin 2 A 1 ? sin 2 B 1 ? sin 2 C f ( x, y , z ) ? ? ? ? ? ? C 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 A A B B C C 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? A B C 2 cos2 2 cos2 2 cos2 2 2 2 A A A A B B B B sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 ? A B 2 cos2 2 cos2 2 2

?

sin 2

C C C C ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 2 C 2 cos 2
7

3 1 A ? (tan2 ? tan2 2 2 2 3 1 A ? ? (tan2 ? tan2 2 2 2 3 1 A ? ? (2 ? 8 sin sin 2 2 2 1 ? 2 ?

B C A B C ? tan2 ) ? 2(sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 B C A B C ? tan2 ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 B C A B C sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2

等号成立的条件显然是 A=B=C=600 时达到,最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以, f ( x, y, z ) ?

1 x2 y2 z2 的最小值为 . ? ? 2 1? x 1? y 1? z
0

显然,在 ?A ? ?B ? ?C ? 60 时,等号成立,所以 f ( x, y, z ) 的最小值为 三.背景探索 早在 1994 年,华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题:

1 . 2

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? ? ? 在△ABC 中,是否有: ② 2 2 2 2 2 2 sin B ? sin C sin C ? sin A sin A ? sin B 2
后来,湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明:分两种情况 (1)当△ABC 为钝角三角形时,此时不妨设 A>90 , 于是 a ? b ? c ,
0

2

2

2

所以 再据

2 2 2 sin A?sin B?si n C ? 2?c o2 sB ?c o 2 s C ,∴ cos2 B ? cos2 C ? 1 ? cos2 A

sin A> sin B ,

sin A> sin C ,所以,

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 C ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 A ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 B ? cos2 C 1 ? ? 2 sin 2 A 2
即此种情况②得证。 (2)当△ABC 为非钝角三角形时,

sin 2 B ? sin 2 C ? 1 ? cos(B ? C ) cos(B ? C ) ? 1 ? cos A cos(B ? C ) ? 1 ? cos A ? 2 cos2
所以,

A 2

8

cos A cos A 1 ? sin A ? ? ? 2 sin B ? sin C 2 A 2 A 2 cos 2 cos 2 2 1 1 A A ? ? tan2 ? 2 sin 2 2 2 2 2
2 2 2 2

cos2

A A A A ? sin 2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 A 2 cos2 2

从而

co2 sA co2 sB co2 sC ? ? 2 2 2 2 2 2 si n B ?si n C si n C ?si n A si n A?si n B

?

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? A B C 2 cos2 2 cos2 2 cos2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (tan2 ? tan2 ? tan2 ) ? 2(sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
? 3 1 A B C A B C 1 ? (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2



即三角形为非钝角三角形时结论也成立,综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法, 不难知道, 今年的这道赛题无非是在 ②的第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序(并由此判断△ABC 为锐角三角形)罢了,即 今年的这道加试题可以看作是由解方程组(初中知识的要求) ,判断三角形种类、与求最值(高中知 识的要求)三个问题的简单合成(串联) 。 顺便指出,①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。 四.条件等式的几何解释 对比条件等式 cy ? bz ? a ; az ? cx ? b; 与△ABC 中的斜射影定理

bx ? ay ? c (注意 a、b、c、x、y、z 为正数)

c cos B ? b cos C ? a a cos C ? c cos A ? b b cos A ? a cos B ? c

以及余弦定理,可知,应有 x ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 , 2bc

y ? cos B ?

c2 ? a 2 - b2 , 2ca

z ? cosC ?

a 2 ? b2 - c2 , 从而,求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结 2ab

果。另外,有了上边的余弦定理结构,解答中的构造三角形法已经水到渠成了。

9


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