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2013-10-19数列单元复习题


数列单元复习题(一)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 . 在 正 整 数 100 至 500 之 间 能 被 11 整 除 的 个 数 为 ( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an2-1(n≥1),则 a1+a2+a3+a4+a5 等于 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2

3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的 值是 ( ) A.24 B.27 C.30 D.33 4.设函数 f(x)满足 f(n+1)= ( 2 f(n)+n 2 (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为

) A.95 B.97 C.105 D.192 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N*,则 n(n≥3)的最大 值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6 . 设 an = - n2 + 10n + 11 , 则 数 列 {an} 从 首 项 到 第 几 项 的 和 最 大 ( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项 7.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为 ( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 8.现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽 可 能 的 少 , 那 么 剩 余 钢 管 的 根 数 为 ( ) A.9 B.10 C.19 D.29 9.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4,a2+a5,a3
1

+a6,…是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 10.在等差数列{an}中,若 S9 =18,Sn =240,an - 4 =30,则 n 的值为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 11.已知 f(n+1)=f(n)- (n∈N*)且 f(2)=2,则 f(101)=_______. 4 12.在首项为 31,公差为-4 的等差数列中,与零最接近的项是_______. 13.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 14. 在-9 和 3 之间插入 n 个数, 使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列, 则 n=_____. 15.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项后余下的 10 项的平均值仍为 5,则抽取的是第_________项. 16.在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7 且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和, 若 Sn 取得最大值,则 n=_______.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12. (1)求通项 an;(2)求此数列前 30 项的绝对值的和.

2

18. (本小题满分 14 分)在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列 前多少项和最大.

19. (本小题满分 14 分)数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出 最小值.

3

20. (本小题满分 15 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动,甲第一分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇; (2)如果甲、乙到达对方起点后 立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m, 那么开始运动几分钟后第二次相遇?

21. (本小题满分 15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn
-1

1 =0(n≥2),a1= . 2

1 (1)求证:{ }是等差数列; (2)求 an 表达式; Sn

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.

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数列单元复习题(一)答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 91 11.- 4 12.-1 13.-110 14.5 15.6 16.9

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12. (1)求通项 an;(2)求此数列前 30 项的绝对值的和. 考查等差数列的通项及求和. 【解】 (1)a17=a1+16d,即-12=-60+16d,∴d=3 ∴an=-60+3(n-1)=3n-63. (2)由 an≤0,则 3n-63≤0 ? n≤21, ∴|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+a30) = (3 + 6 + 9 + … + 60 ) + ( 3 + 6 + … + 27 ) = (3+27) ×9=765. 2 18. (本小题满分 14 分)在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列 前多少项和最大. 考查等差数列的前 n 项和公式的应用. 【 解 】 ∵ S9 = S17 , a1 = 25 , ∴ 9 × 25 + 17× (17-1) d 2 n(n-1) 2 解得 d=-2,∴Sn=25n+ (-2)=-(n-13) +169. 2 由二次函数性质,故前 13 项和最大. 注: 本题还有多种解法.这里仅再列一种.由 d=-2, 数列 an 为递减数列. an=25+(n-1)(-2)≥0,即 n≤13.5 ∴数列前 13 项和最大. 19. (本小题满分 14 分)数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出 最小值.
5

(3+60) × 20 + 2

9× (9-1) d = 17× + 25 2

考查数列通项及二次函数性质. 【解】 (1)由 an 为负数,得 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,故 n=2 或 3,即数列有 2 项为负数,分别是第 2 项和第 3 项. (2)∵an=n2-5n+4=(n- 5 2 9 5 ) - ,∴对称轴为 n= =2.5 2 4 2

又∵n∈N*,故当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,最小值为 22-5×2+ 4=-2. 20. (本小题满分 15 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动, 甲第一分钟走 2 m, 以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇; (2)如果甲、乙到达对方起点后 立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m, 那么开始运动几分钟后第二次相遇? 考查等差数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意得 2n+ n(n-1) +5n 2

=70 整理得:n2+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去) ∴第 1 次相遇在开始运动后 7 分钟. n(n-1) (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有:2n+ +5n=3×70 2 整理得:n +13n-6×70=0,解得:n=15 或 n=-28(舍去) 第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟. 21. (本小题满分 15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn
-1 2

1 1 =0(n≥2),a1= . (1)求证:{ }是等差数列; (2)求 an 表达式; 2 Sn

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1. 考查数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2) 1 1 1 1 Sn≠0,∴ - =2,又 = =2 Sn S1 a1 Sn-1 1 ∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn 1 1 (2)由(1) =2+(n-1)2=2n,∴Sn= Sn 2n 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- 2n(n-1)

6

(n=1) ?2 1 n=1 时,a =S = ,∴a =? 1 2 ?-2n(n-1) (n≥2) 1
1 1 n

(3)由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴ b2 + b3 + … + bn2 = 1 (n-1) n
2 2

1 n

1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ 22 3 n 1×2 2×3

1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n n-1 n 在等差数列{an}中,已知 S10=100,S100=10,求 S110。 S10=5(a1+a10)=100 a1+a10=20 S100=50(a1+a100)=10 a1+a100=0.2 a100-a10=90d=-19.8 d=-0.22 a1+a110=a1+a100+10d=0.2+10*(-0.22)=-2 S110=55(a1+a110)=-2*55=-110 在等差数列 an 中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为多少 设首项 a,公差 d. (a+a+8d)*9/2=18 [a+a+(n-1)d]*n/2=240 a+(n-5)d=30 硬解之,可得 a=-50/3,d=14/3,n=15. 也有一种更好的方法: (a+a+8d)*9/2=18→a+4d=2 a+(n-5)d=30 两式相加,可得 2a+nd-d=32 对比[a+a+(n-1)d]*n/2=240→(2a+nd-d)*n=480 相除即得 n=480/32=15 注:事实上 S9=18 也就是 a5=18/9=2 在一个等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0 ,Sn 是数列{an}前 n 项和, 解:等差数列{an}中,满足 3a4=7a7 ∴ 3(a1+3d)=7(a1+6d)
7

4a1 + 33d=0 ③ 因为 a1>0,所以 d<0 那么取最大值的情况就是 sn 为数列所以正数项之和 所以要判断 an 为正数的时候 n 的取值 假设由下两式判断 an=a1+(n-1)d>0 ① a(n+1)=a1+n*d<0 ② 将③代入上述两式 d<0 ①式化为(n - 37/4 )d>0 -----》 n< 37/4 ②式化为 - 33/4 ) (n d>0 --------》 n>33/4 因此 8+1/4=33/4<n<37/4=9+1/4 故当 n=9 时 Sn 取最大值

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