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编拟平面几何竞赛题的几点思考


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编拟平面几何竞赛题的几点思考
安徽省怀宁县江镇中学(邮编 246142) 黄全福

在国内外各类数学竞赛中, 平面几何题占有重要的席位和相当的比例。 何以如此?乃是 因为就培养逻辑思维能力而言,大家一致公认还没有任何别的数学分支能够取代平面几何! 一度兴起的“新数学运动”企图用集合、映射、向量运算

等新的东西取代欧几里得几何;结果 呢?“即使不是完全失败,也绝对未获成功”(瑞典数学家戈丁语) ,就足以证明这一点。 1988 年第 1 期《数学通报》曾发表我的一篇长文“编拟几何题初探”,从探索逆命题、 改造陈命题、推广原命题、自编新命题等四个方面,比较系统地讨论了编拟几何题的做法。 从那以后的十多年,本人先后在《数学通报》 、 《中等数学》 、 《数学教学》等刊物上发表了 100 多道自编几何题; 《全国首届数学竞赛命题比赛》一书收录的 73 题(从 1200 多道参赛 题精选出来的)中,本人就占了 3 题;近三年国家集训队培训考试,共用过我编的 5 道几何 题。 时代在前进,命题要创新,本着与时俱进、推陈出新的精神,我越来越感受到奥赛中的 平面几何题,应该充分体现如下几个基本特点: 一是科学性,二是趣味性; 三是奇异性,四是探索性。 一、科学性 科学性不仅是编题的基本要求——题目要准确无误、 不出差错; 也是编题应当遵循的基本原 则,因为只有循序渐进,才能达到水到渠成的目的。我们来看下面两个例子。 例 1, 如图 1, △ABC 内接于圆, AF 是内角平分线, 延长 AF 交圆于 E, 作 FM⊥AB, FN⊥AC。 证明:四边形 AMEN 与△ABC 面积相等。 (’28IMO 题 2)

例 2,如图 2,△ABC 内接于圆,E 点在 BC 弧上、F 点在 BC 边上,满足∠BAE=∠CAF。 作 FM⊥AB、FN⊥AC。证明:四边形 AMEN 与△ABC 面积相等。
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这个例 2 我是怎样编成的呢?不妨用动态的观点来看图 1,视 AE、AF 为两条叠合的线段, 当 E 点在 BC 弧上运动(AE 顺时针) 、F 点在 BC 边上运动(AF 逆时针)时,只要满足 ∠BAE=∠CAF(图 2),就可达到两个图形而积相等的目的。当然,这仅仅是个猜想,猜想是不 能代替证明的。经过一番认真的研讨,本例(例 2)结论不但能够成立,而且还引出了许多 形态互异、各具特色的证法来(见《中等数学》2001 年 2 期) ,使我感到莫大的快慰。 二、趣味性 数学大师陈省身先生曾经说过:“数学好玩”,本人冒昧地补充一句:“竞赛有味”。并且将两 句话镶嵌成如下的一付对联: 数学好玩——打破砂锅问到底, 竞赛有味——不达目的岂罢休! 横批是:乐在其中 当你领略一下后面的两个例子后,你一定会感到什么是“好玩”、“有味”、“乐在其中”。 例 3、如图 3,正方形 ABCD 和正方形 A’B’C’D’是某个国家的同一地区按不同比例尺绘制的 地图。将它们如图所示的重叠起来。试证明:在小地图上只有这样的一点 O,它和下面的大 地图上与之正对着的点 O’都代表这个国家的同一地点。试用欧几里得作图法(只有圆规直 尺)定出 O 点的位置。 (美国第七届数学竞赛题)

例 4,如图 4,正方形纸片 ABCD 的边长等于 a. 平面内的两条直线 l1∥l2,它们之间的距 离也等于 a. 现将这块纸片平放在两条平行线上,使得 l1 与 AB、AD 都相交,交点是 E、F, l2 与 CB、CD 都相交,交点是 G、H。 设 ΔAEF 周长=m1,ΔCGH 周长=m2. 证明:不论怎样移动正方形纸片,m1+m2 总是一个
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定值。 (2003 年亚太地区数学竞赛题,本人提供)

仔细观察上述两题, 与其说是两道竞赛题, 倒不如说是两场游戏! 图 3 中的左图, 由于 ABCD 与 A’B’C’D’的对应边互相平行,可断为位似形,其位似中心就是所求的 O 点;而右图的两 个正方形对应边不平行, 如果确定了 O 点位置, 那么根据题意必定满足 ΔOAB∽ΔOA’B’ (进 而得到 ΔOBC∽ΔOB’C’、 ΔOCD∽ΔOC’D’、 ΔODA∽ΔOD’A’)这就是本题的精华和奥妙! 例 4 则是另一番景象, 仔细观察图 4, 根据已知, 连结 EH、 FG 得交点 O, 易断 O 点是 ΔAEF、 ΔCGH 的公共旁心;分别作出这两个三角形的旁切圆(它们是同心圆)后,马上就找到了解 题的途径。热心竞赛事业的同行,不妨对上述两题动手一试。 三、奇异性 数学不仅是锻炼思维的体操, 而且本身还体现着许多“美”, 有人将它归结为四种美: 对称美、 和谐美、简洁美、奇异美,是很有道理的。下面两题奇异而玄妙。刚接触,令人无从下手, 经过一番思考,解出后,感到其乐无穷,使人真正品尝到奇异美的滋味。 例 5,将六个圆形纸片叠放在一起,使得各圆圆心下面无垫的、上面无盖的(即六个圆心都 可以看见) 。然后用一枚针去扎。证明:不可能一次将六个圆片都扎中。 (北京市 1962 年高 三数学竞赛试题) 例 6,□ ABCD 内部有一点 P,如果 ΔPAB、ΔPBC、ΔPCD、ΔPDA 的外接圆都相等,则称 P 为“好点”。试问:□ABCD 内部的好点是否存在?是否唯一?证明你的论断。 ( 《中等数学》 杂志发表,本人自编) 认真分析例 5,见图 5,

图5
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假若一次将六个圆片都扎中,不妨设扎中的点为 O,显然 O 点同时在六个圆片的内部。记 六个圆片圆心为 Oi(i=1,2,…6),作出 ΔOO1O2,∵ O 在⊙O1 内部,∴ OO1<⊙O1 半径, ∵O2 在⊙O1 外部,∴O1O2>⊙O1 半径,∴ O1O2>OO1,同理 O1O2>OO2,

由 ΔOO1O2 立断∠O1OO2>60° 。类似地可得∠O2OO3>60° ,∠O3OO4>60° ,∠O4OO5 >60° ∠O5OO6>60° ∠O6OO1>60° 。六个角之和必大于 360° , 这是不可能的,命题得证。 把一个奇特的几何竞赛题转化为同一个三角形的边角关系。这就是本题的奇异美! 再看例 6,见图 6,

作出 PQ∥BC 后,易证:Δ PAB≌ΔQDC、Δ PBC≌ΔCQP、Δ PDA≌ΔDPQ。根据已知,如 果 Δ PAB、ΔPBC、Δ PCD、Δ PDA 的外接圆都相等,即 Δ QDC、Δ CQP、Δ PCD、ΔDPQ 的 外接圆都相等,显然 P、C、Q、D 四点必共圆,此时∠PAB=∠QDC=∠QPC=∠PCB;换 言之,只要满足∠PAB=∠PCB,P 就是一个“好点”。由于∠PAB 可大可小,这就决定了 P 点的位置存在无数种,即□ABCD 内部的“好点”存在无数个。

我们再问一句: P 点若在□ABCD 的外部, 仍然满足∠PAB=∠PCB。 此时 ΔPAB、 ΔPBC、 ΔPCD、 ΔPDA 的外接圆都相等吗? 四、探索性 探索一个命题的逆命题是否成立,是编拟几何竞赛题的一种有效方法。只有勤于思考,勇于 探索,大胆猜想,才能不断创新。有一个例子很能说明问题:我们知道“平行四边形一组对 边中点与两对角线交点,三点共线”;“梯形两底中点与两对角线交点,三点也共线。”反过 来,当一个凸四边形一组对边中点与两对角交点三点共线时,这个凸四边形是平行四边形 吗?是梯形吗?请看: 例 7,如图 7,凸四边形 ABCD 中,M、N 各是 AB、CD 的中点,AC 交 BD 于 P 点。若 M、 P、N 三点共线,试确定凸四边形 ABCD 的形状特征。 (发表于上海《数学教学》 ,本人自编)

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这是一个典型的开放型几何题,我们采用面积法处理之。在 PA 上任取一点 C’,过 C’作 C’D’ ∥ CD 交 PM 于 N’, 交 PB 于 D’, 显然 ΔPC’D’∽ ΔPCD, 由于 N 是 CD 中点, 易证 N’是 C’D’ 中点。连结 C’M、D’M。 ∵AM=MB,∴ SΔ PMA=SΔPMB; ∵C’N’=N’D’, ∴SΔPMC’=SΔPMD’。 两式相减,得到 SΔC’MA=SΔD’MB。 由于 MA=MB,C’、D’位于 AB 的同侧,可断 C’、D’到 AB 的距离必相等,故有 C’D’ ∥AB。 但 C’D’ ∥CD,∴AB∥CD。 (1) (2) 当 AB=CD 时,凸四边形 ABCD 是平行四边形; 当 AB≠CD 时,凸四边形 ABCD 是梯形。

故符合条件的凸四边形 ABCD 是平行四边形或梯形。 再来讨论一个难度甚大的几何竞赛题。 例 8,如图 8,凸四边形 ABCD 内接于⊙O,延长 AB、DC 得交点 E,延长 BC,AD 得交点 F,M、N 各是 AC、BD 的中点,且 AC>BD。 求证: (见《数学通报》2002 年 5-6 期) 我在处理该题时运用了三个引理: 引理 1:SΔEMN=SΔ FMN= 引理 2:若 AC 交 BD 于 P,则 OP⊥EF; 引理 3:如图 9,OP 为⊙O’直径,M、N 两点都在⊙O’上,ON>OM,OP 与 MN 所夹锐角 为 θ。 求证:

显然前两个引理是大家熟知的,而关键的引理 3,则是本人探索、创新的成果。证明如下: 易知 θ=x+y.(图 10)作 OH⊥MN 于 H,易得 ΔOPM∽ΔONH,Δ OPN∽ΔOMH。易证:ON2
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-OM2=HN2-HM2=MN. (HN-HM) 。 充分运用三个引理,我们终于攻克了例 8。 探索型、开放型、创新型是当今数学奥林匹克命题的走向和发展趋势。在这政通人和、气象 万千的伟大时代, 我坚信依靠全体同仁的奋发努力, 数学奥苑里的这朵奇葩——古老而年轻 的平面几何,必将是争芳吐艳、硕果满园!

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