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梯形的常用辅助线


梯形的常用辅助线 一、平移 1、平移一腰:从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。 [例 1] ,梯形 ABCD 的上底 AB=3,下底 CD=8,腰 AD=4,求另一腰 BC 的取值范围。 二、延长 即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形。

[例 3]在梯形 ABCD 中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=

2,BC=5,求 CD 的长。

三、作梯形的高 作一条高,从底边的一个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为直角三角形或矩形。 2、平移两腰:利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到同一个三角形中。 [例 2] ,在梯形 ABCD 中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F 分别是 AD、BC 的中点,连 接 EF,求 EF 的长。 [例 4]在直角梯形 ABCD 中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线 AC⊥BD,垂足为 F,

过点 F 作 EF//AB,交 AD 于点 E,求证:四边形 ABFE 是等腰梯形。

常做辅助线的图形 3、平移对角线:过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将已知条件转化到一个三角形中。 [例 3]如图 3,在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD= 5 作法 平移一腰,转化为三角形、平行四边形
B
A

图形
A D C
D C

2 ,求证:AC⊥BD。

E

作高,转化为两直角三角形和一矩形
B E F

E

延长两腰,转化为三角形 变式训练 1.已知等腰梯形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 互相垂直,上底 AD=11,下底 BC=19,求梯形 ABCD 的面积 平移一对角线,转化为三角形、平行四边形
B
A

A

D C

B
A D

C
D E

E

2.在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高 DH=12cm,求梯形 ABCD 的面积。

连接一顶点与一腰的中点,构造全等三角形
B

C

F

跟踪练习 1 等腰梯形的上底、下底、高之比为 1∶3∶1,则下底角的度数是( A 30° B 45° C 60° D 75° ) (2)求出梯形 ABCD 的高线 DE 的长。

A

D

2.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,CD=10 cm,BC=2AD,则梯形的面积为_______. 3.梯形的上底长为 5 cm,将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长 为 20 cm,那么梯形的周长为_______. 4 直角梯形的斜腰长为 12cm,这条腰和一底所成的角为 30°,则另一腰是________ 5 如图 4-84,ABCD 是一梯形,

B

E

C
DA的中点

AB // DC

,AB=5, BC ? 3 )

2,
10.已知四边形 ABCD,点 E F G H 分别是 AB BC CD (1)试判断四边形 EFGH 是什么图形 (2)若四边形 EFGH 是矩形,则四边形 ABCD 应该满足什么条件 若四边形 EFGH 是菱形,则四边形 ABCD 应该满足什么条件
A D O

?BCD ? 45? , ?CDA ? 60? ,DC 的长度是( 1 A. 8 ? 3 3 B.8 C. 9 D. 8 ? 3 2

6 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD 于点 O,∠BAC=60°,若 BC= 则此梯形的面积为( A.2 B. 1 ? ) C.

6,

3

2? 6

D. 2 ?

3
B

C 第9题图



7.梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴,P 为 MN 上一点,那么 PC+PD 的最小值为 8 如图 2,等腰等形 ABCD 中,AD∥BC,AD=5, ∠B=60°,BC=8, 且 AB∥DE, (1)求Δ DEC 的周长和面积 (2)求梯形的面积 11. 如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC, (1)若 E 是 AB 的中点,且 AD+BC=CD,则 DE 与 CE 有何位置关系? (2)若 E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点,则 DE 与 CE 有何位置关系?

(3)F 是 DC 的中点则 EF 与 AD BC有何数量关系试猜想并证明?

A

D

9 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=2,BD=6,AC=BC=8。 (1)请判断对角线 AC 与 BD 的位置关系,说明理由。

E

B

C

7. 如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8,求 AB 的长.

D

C

解答题 1. 已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, ① 若 AD=5,BC=11,梯形的高是 4,求梯形的周长。 ② 若 AD=3,BC=7,BD=5 2 ,求证:AC⊥BD。

A

B

8. 如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC, (1)若 E 是 AB 的中点,且 AD+BC=CD,则 DE 与 CE 有何位置 关系?(2)E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点,则 DE 与 CE 有何位置关系?

A
【模拟试题】 1. 若等腰梯形的锐角是 60°,它的两底分别为 11cm,35cm,则它的腰长为__________cm. 2. 如图所示,已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为 ( ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
A D

D

E

B

C

B

C

4. 如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,对角线 AC 与 BD 互相垂直,且 AD=30,BC=70, 则 BD=________.梯形的高为________
A D

B

C

6. 如图所示,已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC 于 E,求 DE 的长.

【课后演练】 1(本小题满分 5 分) 已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,∠ BAD、∠ CDA 的平分线 AE、DF 分别交直线 BC 于点 E、F. 求证: CE=BF.

A

D

B

E

C

2 . 如 图 , 在 梯 形

ABCD 中 , AD ∥ BC , BD ? CD,?BDC ? 90° ,AD ? 3,BC ? 8 .求 AB 的长.

3.如图 6,在梯形 求 BE 的长.

ABCD 中, AD ∥ BC , ?A ? 90? , ?C ? 45? ,DE=EC,AB=4,AD=2,
A D E

4.如图,在平面直角坐标系中,A( 2

,B( 2 3 ,2).把矩形 3 ,0)

B

C

OABC 逆时针旋转 30 ? 得到矩形 OA1 B1C 1 . (1)求 B1 点的坐标; (2)求过点(2,0)且平分矩形 OA1 B1C 1 面积的直线 l 方程; (3)设(2)中直线 l 交

y 轴于点

P,直接写出 ?PC1O 与 ?PB1 A 1 的面积和的值及 ?POA 1与

5. 如图,矩形纸片 ABCD 中,BC=4,AB=3,点 P 是 BC 边上的动点(点

A E B C'

D

P 不与点 B、 C 重合). 现将△PCD 沿 PD 翻折, 得到△PC’D; 作∠BPC’
的角平分线,交 AB 于点 E.设 BP= x,BE= y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是

?PB1C1 的面积差的值.

P

C

S

S 3

S 2

S

y

y

3 1 O 1 A. 3 1 x O 1 B. 3

1 xO C. 3 xO 1 D. 3

O

4

x

O

4

x

9.如图,在四边形

ABCD 中,AC 平分∠BAD,

BC ? CD ? 10 , AB ? 21 , AD ? 9 .
6. 已知: 如图, 梯形 ABCD 中, DC∥AB, AD=BC, 对角线 AC、 BD 交于点 O, ∠COD=60°, 若 CD=3, AB=8,求梯形 ABCD 的高. 求 AC 的长.

D

C

O
10 如图,直线 l1 :

y ? x ? 1 与直线 l2 : y ? mx ? n 相交于点

y
O P O

l1

A

B

P(1 , b) .
(1)求 b 的值; (2)不解关于 x, (3)直线 l3 :

7.已知如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动,则 当 PA+PD 取最小值时,△APD 中边 AP 上的高为 .

y 的方程组

请你直接写出它的解;

10 题

l2

x
O

y ? nx ? m 是否也经过点 P ?请说明理由.

12 题图 D A C 11.已知:关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 (m 为实数) P 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; B

8 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,动点 P 从点 B 出发, 沿路线 B

? C ? D 作匀速运动,那么△ABP 的面积 S 与点 P 运动

的路程 x 之间的函数图象大致是

12.已知:如图,直线

y ? ? 3x ? 2 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B , D 是 y 轴上的一点,

若将△ DAB 沿直线 DA 折叠,点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处,求直线 CD 的解析式.

y B
16.已知:将函数

y ? 3 x 的图象向上平移 2 个单位,得到一个新的函数的图像. 3

(1)求这个新的函数的解析式;

O D

A

C

x

(2)若平移前后的这两个函数图象分别与 y 轴交于 O 、

A 两点,与直线
y

x ? ? 3 交于 C 、 B 两点.试判断以 A 、 B 、 C 、 O 四点为顶点的
四边形形状,并说明理由;

14.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,BD⊥DC, ∠C=60°,AD=4,BC=6,求 AB 的长.

O

A

D

B

C
17 如图,在梯形 点A

AB CD 中, AB ∥ DC , DB平分?ADC ,过

?BDC ? 30 °, AD ? 3 求 CD 的长.

15.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,∠BAC=105°,AD=CD=4. 求 BC 的长.

A

D

B

C


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