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上教版高二数学教案——7.7数列的极限4


无穷等比数列各项的和(1)
教学目标: 1.掌握无穷等比数列各项和的定义,会求无穷等比数列各项的和; 2.会利用无穷等比数列各项和的方法与公式,初步解决一些简单的问题; 3.经历由无穷等比数列前 n 项和求各项和的过程,进一步体会用有限刻划无限的极限思想。 教学重点:无穷等比数列各项和的定义及求和的方法。 教学难点:理解无穷等比数列各项和的概念。 教学过程: 一、复习引

入:

q ?1 ? na1 , ? n 问题 1:等比数列的前 n 项和公式是 S n ? ? a1 (1 ? q ) ? 1? q , q ? 1 ?
问题 2: 《庄周?天下篇》的一句话: “一尺之棰,日取其半,万世不竭”

: , , , ?, 若记第 n 天取得的木棒长为 an ,可得数列 ?a n ?
请你猜想:取得的所有木棒长的和是多少?

1 2

1 4

1 8

1 , ? 2n

1 1 1 1 ? ? ??? n ?? ?1 2 4 8 2 1 1 1 1 探究: ? ? ? ? ? n ? ? ? 1 ,为什么? 2 4 8 2
(生)猜想:

1 1 1 ? ? ? 2 4 8

?

1 ? 2n

?1 1 1 ? lim ? ? ? ? n ?? 2 4 8 ?

1? 1? 1? n ? ? 1 ? 1 2 2 ? ? n ? ? lim ? ? lim(1 ? n ) ? 1 n ?? n ?? 1 2 ? 2 1? 2



?1? 现:我们可以把无穷等比数列 项的和 看作是其前 n 项和 S n当n ? ? 时的极限; ......? n ? 所有 .. ... ?2 ?
二、新课讲授: 问题一般化,对于任意一个无穷等比数列前 n 项和的极限是否一定存在?若存在,极限是什么?

q ?1 ? na1 , ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) ,当 q ? 1 或 q ? 1 时, n ?? 时, Sn 极限不存在。 ? 1? q , q ? 1 ?
当 0 ? q ? 1 时, lim Sn ? lim
n??

a1 (1 ? q n ) a a a ? 1 (1 ? lim q n ) ? 1 (1 ? 0) ? 1 n ?? n ?? 1? q 1? q 1? q 1? q
a1 1? q

发现:当且仅当公比 q 满足: 0 ? q ? 1 时,无穷等比数列 ?an ? 前 n 项和的极限存在且为

定义: 我们把公比 0 ? q ? 1 的无穷等比数列前 n 项和 S n当n ? ? 时的极限叫做无穷等比数列各项 ........
1

的和 ,并用符号 S 表示,即 S ? lim S n ? .. n ?? 注:1)要注意 q 的范围。

a1 , (0 ? q ? 1) 1? q

2)无穷等比数列各项和与 Sn 、与有穷数列各项和的区别。 3)解题时直接利用公式 S ?

a1 (0 ? q ? 1) 来求解。 1? q

三、例题: 例 1:求无穷等比数列 0.3, 0.03, 0.003,? 各项的和。 解:数列是一个以 0.3 为首项,0.1 为公比的无穷等比数列,所以各项和为

S?

a1 0.3 1 ? ? 1 ? q 1 ? 0.1 3

例 2: (1)将无限循环小数 0. 2 9 化为分数。 (2)将无限循环小数 0.431 化为分数。 解: (1) 0.29 ? 0.29 ? 0.0029 ? 0.000029 ? 无穷等比数列的各项和。 ∴ 0.29 ? ,等式的右边是一个首项为 0.29 ,公比为 0.01 的

0.29 29 ? 1 ? 0.01 99
,等式的右边是 0.4 加上一个首项为 0.031 ,

(2) 0.431 ? 0.4 ? 0.031 ? 0.00031 ? 0.0000031 ? 公比为 0.01 的无穷等比数列的各项和。 ∴ 0.431 ? 0.4 ?

0.031 4 31 427 ? ? ? 1 ? 0.01 10 990 990

练习 1、求下列无穷等比数列各项的和: (1) ,?

8 9

2 1 3 , ,? , ?; 3 2 8

8 8 3 32 解:首项为 ,公比为 , S ? 9 ? 3 9 9 4 1? 4
(2) 1 , ? x, x , ?x ,
2 3

,(0 ? x ? 1)
1 1? x
(3) 1.328
2

解:首项为 1,公比为 ?x , S ? 2、化循环小数为分数: (1) 0.2 7

(2) 0.30 6

0.27 3 ? 1 ? 0.01 11 0.306 102 ? (2) 0.30 6 ? 0.306 ? 0.000306 ? 0.000000306 ? ? 1 ? 0.001 333 132 0.008 1196 499 ? ? ? (3) 1.328 ? 1.32 ? 0.008 ? 0.0008 ? 0.00008 ? ? 100 1 ? 0.1 900 225
(1) 0.2 7 ? 0.27 ? 0.0027 ? 0.000027 ?

?

思考: (1) 0.1? 0.2? 0.3?

? 0.9 ? ?

(2) 0.4? 0.0 4? 0.00 4? 例 3: (1)计算 lim( ?
n ??

2 ) 3 32 n 1 1 1 1 解: (1)当 n ?? 时,极限符号内是无穷等比数列 , , , n , 的各项和,它的首项为 公比为 3 9 3 3 1 1 1 1 1 1 ,所以 lim( ? ? ? n ) ? 3 ? n ?? 1 2 3 3 9 3 1? 3 1 1 1 2 2 2 (2)当 n ?? 时,极限符号内是两个无穷等比数列 , 3 , , 2 n ?1 , 和 2 , 4 , , 2 n , 的各项 3 3 3 3 3 3 1 1 2 1 和之差,它们的首项公比分别为 , 和 , ,所以 3 9 9 9 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 lim( ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ) ? 3 ? 9 ? ? ? n ?? 3 1 1 8 8 8 3 3 3 3 3 1? 1? 9 9 ?
2 n ?1

1 1 1 ? ? n) 3 9 3 1 2 1 2 (2)计算 lim( ? 2 ? 3 ? 4 ? n ?? 3 3 3 3

1

?

例 4:已知无穷等比数列 ?an ? 的各项和是 4,求首项 a1 的取值范围。 解:设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,据题

a a1 ? 4 ,得 q ? 1 ? 1 4 1? q

a ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?0 ? a1 ? 8 a ? 4 ?? 又 0 ? q ? 1 ,即 0 ? 1 ? 1 ? 1 ,即 ? 4 ?a1 ? 4 ?1 ? a1 ? 0 ? ? 4
所以 a1 ? (0, 4) 注: 公式 S ? 范围) 。
3

(4,8)

a1 (0 ? q ? 1) 中涉及到三个量, 所以已知其中任意两个量, 可求得第三个量的值 (或 1? q

四、小结: 本节课学习了无穷等比数列各项和的定义,各项和的内涵实际上是一个极限。同时利用该定义来解 决了无穷等比数列求各项和,化循环小数为分数等一些问题。在运用过程中要特别注意公比的范围。 五、课后反思:

4


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