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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数 1-3三角函数的诱导公式课件 新人教A版必修4


第一章

三角函数

§1.3

三角函数的诱导公式

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学 习 目 标 1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导 三角函数的诱导公式. 2.能够运

用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值 问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.

课 前 热 身 1.诱导公式一~四 (1)公式一 角 α 与角 α+2kπ(k∈Z)终边________. sin(α+k·2π)=________, cos(α+k·2π)=________, tan(α+k·2π)=________.

(2)公式二 终边与角 α 的终边关于________对称的角可以表示为 π+ α. sin(π+α)=________, cos(π+α)=________, tan(π+α)=________.

(3)公式三 终边与角 α 的终边关于________对称的角可以表示为-α. sin(-α)=________, cos(-α)=________, tan(-α)=________.

(4)公式四 终边与角 α 的终边关于________对称的角可以表示为 π- α. sin(π-α)=________, cos(π-α)=________, tan(π-α)=________.

2.对于诱导公式一~四的概括 α+k·2π(k∈Z), -α, π±α 的三角函数值, 等于 α 的________ 函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.

3.诱导公式五、六
?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?=________,cos?2-α?=________. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=________,cos?2+α?=________. ? ? ? ?

4.对于诱导公式五和公式六的概括 π ± α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的________函数值, 2 前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.

1.(1)相同 自 (2)原点

sinα(k∈Z)

cosα(k∈Z) tanα(k∈Z) -sinα

-sinα -cosα tanα (3)x 轴 (4)y 轴

我 cosα -tanα 校 2.同名

sinα -cosα -tanα

对 3.cosα sinα cosα -sinα 4.余弦(正弦)

思考探究 1 吗?

在正切函数的诱导公式中,α 可以是任意角

提示 不是.α 的取值必须使公式中角的正切值有意义.

思考探究 2 的关系?

由诱导公式五、 六, 可否得出

?π ? tan?2+α?与 ? ?

tanα

提示

因为

?π ? sin?2+α? ?π ? cosα 1 ? ? tan ?2+α? = ?π = = =- ? sin α -sinα ? ? -cosα cos?2+α? ? ?

?π ? 1 1 ? ? +α =- tanα,所以 tan?2 tanα, ?



?π ? tan?2+α?与 ? ?

tanα 互为负倒数.

名 师 点 拨 1.诱导公式的应用 (1) 应用诱导公式,重点是三角函数名称与正负号的判 断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为 锐角三角函数的求值问题.

(2)诱导公式起着变名、变号、变角等作用,在与三角有关 的问题中经常使用.若在具体问题中出现形如 kπ±α 的形式时, 需要对 k 的奇、偶性进行分类讨论,从而确定三角函数值的符 号.

2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤

3.六组公式记忆 π 实际上所有的诱导公式可以概括为:k·± α(k∈Z)的各三角 2 函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数 时,得 α 的异名三角函数值,然后在前面加上一个把 α 看成锐 角时原函数值的符号. 为了便于记忆, 还可编成一句口诀: “奇 变偶不变,符号看象限.”

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



利用诱导公式求值
求三角函数式 sin( - 1200° )· cos1290° + cos( -

【例 1 】

1020° )· sin(-1050° )+tan945° 的值. 【分析】 求三角函数值一般先将负角化为正角,再化为

0° ~360° 的角,最后化为锐角.

【解】

由题意知:

原 式 = - sin(3×360°+ 120° )· cos(3×360°+ 210° )- cos(2×360° +300° )· sin(2×360° +330° )+tan(2×360° +225° ) = - sin(180° - 60° )· cos(180° + 30° ) - cos(360° - 60° )· sin(360° -30° )+tan(180° +45° ) =sin60° · cos30° +cos60° · sin30° +tan45° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2+1 =2.

误区警示

注意观察角,将角化成2kπ+α,π±α,2π-α等

形式后再用诱导公式求解.

变式训练1

求值:

? π? 4π 2π ? ? - (1)sin 3 +sin +2cos ; 3 3 ? ?

(2)sin420° cos750° +sin(-330° )cos(-660° ).

解 (1)原式
? ? π? π? π =-sin +sin?π+3?+2cos?π-3? 3 ? ? ? ?

π π π =-sin -sin -2cos 3 3 3 3 3 1 =- - -2× 2 2 2 =- 3-1.

(2)原式=sin(360° +60° )cos(720° +30° )+sin(-360° + 30° )cos(-720° +60° ) =sin60° cos30° +sin30° cos60° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2=1.

1 【例2】 已知cos(π+α)=-2,求sin(2π-α)的值. 【分析】 先求出cosα的值,再根据其符号确定α所在的

象限,然后求解.

【解】

1 1 ∵cos(π+α)=-cosα=-2,∴cosα=2.

∴α是第一或第四象限角. 3 若α是第一象限角,则sinα= 1-cos α= 2 ,
2

3 ∴sin(2π-α)=-sinα=- 2 . 3 若α是第四象限角,则sinα=- , 2 3 ∴sin(2π-α)=-sinα= 2 .

规律技巧

已知一个角的某种三角函数值,求这个角的其

他三角函数值,若给定具体数值,但未指定角 α 的取值范围, 则需要分类讨论.

变式训练2

1 已知sin(π+α)=-3,求cos(5π+α)的值.

1 解 ∵sin(π+α)=-sinα=-3, 1 ∴sinα=3. ∴α 是第一或第二象限角. 当 α 是第一象限角时, cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα=- 1-sin2α 2 2 =- 3 .

当 α 是第二象限角时, 2 2 cos(5π+α)=-cosα= 1-sin α= . 3
2



利用诱导公式化简

【例 3】 α)cos(2π-α);

11 π (1)化简: cos(-α- 2 π)cos(2 +α)-tan(3π-

(2)设 k 为整数,化简: sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] . sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α? 【分析】 (1)主要应用诱导公式化为最简形式. (2)对 k 进行分类讨论.

【解】

?11π ? (1)原式=cos? 2 +α?· (-sinα)-tan(-α)· cosα ? ?

?3π ? =-cos? 2 +α?sinα+tanα· cosα ? ?

=-sin2α+sinα.

(2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则 sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] 原式= sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α? sin?-α?cos?π+α? = sin?π+α?cosα sinαcosα = -sinαcosα =-1; 当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),同理可得原式=-1.

规律技巧

?1?化简三角函数式的结果要求所含三角函数

名称最少,次数最低,含有特殊角要写出函数值. ?2?对含有kπ±α形式的角,要对k为奇数,为偶数分类讨论.

变式训练3

化简:

sin?540° +α?· cos?-α? (1) ; tan?α-180° ? cos?90° -α? (2) · sin(180° -α)· cos(360° -α). sin?270° +α?

sin?360° +180° +α?· cosα sin?180° +α?· cosα 解 (1)原式= = tanα -tan?180° -α? -sinα· cosα = =-cos2α. sinα cosα sinα (2)原式= · sinα· cosα=-sin2α. -cosα



恒等式的证明问题

【例4】

证明:

? ? 3π? ?3π sin?α+ 2 ?sin? 2 -α?· tan2?-α?· tan?π-α? ? ? ? ? =tanα. ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α? ? ? ? ?

【分析】

利用相应诱导公式,化简等式左边,转化成同

角三角函数来解决.

【证明】

左边=

-cosα· ?-cosα?tan2α· ?-tanα? sinα· ?-sinα?



tan2αtanα tan2α =tanα=右边. ∴原式成立.

规律技巧

解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公

式,将各三角函数值化成同角的三角函数值,从一边向另一边 推导,或证明两边都等于同一个式子.

变式训练4

证明:

?π ? ?π ? sin?2-α?cos?2+α? ? ? ? ?

cos?π+α?



?π ? sin?2π-α?cos?2-α? ? ?

sin?π-α?

=2sinα.

cosα?-sinα? sin?-α?sinα 证明 左边= - =sinα-(-sinα) sinα -cosα =2sinα=右边. 所以原式成立.

易错探究 【例5】
?4n+1 ? 4n-1 ? ? 化简sin? π+α?-cos( 4 π+α),n∈Z. 4 ? ?

【错解】

? ?π ?? ? ?π ?? 原式=sin?nπ+?4+α??-cos?nπ-?4-α?? ? ? ?? ? ? ??

?π ? ?π ? =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? ? ? π ?π ?? ?π ? ? =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ? ?? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-sin?4+α?=0. ? ? ? ?

【错因分析】 错因在于处理 nπ±α 上,没有对 n 的奇、偶 性讨论,而是把 n 看作是偶数,利用诱导公式求解.

【正解】

? ?π ?? ? ?π ?? 原式=sin?nπ+?4+α??-cos?nπ-?4-α??. ? ? ?? ? ? ??

①当 n 为奇数时,设 n=2k+1(k∈Z),则
? ?π ?? 原式=sin??2k+1?π+?4+α??- ? ? ?? ? ?π ?? cos??2k+1?π-?4-α?? ? ? ?? ? ?π ?? ? ?π ?? =sin?π+?4+α??-cos?π-?4-α?? ? ? ?? ? ? ??

?π ? ?π ? =-sin?4+α?+cos?4-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =-sin?4+α?+sin?4+α?=0. ? ? ? ?

②当 n 为偶数时,设 n=2k(k∈Z),则
? ?π ?? ? ?π ?? 原式=sin?2kπ+?4+α??-cos?2kπ-?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-sin?4+α?=0. ? ? ? ?

达 标 测 试 1.sin585° 的值为( 2 A.- 2 3 C.- 2 ) 2 B. 2 3 D. 2

解析 sin585° =sin(360° +225° )=sin225° 2 =sin(180° +45° )=-sin45° =- . 2

答案

A

2.tan690° 的值为( 3 A.- 3 C. 3 3 B. 3

)

D.- 3

3 解析 tan690° =tan(720° -30° )=-tan30° =- 3 .

答案

A

1 3.已知 cos(75° +α)=3,则 sin(15° -α)的值是( 1 A.-3 2 2 C. 3
解析

)

1 B.3 2 2 D.- 3

1 sin(15° -α)=cos(75° +α)= . 3

答案

B

4.记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( A. C. 1-k2 k k 1-k2 1-k2 B. - k k D. - 1-k2

)

解析 ∵cos(-80° )=cos80° =k,
2 1 - k ∴sin80° = 1-k2,tan80° = . k

1-k2 ∴tan100° =-tan80° =- k .

答案

B

5.已知 α 为第二象限角,化简 1+2sin?5π-α?cos?α-π? =________. ? ?3π ? 3π? sin?α- 2 ?- 1-sin2? 2 +α? ? ? ? ?

1+2sinα· ?-cosα? |sinα-cosα| 解析 原式= ? ?3π ?? =cosα-|sinα| cosα-?cos? 2 +α?? ? ? ?? ∵α 为第二象限的角, ∴sinα>0,cosα<0. sinα-cosα ∴原式= =-1. cosα-sinα

答案

-1


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