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2015-2016学年高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1


2.4.2 抛物线的简单几何性质

课程目标 1.掌握抛物线的图形和简单几何性质. 2.能运用性质解决与抛物线有关的问题. 3.掌握直线与抛物线的综合问题.

学习脉络

1.抛物线的简单几何性质
标准 方程 图形 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 x轴 F 2 ,0 原点(0,0) p x=2 p

/>
y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

x轴 F - 2 ,0 x=
p 2 p

y轴 F 0, 2 y=p 2 p

y轴 F 0,- 2 y=
p 2 p

e=1

思考 1 试分析 p 是如何影响抛物线开口大小的? 提示:因为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦的长度是 2p,所以 p 越大,开口越大.

2.直线与抛物线的位置关系 设直线 l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立 整理成关于 x 的方程 k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若 k≠0,当 Δ>0 时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当 Δ=0 时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线相离,没有交点. (2)若 k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴 或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必 要不充分条件.

思考 2 过焦点的直线与抛物线相交于点 A,B,怎样求弦长
|AB|? 提示:设 A(x1,y1),B(x2,y2), (1)直线利用弦长公式|AB|= 1 + 2 |x1-x2|. (2)利用定义转化为两点到准线的距离和,如抛物线为 y2=2px 时,|AB|=x1+x2+p.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究一抛物线的定义与性质的应用
用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要解答步骤为: (1)定位置:根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向. (2)设方程:根据焦点和开口方向设出标准方程. (3)寻关系:根据条件列出关于 p 的方程. (4)得方程:解方程,将 p 代入所设方程即为所求. 【典型例题
2 1】 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9 2 + 16=1

短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为 5,求抛物线的方程. 思路分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

解:解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴, 故设抛物线的方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). ∵ 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, ∴ =5.∴ p=10. 2 ∴ 所求抛物线的方程为 y2=20x 或 y2=-20x. 解法二:由已知条件可知 抛物线的对称轴为 x 轴. 故可设抛物线的方程为 y2=mx(m≠0). ∵ 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, ∴ =5.∴ m=± 20. ∴ 所求抛物线的方程为 y2=20x 或 y2=-20x.
4

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究二抛物线的焦点弦
1.抛物线的焦半径 (1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段. (2)抛物线的焦半径公式:
抛物线 y2=2px(p>0) 抛物线 y2=-2px(p>0) 抛物线 x2=2py(p>0) 抛物线 x2=-2py(p>0) |PF|= x0 + 2 = 2+x0 |PF|= x0 - 2 = 2-x0 |PF|= y0 + 2 = 2+y0 |PF|= y0 p 2 p p p p p p

= -y0
2

p

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

2.过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则:
y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) |AB|=x1+x2+p |AB|=p-(x1+x2) |AB|=y1+y2+p |AB|=p-(y1+y2)

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

【典型例题 2】已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相 交于 A,B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60° ,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 思路分析:(1)由倾斜角可知斜率,从而得到 l 的方程,与抛物线方程联立, 结合抛物线定义可求得|AB|的值;(2)由|AB|=9 求得弦 AB 中点的横坐标即可 求得 M 到准线的距离.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

解:(1)因为直线 l 的倾斜角为 60° , 所以其斜率 k=tan 60° = 3. 又F 联立
3 ,0 2

,所以直线 l 的方程为 y= 3 - 2 . 2 = 6x,
3 9

3

= 3 - 2 ,

消去 y 得 x2-5x+4=0.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=5, 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p, 所以|AB|=5+3=8. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3. 又准线方程是 x=-2,
3

所以点 M 到准线的距离为 3+2 = 2.

3

9

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究三定点、定值问题
1.一般地,求证某式的值为定值时,可转化为求该式的值,在求解过程中 参数一般可以通过约分化去,或可以整体抵消;有时也可以从特殊情形入手 求出定值,然后给出证明. 2.定点问题可有两种处理方式,一是直接推理,引入参数,在变形过程中 消去参数(部分),得到曲线方程,由方程特点判断曲线过定点;二是先考察特 殊情况,再给出严密的推理证明. 【典型例题 3】设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相 交于 A,B 两点,求证: ·是一个定值.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

解:∵ l 与抛物线有两个交点, ∴ l 过焦点且不与 x 轴重合. 设直线 l 的方程为 x=ky+1, 设直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2), = + 1, 2 由 消去 x 整理得 y -4ky-4=0, 2 = 4x, ∴ y1+y2=4k,y1y2=-4. ∵ ·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2) +1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, ∴ ·是一个定值.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

【典型例题 4】已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点,点 A,B 都在抛物线上,且∠AOB=90° ,证明:直线 AB 必过一定点. 证明:设 OA 所在直线的方程为 y=kx,则直线 OB 的方程为 y=-x,
2, = , = 0, 由 2 解得 或 2 = 0 = 2x, = ,

1

=

2

即 A 点的坐标为 同样由 = - x, 2 = 2x,
1

2 2 2,

,

解得 B 点的坐标为(2k2,-2k).
2 +2k 2 y+2k= 2 ( x2 k ), 2 2 -2

故 AB 所在直线的方程为

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

化简并整理,得

1 -k

y=x-2.

不论实数 k 取任何不等于 0 的实数, 当 x=2 时,恒有 y=0. 故直线过定点 P(2,0).

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

探究四最值问题
1.具有定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题处理. 2.一般方法是由条件建立目标函数,然后利用求函数最值的方法求解 或利用基本不等式求解.

【典型例题 5】如图所示,已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y2=4x 于 A,B 两 点,试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大,并求出这 个最大面积.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

= 2-4, 2 = 4x, 解得 A(4,4),B(1,-2),则|AB|=3 5. 设 P(x0,y0)为抛物线 AOB 这条曲线上一点,d 为点 P 到直线 AB 的距离, 则有 解:由 d= =
|20 -0 -4| 5

=

1 |(y0-1)2-9|. 2 5

1 2 0 -0 -4 5 2

∵ -2<y0<4,∴ (y0-1)2-9<0. ∴ d=
1 [9-(y0-1)2]. 2 5

探究一

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探究三

探究四

探究五

从而当 y0=1 时,dmax= Smax=2 ×
1 9 ×3 2 5

5=

因此,当 P 点坐标为

9 , 2 5 27 . 4 1 ,1 4

时,△PAB 的面积取得最大值 .

27 4

探究一

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探究五

探究五易错辨析
易错点:①忽视直线斜率不存在的情况;②忽视对消元后的方程是否为 二次方程的讨论. 【典型例题 6】求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 有且只有一个公共点 的直线方程. 错解:设过点 P(0,1)的直线方程为 y=kx+1, = + 1, 由 2 = 2x, 消去 y,化简整理得,k2x2+(2k-2)x+1=0, 由 Δ=(2k-2)2-4k2=0,得 k=2. 故所求直线方程为 y=2x+1.
1 1

探究一

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探究三

探究四

探究五

错因分析:遗漏两点,一是漏掉直线斜率不存在的情况,二是联立方程得 到关系式后未对二次项系数 k2 进行讨论,漏掉 k=0 的情况. 正解:(1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0,由 = 0, = 0, 得 即直线 x=0 与抛物线有且只有一个公共点(0,0). = 0, 2 = 2x, = + 1, (2)若直线斜率存在,则设过点 P 的直线方程为 y=kx+1,由 2 = 2x, 消去 y,化简整理, 得 k2x2+(2k-2)x+1=0, = 2 , 当 k=0 时,解得 = 1, 即直线 y=1 与抛物线有且只有一个公共点;
1

探究一

探究二

探究三

探究四

探究五

当 k≠0 时,由 Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得 k= ,即直线 y= x+1 与抛物线有且 只有一个公共点.

1 2

1 2

综上所述,所求直线方程为 x=0 或 y=1 或 y= x+1.

1 2

1

2

3

4

5

1.抛物线 y=8x2 上一点 A(x0,2)到其对称轴的距离为(
A.4

1

)

B.2 C. 2 D.1 1 2 解析:抛物线的对称轴为 y 轴,把 A(x0,2)代入 y=8x2,得0 =16, 即|x0|=4,故 A 到 y 轴的距离为 4. 答案:A

1

2

3

4

5

2.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若 x1+x2=3p,则|PQ|的值为( )
A.4p

B.5p

C.6p

D.8p

解析:∵ 焦点弦|PQ|=x1+x2+p,∴ |PQ|=3p+p=4p. 答案:A

1

2

3

4

5

3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 l:4x+3y-8=0 的距离的最小值为(
A.3
2 2 20 3 -3 + 3

B.

8 5

C.
2

7 5

D.

解析:设抛物线上的点为(x,-x ),则该点到直线 l
5

|4-32 -8| 的距离 d= 5

4 3

) =

≥ .

4 3

答案:D

1

2

3

4

5

4.在抛物线 y2=8x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 . 解析:由抛物线的定义得所求点到顶点和焦点的距离相等,设焦点为 F,且 F 为(2,0),则所求点在 OF 的垂直平分线上,故所求点的横坐标为 1,代入 y2=8x 得 y2=8,y=± 2 2,故所求点的坐标为(1,± 2 2). 答案:(1,± 2 2)

1

2

3

4

5

5.直线 y=x-2 被抛物线 y2=4x 截得的弦 AB 的长为 解析:将 y=x-2 代入 y2=4x,得 x2-8x+4=0, 所以|AB|= (1 + 12 )[(1 + 2 )2 -41 2 ] = 2(64-16)=4 6. 答案:4 6

.


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