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江苏省徐州市新沂市瓦窑中学2014-2015学年高二下学期第三次月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省徐州市新沂市瓦窑中学高二 (下)第三次月考数学试卷

一、填空题 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∩B=__________. 2.命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是__________. 3.复数 的共轭复数为__________.

4.用反证法证明时,对结论“自然数

a,b,c 至少有 1 个为偶数”的正确假设为__________. 5.“m<1”是“函数 f (x)=x ﹣x+ m 存在零点”的__________条件. (填“充要”,“充分不必 要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要条件”) 6.函数 f(x)= 的定义域为__________.
2

7.将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵,根据三角形数阵排列规律,数阵中第 n (n≥3)行的从左至右的第 3 个数是__________.

8.函数 y=

(x ﹣4x+3)的单调减区间为__________.

2

9.下列函数:①

;②f(x)=

;③f(x)

=

;④f(x)=

.其中奇函数是__________. (填序号)

10.若曲线 y=e

﹣x

上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标为__________.

11.设 a 为非零实数,偶函数 f(x)=x +a|x﹣m|+1(x∈R)在区间(2,3)上存在唯一零点, 则实数 a 的取值范围是__________.

2

12.已知函数 f(x)=

在 R 上是单调增函数,求实数 a 的范围

__________. 13.已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x﹣2)=﹣f(x) ,且当 x∈[﹣1,0]时 f(x)=2 ,则 f(2 015)=__________. 14.若函数 f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是__________.
x x

二、解答题 15. (14 分)已知 z∈C,z+2i 和 都是实数.

(1)求复数 z; 2 (2)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围. 16. (14 分)已知函数 f(x)=log2 .

(1)求函数 f(x)的定义域 A; (2)设集合 B={x|(x﹣a) (x﹣a﹣2)<0},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 17. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 f(x)满足对任意的 x 都有 f(﹣1﹣x)=f(﹣1+x) ,且 f(0)=1,f(x)min=0.求 f(x)的解析式; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 18. (16 分) 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 (如图) , 由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两 条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造间价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试 设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
2

19. (16 分)已知函数

,常数 a>0.

(1)设 m?n>0,证明:函数 f(x)在[m,n]上单调递增; (2)设 0<m<n 且 f(x)的定义域和值域都是[m,n],求常数 a 的取值范围. 20. (16 分)设函数 f(x)=(ax +x﹣1)e ,a∈R.
2 x

(1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)若 a<0,求 f(x)的单调区间. (3)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 g(x)= 求实数 m 的取值范围. +m 的图象有 3 个不同的交点,

2014-2015 学年江苏省徐州市新沂市瓦窑中学高二(下) 第三次月考数学试卷
一、填空题 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∩B={2}. 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A={1,2,3},B={2,4,5}, ∴A∩B={1,2,3}∩{2,4,5}={2}. 故答案为:{2}. 点评:本题考查交集及其运算,是基础的会考题型. 2.命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是?x∈R,sinx>1. 考点:命题的否定. 专题:综合题. 分析:直接把语句进行否定即可,注意否定时?对应?,≤对应>. 解答: 解:根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是:?x∈R,sinx>1. 故答案为:?x∈R,sinx>1. 点评:本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应. 3.复数 的共轭复数为 1﹣i.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质求得所给的复数即 1+i,从 而求得它的共轭复数. 解答: 解:∵复数 = = =1+i,

故它的共轭复数为 1﹣i, 故答案为:1﹣i. 点评: 本题主要考查复数的基本概念, 两个复数代数形式的乘法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. 4.用反证法证明时,对结论“自然数 a,b,c 至少有 1 个为偶数”的正确假设为 a,b,c 都 是奇数. 考点:数学归纳法. 专题:推理和证明. 分析:用反证法法证明数学命题时,假设命题的反面成立,写出要证的命题的否定形式,即 为所求. 解答: 解:用反证法法证明数学命题时,应先假设要证的命题的反面成立,即要证的命题 的否定成立, 而命题:“自然数 a,b,c 中至少有一个是偶数”的否定为:“a,b,c 都是奇数”, 故答案为:a,b,c 都是奇数. 点评:本题主要考查用反证法法证明数学命题,求一个命题的否定,注意否定词语的应用, 属于基础题.
2

5.“m<1”是“函数 f (x)=x ﹣x+ m 存在零点”的充分不必要条件. (填“充要”,“充分不必 要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要条件”) 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:先求出函数 f (x)=x ﹣x+ m 存在零点的充要条件,得到 m 的范围,从而判断出 结论. 解答: 解:若函数 f (x)=x ﹣x+ m 存在零点, ?方程 x ﹣x+ m=0 有解, ?△ =1﹣m≥0,解得:m≤1, ∴m<1 是 m≤1 的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要. 点评:本题考查了充分必要条件,考查二次函数的性质,是一道基础题.
2 2 2

6.函数 f(x)=

的定义域为[1,+∞) .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由根式内部的代数式大于等于 0,且分式的分母不等于 0 求解 x 的取值集合得答案.

解答: 解:由 ∴函数 f(x)=

,解得:x≥1 且 x≠﹣4. 的定义域为[1,+∞) .

故答案为:[1,+∞) . 点评:本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 7.将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵,根据三角形数阵排列规律,数阵中第 n (n≥3)行的从左至右的第 3 个数是 .

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:先找到数的分布规律,求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数,再求第 n 行 从左向右的第 3 个数即可. 解答: 解:由排列的规律可得,第 n﹣1 行结束的时候排了 1+2+3+…+n﹣1= n(n﹣1)个 数. 所以第 n 行从左向右的第 3 个数 n(n﹣1)+3=

故答案为:



点评:此题主要考查了数字的变化规律,借助于一个三角形数阵考查数列的应用,是道基础 题. 8.函数 y= (x ﹣4x+3)的单调减区间为(3,+∞) .
2

考点:复合函数的单调性;对数函数的单调区间. 专题:函数的性质及应用. 分析:求出函数的定义域,结合复合函数的单调性的关系进行求解即可. 2 解答: 解:由 x ﹣4x+3>0 得 x>3 或 x<1, 2 设 t=x ﹣4x+3, 则 y═ t 为减函数,

要求函数 y=
2

(x ﹣4x+3)的单调减区间,

2

即求函数 t=x ﹣4x+3 的递增区间, 2 ∵t=x ﹣4x+3 的递增区间为(3,+∞) , 2 ∴函数 y= (x ﹣4x+3)的单调减区间为(3,+∞) , 故答案为: (3,+∞) 点评:本题主要考查函数单调区间的求解,利用复合函数单调性的关系,结合对数函数和一 元二次函数的单调性是解决本题的关键. 9.下列函数:① ;②f(x)= ;③f(x)

=

;④f(x)=

.其中奇函数是①②③④. (填序号)

考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义进行判断. 解答: 解:①由 得 ,即 x =1,
2

则 x=1 或 x=﹣1,即函数的定义域为{1,﹣1}, 则此时 f(x)=0,既是奇函数也是偶函数. ②f (﹣x) +f (x) =ln(﹣x+
2 2

)+ln (﹣x+

) =lln (﹣x+

) (﹣x+



=ln(x +1﹣x )=ln1=0, 即 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数 f(x)为奇函数. ③f(x)= ④由 =﹣ =﹣f(x) ,则函数 f(x)为奇函数.

>0 得﹣1<x<1,即函数的定义域为(﹣1,1) , +lg =lg( ? )=lg1=0,

则 f(﹣x)+f(x)=lg

即 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数 f(x)为奇函数. 故答案为:①②③④ 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.注意要 先判断定义域是否关于原点对称. 10.若曲线 y=e
﹣x

上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标为(﹣ln2,2) .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用.

分析:先设 P(x,y) ,对函数求导,由在在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,求出 x, 最后求出 y. 解答: 解:设 P(x,y) ,则 y=e , ﹣x ∵y′=﹣e ,在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行, ﹣x 令﹣e =﹣2,解得 x=﹣ln2, ﹣x ∴y=e =2,故 P(﹣ln2,2) . 故答案为: (﹣ln2,2) . 点评:本题考查了导数的几何意义,即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切点在 曲线上和切线上的应用. 11.设 a 为非零实数,偶函数 f(x)=x +a|x﹣m|+1(x∈R)在区间(2,3)上存在唯一零点, 则实数 a 的取值范围是 .
2
﹣x

考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题. 分析:根据函数是一个偶函数,利用偶函数的定义,写出关系式得到 m 的值是 0,根据在区 间(2,3)上存在唯一零点,得到 f(2)×f(3)<0 且在(2,3)上为单调函数,求出结 果. 2 解答: 解:∵f(x)=x +a|x﹣m|+1 是偶函数, 2 f(﹣x)=﹣(x) +a|﹣x﹣m|+1, 2 f(x)=x +a|x﹣m|+1, 若 f(x)=f(﹣x) , 则|x+m|=|x﹣m| 2xm=﹣2xm ∴m=0 f(x)=x +a|x|+1, 2 x∈(2,3) ,f(x)=x +ax+1,若其在区间(2,3)上存在唯一零点 f(2)×f(3)<0 且在(2,3)上为单调函数 ∴(5+2a) (10+3a)<0 ∴ 故答案为: ( )
2

点评: 本题考查函数的零点的判定定理, 本题解题的关键是先写出符合偶函数的定义的式子, 整理出式子中的字母系数的值.

12. 已知函数 f (x) =

在 R 上是单调增函数, 求实数 a 的范围[4, 8) .

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用.

分析:若函数 f(x)=

在 R 上是单调增函数,则

,解

得答案.

解答: 解:∵函数 f(x)=

在 R 上是单调增函数,





解得:a∈[4,8) , 故答案为:[4,8) 点评: 若分段函数为增函数, 则在各段上均增, 且在分界点处左段函数值不大于右段函数值. 13.已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x﹣2)=﹣f(x) ,且当 x∈[﹣1,0]时 f(x)=2 ,则 f(2 015)= .
x

考点:全称命题. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先根据题意,求出 f(x)是周期等于 4 的周期函数;然后把求 f 的值转化成求 f(﹣ 1)的值,代入函数的解析式,求解即可. 解答: 解:函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x﹣2)=﹣f(x) , 所以 f(x+2﹣2)=﹣f(x+2)=﹣f(x+4﹣2)=f(x+4) , 即 f(x)=f(x+4) , 故 f(x)是周期等于 4 的周期函数, 可得 f=f(4×503+3)=f(3)=f(4﹣1)=f(﹣1) x ∵x∈[﹣1,0]时 f(x)=2 , ∴f(﹣1)= 故答案为: 点评:本题考查函数的奇偶性、周期性的应用;属于一道基础题. 14.若函数 f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是(e ,+∞) . 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用.
x 2

分析:f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R 等价于 ae ﹣x﹣3>0 的解集是 R,由此能求出 实数 a 的范围. 解答: 解:∵f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R, ∴ae ﹣x﹣3>0 的解集是 R,即 a>
x x

x

x

恒成立.

设 g(x)=

,则 g'(x)=

,当 x<﹣2 时 g'(x)>0,当 x>﹣2 时 g'(x)<0,

故 g(x)在(﹣∞,﹣2)是增函数,在(﹣2,+∞)上是减函数, 2 故当 x=﹣2 时,g(x)取得最大值 g(﹣2)=e , 2 ∴a>e . 2 故答案为: (e ,+∞) . 点评:本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 二、解答题 15. (14 分)已知 z∈C,z+2i 和 都是实数.

(1)求复数 z; 2 (2)若复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围. 考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析: (1)化简等式,利用复数为实数的条件求出 a,b 的值,即得复数 z. (2)化简式子,利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组,解不等式组求得实 数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)设 z=a+bi(a,b∈R) ,则 z+2i=a+(b+2)i, ,

∵z+2i 和

都是实数,∴
2

,解得
2

,∴z=4﹣2i.
2

(2)由(1)知 z=4﹣2i,∴(z+ai) =[4+(a﹣2)i] =16﹣(a﹣2) +8(a﹣2)i, ∵(z+ai) 在复平面上对应的点在第四象限,∴
2





,∴

,∴﹣2<a<2,即实数 a 的取值范围是(﹣2,2) .

点评:本题考查两个复数代数形式的混合运算,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内 对应点之间的关系, 式子的变形是解题的难点.

16. (14 分)已知函数 f(x)=log2



(1)求函数 f(x)的定义域 A; (2)设集合 B={x|(x﹣a) (x﹣a﹣2)<0},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点:对数函数的图像与性质;交集及其运算. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用真数大于 0,可得函数 f(x)的定义域 A; (2)化简集合 B,利用 A∩B=B,B?A,进而 a+2≤﹣1 或 a≥1,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意 ={x|x>1 或 x<﹣1},即 A=(﹣∞,﹣1)∪(1,

+∞)… (2)B={x|(x﹣a) (x﹣a﹣2)<0}=(a,a+2) . 因为 A∩B=B,所以 B?A,进而 a+2≤﹣1 或 a≥1, 故 a≤﹣3 或 a≥1… 点评: 本题考查对数函数, 考察集合的包含关系, 考查学生分析解决问题的能力, 比较基础. 17. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 f(x)满足对任意的 x 都有 f(﹣1﹣x)=f(﹣1+x) ,且 f(0)=1,f(x)min=0.求 f(x)的解析式; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题:转化思想;函数的性质及应用. 分析: (1)利用条件,可知函数的对称轴为 x=﹣1,最小值 1﹣
2 2

=0,代入可解;

(2)求出函数表达式 f(x)=x +bx,问题可转换为 b≤ ﹣x 且 b≥﹣ ﹣x 在(0,1]上恒成 立,再转换为最值问题解出 b 的范围. 解答: 解: (1)∵f(0)=1 ∴c=1, ∵f(﹣1﹣x)=f(﹣1+x) ,f(x)min=0 ∴对称轴为 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,1﹣ =0

∴a=1,b=2 2 ∴f(x)=(x+1) … 2 (2)由题知,f(x)=x +bx, 2 ∴原命题等价于﹣1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立, 即 b≤ ﹣x 且 b≥﹣ ﹣x 在(0,1]上恒成立. 又 x∈(0,1]时, ﹣x 的最小值为 0,﹣ ﹣x 的最大值为﹣2, ∴﹣2≤b≤0.即 b 的取值范围是[﹣2,0]… 点评:考察了二次函数表达式的求法和恒成立问题的转换,属于常规题型,应熟练掌握解题 方法.

18. (16 分) 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 (如图) , 由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两 条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造间价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试 设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

考点:函数的最值及其几何意义. 专题:应用题. 分析:由题意设污水池长为 x 米,则宽为 性质进行求解. 解答: 解:设污水池长为 x 米,则宽为 y=400(2x+ ∴(x+ ≥2 ×2)+248×2× 米,于是总造价为 )+16000 米,表示出总造价 y,然后利用基本不等式的

+80×200=800(x+

=36,当且仅当 x=18 时等号成立但 x?(0,16) )



解得,12.5≤x≤16,而函数 f(x)=x+ ≥16+ =16+ ,

在[12.5,16]上为减函数,

∴f(x)=x+

这时 x=16,∴y≥800(16+

)+16000=45000 元,

即最低造价为 45000 元. 点评:此题是一道实际应用题,考查了函数的最值及其几何意义,解题的关键是利用不等式 的性质进行放缩. 19. (16 分)已知函数 ,常数 a>0.

(1)设 m?n>0,证明:函数 f(x)在[m,n]上单调递增; (2)设 0<m<n 且 f(x)的定义域和值域都是[m,n],求常数 a 的取值范围. 考点:函数单调性的性质;函数的值域. 专题:计算题. 分析: (1)运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤:①取值 x1,x2∈[m,n];②作 差 f(x1)﹣f(x2)变形;③定号;④下结论; (2)逆向运用函数单调性的定义,我们可以得到:f(m)=m,f(n)=n,转化为方程的根 的问题,利用根的判别式,从而求出参数的范围. 解答: 解: (1)任取 x1,x2∈[m,n],且 x1<x2, ,

因为 x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以 x1x2>0,即 f(x1)<f(x2) , 故 f(x)在[m,n]上单调递增. (2)因为 f(x)在[m,n]上单调递增, f(x)的定义域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n, 即 m,n 是方程 根. 所以△ =(2a +a) ﹣4a >0, 点评: 本题主要考查函数单调性的应用. 运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤: (1) 取值; (2)作差变形; (3)定号; (4)下结论.取值时,必须注意定义中的 x1、x2 具有的 三个特征;变形时,一定要分解完全,对于抽象函数问题注意合理的利用条件等. 20. (16 分)设函数 f(x)=(ax +x﹣1)e ,a∈R. (1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)若 a<0,求 f(x)的单调区间. (3)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 g(x)= 求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出导数,求出切线的斜率,切点,运用点斜式方程,即可得到; (2)求导 f′(x)=(ax +x﹣1)e +(2ax+1)e =x(ax+2a+1)e ,讨论 a 的取值范围,从 而确定导数的正负,以确定函数的单调区间; (3)令 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求出导数,求出单调区间,和极值,函数 f(x) ,g(x) 的图象有三个交点,即函数 h(x)有 3 个不同的零点,即有 h(﹣1)<0,且 h(0)>0, 解出即可. 2 x 解答: 解: (1)函数 f(x)=(x +x﹣1)e ,的导数为 x 2 f′(x)=e (x +3x) , 则曲线 f(x)在点(0,f(0) )处的切线斜率为 k=0, 切点为(0,﹣1) , 即有曲线 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=﹣1; x 2 x 2 x (2)f′(x)=(2ax+1)e +(ax +x﹣1)e =[ax +(2a+1)x]e , ①若﹣ <a<0,当 x<0 或 x>﹣ 当 0<x<﹣ 时,f′(x)>0. ,+∞) ; 时,f′(x)<0;
2 x x x 2 x 2 2 2

的两个不等的正根?a x ﹣(2a +a)x+1=0 有两个不等的正

2 2

2

+m 的图象有 3 个不同的交点,

所以 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) , (﹣ 单调递增区间为(0,﹣ ) .

②若 a=﹣ ,f′(x)=﹣ x ?e ≤0, 所以 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞) . ③若 a<﹣ ,当 x<﹣ 当﹣ 或 x>0 时,f′(x)<0;

2

x

<x<0 时,f′(x)>0. ) , (0,+∞) ;

所以 f(x)的单调递减区间为, (﹣∞,﹣ 单调递增区间为(﹣ ,0) .
2

(3)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=(﹣x +x﹣1)e ﹣( x + x +m) 则 h′(x)=(﹣2x+1)e +(﹣x +x﹣1)e ﹣(x +x) x 2 =﹣(e +1) (x +x) 令 h′(x)>0 得﹣1<x<0,令 h′(x)<0 得 x>0 或 x<﹣1. ∴h(x)在 x=﹣1 处取得极小值 h(﹣1)=﹣ ﹣ ﹣m, 在 x=0 处取得极大值 h(0)=﹣1﹣m, ∵函数 f(x) ,g(x)的图象有三个交点, 即函数 h(x)有 3 个不同的零点, ∴ 即 ,
x 2 x 2

x

3

2

解得:﹣ ﹣ <m<﹣1. 则实数 m 的取值范围是(﹣ ﹣ ,﹣1) . 点评:本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,考查构造函数,运用 导数求极值,考虑极值的正负来判断函数的零点,属于中档题.


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