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初等数论与中学数学


初等数论与中学数学
摘 要: 《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课,主 要研究整数的性质, 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易 搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。近年来,数论在中学数学 中的运用越来越多, 特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。本文主要介绍初 等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问

题。 关键词:初等数论 正 文: 一、初等数论在中学数学中的应用 在中学数学中, 整数是最为常用的一种数之一,而初等数论是研究整数最基 本的性质,与算术密切相关的一门学科,初等数论可以说是算术问题的延深。初 等数论中的整除性质, 抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题,由此可见 初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。 (一)中学数学中与初等数论相关的几个问题 1、整除问题 在小学的时候我们就知道, 要知道一个数能不能被令一个数整除,可以用长 除法来判断, 但当被除数位数较多的时候, 计算量增大, 问题就变得非常麻烦了。 但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。 1.1 整除的概念及其性质 定义 1(整除) 设 a、b 是整数,b≠0,如果存在整数 q,使得 a=bq 成立, 中学数学 数学竞赛 中学数学教学

则称 b 整除 a,或 a 能被 b 整除,记作:b∣a。 定理 1 (传递性)b∣a,c∣b =〉c∣a 定理 2 定理 3 定理 4 m∣a,m∣b =〉m∣(a± b) m∣a1, ……, m∣an,q1,q2,……qn∈Z=〉 m∣(a1q1+a1q2+……+anqn) 设 a 与 b 是两个整数,b>0,则存在唯一的两个整数 q 和 r,使得 a=bq+r,0≤r<b 定义 2(带余数除法) (1) (2)

(1)式通常写成 a÷ b=q(余 r)

并称 q 为 a 被 b 除所得的不完全商;r 叫做 a 被 b 除所得的余数; (2)式称为带余数除法。

1.2 下面举几个例子: 例1 证明 3∣n(n+1)(2n+1),这里的 n 是任意整数。

证法一:根据题意,n 可以写成 n=3q+r,这里 r=0,1,2,q 为整数,对取不同 的值进行讨论,得出结论。 证法二:根据整数定义,任何连续三个整数的乘积必是 3 的倍数。 证明三:根据 1^2+2^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) =〉n(n+1)(n+2)=6(1^2+2^2+……+n^2) 得出 即 6∣n(n+1)(n+2) 3∣n(n+1)(2n+1)

证明四:利用数学归纳法进行证明。 例2 设 a、b、c 为正整数,且满足 a+b+c=9,求证 a^3+b^3+c^3≠100。

证明:假设 a^3+b^3+c^3=100, 由已知(a^3+b^3+c^3)×(a+b+c)=91 于是 因为 于是 (a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=91 3∣(a^3-a) ,3∣(b^3-b) ,3∣(c^3-c) 3∣(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c),

但是 3 不能整除 91,假设是错误的, 因此 a^3+b^3+c^3≠100 得证

【注】数论中的整除理论有如下结论:连续 n 个整数中必然存在唯一的一个 数属于模 n 同余于 0 的剩余类(即该集合中包含了所有 n 的倍数) ,则任意连续 n 个整数之积必是 n 的倍数,对于任意整数 a,均有 a^3-a=a(a-1)(a+1),而连续 三个整数中必然有一个数是三的倍数,所有 3∣(a^3-a) 例3 解: 已知 24∣62742ab,求 a、b。 由于 24=3×8,而(3,8)=1,3 和 8 都是特殊数, 故本题往往习惯于利用整除特征加以解决。但是利用整除特征解 答有两个弊端,即解题过程比较繁琐,且若干非特殊数无法解, 可利用整除的因式分解法得出一般的解法。 【注】对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明,并熟记一些特 殊数(如 2,3,5,9 等)的整除规律。

例 4 试证 n^(n-1)—1 能被(n 一 1)^2 整除。 证明:n^(n-1)—1=[(n-1)+1]^(n-1)-1 =[(n-1)^(n-1)+C (1, n-1)(n-1) * ^(n-2)+……+C(n-2,n-1)*(n-1)+1]-1 =(n-1)^(n-1)+(n-1)^(n-1)+……+(n-1)^2 由于上式的每一项都能被(n 一 1)^2 整除, 所以 n^(n-1)-1 能被(n 一 1)^2 整除。 【注】这里利用的是组合数 C(k,n)是整数,我们知道,在二项式(a 十 b)^n 的展开式中其系数是组合数,它是一个整数,利用它的性质,有助于解决整除性 的问题。 例 5 证明:若 n 是大于 i 的正整数,则 f(n)=2^3n-7n-1 则能被 49 整除。 证明:(1)当 n=2 时,f(2)=2^(3*2)-7*2-l=49 能被 49 整除。 (2)假设 n=k 时 f(k)=2^(3k)-7k-1 能被 49 整除。 当 n=k+1 时,要证 f(k+1)=2^3(k+1)-7(k+1)-1 能被 49 整除。 事实上, ,f(k+1)=8*2^3k-8*7k-8-49k =8(2^3k-7k-1)+49k 显然,f(n+1)能被 49 整除。 综上可知,对于大于 l 的任意正整数 n,f(n)都能被 49 整除。 总结:竞赛中关于数论的论证题,基本上都是讨论整数性和整数解,证明方法 通常有:直接法,间接法(反证法) 。 2、公因数与公倍数问题 和整除性一样,两个数的最大公因数也可以通过等号来定义,把它化作等 式问题。 下面用一个例子进行简单说明: 例 1 (2000 年全国高中数学联赛) 在平面上的整点到直线 y=5x/3+4/5 的距 离中最小的是( A. ) B.

34 /170

34 /85

C.1/20

D.1/30

解:首先整理直线方程为整数系数方程 25x-15y+12=0, 设平面上的整点 P(x0,y0)到直线的距离为: d=∣25x0-15y0+12∣/5 34

根据初等数论中的公因式理论,在 x0,y0 为任意整数时, 25x0-15y0 便是了 5 的所有倍数, 于是 d=∣25x0-15y0+12∣/5 34 =∣5k+12∣/5 34

在 5k=10 的时候,距离 d 取得最小值 34 /85,所以 B 答案正确 【注】数论中的相应理论为:设 d 是整数 a、b 的最大公约数,则存在唯一 确定的整数 m、n,使得 d=am+bn 成立,而且 d 的所有倍数可以写成 ax+by 的形 式,其中 x、y 为任意整数。 3、抽屉原理 抽屉原理又称为鸽巢原理, 它是组合数学的一个重要原理,最先由德国数学 家狄利克雷明确的提出来的,因此,也有人把它成为狄利克雷原理。 用一个简单的例子来说明抽屉原理,桌子上有十个苹果要放到九个抽屉里, 无论怎么放, 始终有一个抽屉里至少会出现两个苹果。这就是抽屉原理在日常生 活中最简单的体现,利用抽屉原理我们可以解决很多看似复杂的排列组合问题。 原理 1: 把多于 n+1 个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东 西不少于两件。 原理 2 :把多于 mn(m 乘以 n)个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽 屉里有不少于 m+1 的物体。 原理 3 :把无穷多件物体放入 n 个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个 物体。 原理 5:把(mn-1)个物体放入 n 个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多 有(m—1)个物体。 下面举一个例子: 例 1:从 2、4、6、……、30 这 15 个偶数中,任取 9 个数,证明其中 一定有两个数的和是 34。 分析与解答:题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉。 此抽屉特点:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个 数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数,由抽屉原理(因为抽 屉只有 8 个),必有两个数可以在同一个抽屉中(符合上述特点).由制造 的抽屉的特点,这两个数的和是 34。

例 2:从 1 到 20 这 20 个数中,任取 11 个数,必有两个数,其中一个 数是另一个数的倍数。 分析与解答:根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意 两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这 20 个数按奇数及其倍数分成以 下十组,看成 10 个抽屉(显然,它们具有上述性质) : {1,2,4,8,16}{3,6,12}{5,10,20}{7,14}{9,18}{11} , , , , , , {13} {15} {17} {19} , , , 。 从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数,根据抽屉原理,至少有两个数取 自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个 数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。 4、中学竞赛中的数论问题与初等数论的联系和区别 竞赛中很多数学问题的解法都来源于高等数学。数学 就其方法而言, 大体可以分为分析和代数,即就是连续数学和离散数学。奥赛试题来自数 论,组合分析,近世代数,函数方程等。其中数论只是部分,来源于初等 数论的概念与性质。 但是竞赛数学中的数论问题,又区别于初等数论。初等数论追求的是 一般的理论和方法,竞赛数学的目的却在于解题,是对一种题型的快速解 答,多倾向于运用总结出来的一般的理论和方法的演算性质。前者注重知 识理论,后者注重解题方法。 二、初等数论与中学数学教学 中学数学学习过程中,初等数论的知识和思想方法是常见的。教师在 日常教学中要给予足够的重视。随着新课程改革的逐步深入,初等数论知 识和思想方法,一方面出现在日常教学中,另一方面是以竞赛的形式出现 的,后者更为突出。 对于前者《课标》是这样要求的,该专题是为对数学有兴趣和希望进 一不提高数学素养的学生而设置的,所涉及的内容反映了某些重要的数学 思想方法,有助于学生进一不打好数学基础,提高应用意识,有助于学生 终身的发展,有助于扩展学生的数学视野,有助于提高学生对数学的科学 价值、应用价值、文化价值的认识。

对于后者,初等数论在奥林匹克竞赛中占有愈来愈重要的地位,对提 高中学生的数学素养很有帮助。致力于数学竞赛的教师而言,必须明确数 论的基本结构,它包括整除理论,同余理论和不定方程。整数集对于加法、 减法、乘法运算是封闭的,但对于除法是不封闭的,因而研究整数之间的 除法成了数论中的重要部分。同余是初等数论中的一门语言,同余概念的 出发点:考虑它们除以某个不小于 2 的正整数所得的余数,依据余数的不 同将所有的整数分类。 值得注意的是,在数学竞赛中,教师主要强调数论知识的技巧,而在 日常教学中要注意数论思想方法的教学。 在教学过程中教师们应该注重数论中的重要思想方法,深入浅出,提 高学生分析和解决问题的能力。

参考文献: 初等数论(第二版) 潘承洞 潘承彪 编 北京大学出版社 姜浩瑞 2006 年

初等数论在高中数学解题中的一些应用《中学数学》 第5期

初等数论与中学数学竞赛 《奥林匹克数学竞赛解谜 初中部分》 康纪权 著 1988




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