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2012年高三理科数学第一轮复习立体几何(7)二面角 2


2012 年高三理科数学第一轮复习立体几何(7)二面角 考点一、二面角的定义求法 典例 1 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 棱 SC 上, ?ABM =60° (I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。 变式 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱 ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最 形 , PA ⊥ 平 面 ABCD ,

2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧

大角的正切值为

6 , 求二面 2

角 E—AF—C 的余弦值. 点拨 第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE ⊥平面 APD,使命题获证,而 第 2 题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段 计算出各线段的长度之后, 考 虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和两边 SE 与 SC,进而计算二面角的余弦值。 答案

二面角的余弦值为

15 5

考点二、三垂线法求二面角的大小 典例 2 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别 中点。 (1)证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2)求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 变式 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2 , ?PAB ? 60 .
?

D1 A1

C1 B1

ABCD 为 等 腰 梯 形 , 是棱 AD、 1 、 的 AA AB

E1 E A

D F

C B

(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 点拨 本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发现平面 PAB⊥平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理 中的斜线与射影内容,从而可得本解法。 综合突破 求二面角与空间向量结合考查 典例 3 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,

1 AD 2
1

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;

(II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

2


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