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二次函数及根的分布-


二次函数
教学目标:
1.掌握二次函数的图像及性质 2.能够求出二次函数在某个区间上的最值 3.能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点: 重点:一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点:二次函数跟的分布及二次函数的应用

知识要点:
二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系

的讨论.一般 分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[m,n] 上的最大值与最小值. 分析:将 f ( x ) 配方,得对称轴方程 x ? ? 当 a ? 0时,抛物线开口向上
b ?[m,n] 必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值; 2a b 若 ? ?[m,n] 2a b , 2a

若?

当 a ? 0时,抛物线开口向上,此时函数在 [m,n] 上具有单调性,故在离对称轴 x ? ?

b 较远 2a

端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.当 a ? 0时,如上,作图可得结论,对二次函 数的区间最值结合函数图象总结如下: 当 a ? 0时

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f ( x) max

b 1 ? f (m), ? ? (m ? n)(如图1) ? ? 2a 2 ?? f ( x) min b 1 ? f (n), ? ? (m ? n)(如图2) ? 2a 2 ?

b ? ? ? n(如图3) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图5) ? f (m), 2a ?

当 a ? 0时

f ( x) max

b ? ? ? n(如图6) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图8) ? f (m), 2a ?

f ( x ) min

b 1 ? f (m) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? 2a 2 ?? ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? 2a 2 ?

典型例题
一、求二次函数在闭区间上的值域 (一)正向型
已知二次函数和定义域区间,求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形: (1)轴定,区间定; (2)轴定,区间动; (3)轴动,区 间定; (4)轴动,区间动.

1.轴定区间定

例 1. 已知函数 f (x) ? x

2

? 2tan ? x ?1, x ?[?1, 3],

, 当? ? ? ? 时, 求函数 f(x) 6

的最大值与最小值.
第 2 页共 11 页

解析: ? ? ? ? 时, 6 所以 x ? 33 时, f ( x)
2.轴定区间动
min

f ( x) ? ( x ?

3 2 4 ) ? 3 3

4 ? ? ; x ? ?1 3

时, f ( x)

max

?

2 3 3



例 2.求函数 y ? x ? 4x ? 3 在区间 ?t, t ?1? 上的最小值. 解析:对称轴 x ? 2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, y ? f ?t ? ? t ? 4t ? 3 ; (2)当 t ? 2 ? t ? 1 即1 ? t ? 2 时, y ? f ? 2? ? ?1; (3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, y ? f ?t ?1? ? t ? 2t
2

2

min

min

2

min

3.轴动区间定

例 3.求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值.
) 解析: 函数 y ? ?( x ? a 2
a ? ?1 2
2

?

a2 4

a ?1 ? ? 1, 图象的对称轴方程为 x ? a , 应分 2 2

? 1 即 ? 2 ? a ? 2 , a ? ?2 和 a ? 2 这三种情形讨论,下列三图 ,a 2

分别为 (1) a ? ?2 ;由图可知 f (x)

max

? f (?1)
a ? f( ) 2

(2) ? 2 ? a ? 2 ;由图可知 f ( x) (3) a ? 2 时;由图可知 f (x)

max

max

? f (1)

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? y 最大

? f (?1) , a ? ?2 ? a ? ? ?f( ), ?2? a ? 2 ? 2 ? ? f (1) , a ? 2

;即 y

最大

?? (a ? 1) , a ? ?2 ? 2 ?a ? ? ,?2? a ? 2 ?4 ? ?a ? 1 , a ? 2

4.轴动区间动

例 4.已知 y ? 4a(x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) 解析:将 y ? 4a(x ? a) 代入 u 中,得
2 2

2

? y2

的最小值.

① ② 所以

,即 ,即

时, 时,

(二)逆向型 已知二次函数在某区间上的最值,求函数在区间 中的参数值.
例 5. 已知函数 f (x) ? ax ? 2ax ?1在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4, 求实 数 a 的值. 解析: f (x) ? a(x ?1) ?1? a, x ?[?3, 2] (1)若 a ? 0, f (x) ? 1, ,不合题意. (2)若 a ? 0, 则 f (x) ? f (2) ? 8a ?1 3 由 8a ? 1 ? 4 ,得 a ? 8 ;
2 2 max

(3)若 a ? 0 时,则 f (x) 由1 ? a ? 4 ,得 a ? ?3 . 3 综上知 a ? 8 或 a ? ?3 .

max

? f (?1) ? 1 ? a

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例 6.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? x 在区间 [m, n] 上的值域是 [3m,3n] ,求 m,
2

n 的值. 解析:方法一:讨论对称轴 ①若
f ( x) ,则 ? ? f ( x) ?
max

?n , n 的位置关系. 中 1 与 m, m 2

? f (n) ? 3n ? f (m) ? 3m

min

解得 ? f ( x) ?n ? 1 ? n ,则 ? ②若 m 2 f ( x)
?n ③若 m ? 1 ? m 2 ,则

max

? f (1) ? 3n

④若

,则

? min ? f ( m) ? 3m ? f ( x) max ? f (1) ? 3n ? ? f ( x) min ? f (n) ? 3m ? f ( x)max ? f (m) ? 3n ? ? f ( x)min ? f (n) ? 3m

,无解 ,无解

,无解

综上, m ? ?4, n ? 0 ( x ? 1) 方法二: 由 f ( x) ? ? 1 2 上递增. f ( x) ? f (n) ? 3n 所以 ? ? f ( x) ? f (m) ? 3m
max

2

?

1 2

1 , n ? ,, , ]n (? 1 ] , ?? , , 知 3n ? 1 则 [m f(x)在 [m, n] 2 6

?

min

解得 m ? ?4, n ? 0 评注:方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的 最值,缩小了 m,n 的取值范围,避开了繁难的分类讨论, 解题过程简洁、明了.

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例 7.已知函数 y ? ? sin

2

x ? a sin x ?

a 1 ? 4 2

的最大值为 2 ,求 a 的值 .

解析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 1 a ) ? ( a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 令 t ? sin x , t ?[?1,1] ,∴ y ? ?(t ? a 2 4 2
2 2

? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时,y ①当 ?1 ? a 2 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 ②当 a 2

1 2 (a ? a ? 2) ? 2 4 a 1 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 2 4
max

?

,得 a ? ?2 或 a ? 3(舍去) . 在 [?1,1] 单调递增, 在 [?1,1] 单调递减,

由y 由

max

③当

1 1 ? ?1 ? a ? a ? ? 2 4 2 a a ? ?2 ? ?1 2 1 1 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 4 2

,得 a ? 10 . 3
) 时,函数 y ? ?(t ? a 2
2

,即

1 ? ( a 2 ? a ? 2) 4

,得 a ? ?2 (舍去) .

综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? 10 . 3

二、恒成立问题 此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参 数分离的方法.
2

例 14.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 , (1)当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2 ) 当 x ?[?2, 2] 时,f ( x) ? a 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒成立,即 x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 在 R 上恒成立, 因此 ? ? 0 得: ?6 ? a ? 2 . (2) x ?[?2, 2] , f ( x) ? a 恒成立,即 x ?[?2, 2] , fmin ( x) ? a .
a 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 的对称轴为: x ? ? 2 ,

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a ① ? 2 ? ?2 即 a ? 4 时, fmin ( x) ? f (?2) ? 7 ? 2a ? a 得:a ? 7 故此时 3

无解; ②
? a ?2 2



a ? ?4

时,

f m i( n x) ?

f( 2 ? ) ?7 a 2 ?得 a : a ? ?7



?7 ? a ? ?4 ;



a ?2 ? ? ? 2 2

即 ?4 ? a ? 4 时 ,

a a2 f m i( x ? f ?( ? ? ) ? ? a3 得 n ) 2 4



?6 ? a ? 2 故 ?4 ? a ? 2 ;

综上可知: ?7 ? a ? 2 . 例 15.不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 实数 a 的取值范围. 解析:①a=2 时, ?4 ? 0 ,恒成立; ② a ? 2 时,满足 ? 得: ?2 ? a ? 2 ; ? ??0
? a?2?0

综上可知: ?2 ? a ? 2 . 2 例 16.当 x ? (1, 2) ,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 ,求实数 m 的范 围. 解析:方法一:令 f ( x) ? x2 ? mx ? 4 f ( x) 开口向上故 f(x)在 [1, 2] 上的最大值为 f (1) 或 f (2) ,故
? f (1) ? 0 ? 得: m ? ?5 . f (2) ? 0 ?

方法二:参数分离法
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x ? (1, 2) 时, x 2 ? mx ? 4 ? 0 等价于 m ? ?( x ? ) ( x ? (1, 2) ) ,

4 x

4 ?5 ? ?( x ? ) ? ?4 , )2 x, ? 1( ( x

), 的所有实数 p,求使不等式

故 m ? ?5 . 例 16 . 对 满 足

p ?2

x2 ? px ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围.
解析:由题意知,不等 ( x ?1) p ? x2 ? 2x ?1 ? 0 对 p ? [?2, 2] 恒成 立, 令 f ( p) ? ( x ?1) p ? x2 ? 2x ? 1 , (看作是 p 的函数) 由 ? f (2) ? 0 得: x ? ?1 或 x ? 3 .
?
三、根的分布 例 8.(1)方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1 ,求实数 a 的范围.
2

? f (?2) ? 0

(2)方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根一者大于 1 ,一者小于 1 求实数 a 的范围.
2

(3)方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根一者在 (0,1) 内,一者在(6,8)内,求实数 a 的范围.
2

解析:令 f ( x) ? x ? 2ax ? 4
2

?? ? 0 ?a ? (1)由 ? ? 1 或 ?2 ? ? f (1) ? 0
(2)由 f (1) ? 0 或 ?

?? ? 0 5 ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0 得: 2 ? a ? ; 2 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 1 2

?? ? 0 5 得: a ? ; 2 ?( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0

? f (0) ? 0 ? f (1) ? 0 10 17 ? ?a? . (3)由 ? 得: 3 4 ? f (6) ? 0 ? ? f (8) ? 0
第 8 页共 11 页

例 9.关于 x 的方程 9x ? (a ? 4) ? 3x ? 4 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围.
x 解析:令 3 ? t ( t ? 0 ) ,

原方程有实根等价于方程 t 2 ? (a ? 4)t ? 4 ? 0 有正根. 令 f (t ) ? t 2 ? (a ? 4)t ? 4 ,则 f (t ) 恒过 (0, 4) 点.

?? ? 0 ? 方法一: ? a ? 4 得: a ? ?8 ? ? 0 ? ? 2
方法二:要使方程 t 2 ? (a ? 4)t ? 4 ? 0 有正根,则方程 t 2 ? (a ? 4)t ? 4 ? 0 的较大根大于 0 即可;

?? ? 0 ? 故由 ? ?( a ? 4) ? ( a ? 4) 2 ? 16 得: a ? ?8 ?0 ? ? 2
例 10.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,求实数 a 的取值范围.
2

解析:令 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 , f ( x ) 恒过 (0,1) 点 方法一: ① a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?

1 ? 0 成立. 2

?? ? 0 ? a ? 0 ② 时, ? 1 得: 0 ? a ? 1 ; ? ? 0 ? ? a
③ a ? 0 时,恒成立; 综上可知: a ? 1 . 方法二: ① a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?

1 ? 0 成立. 2

2 2 ② a ? 0 时 , 要 使 方 程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至 少 有 一 个 负 根 等 价 于 方 程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的 较 小 根 小 于 0 即 可 . 故

? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ? 或 ?? ? 0 得a ?1; ?? ? 0 ? ? ? ?2 ? 4 ? 4a ? 0 ? ?2 ? 4 ? 4a ? 0 ? ? 2a 2a ? ? 综上可知: a ? 1 .
例 11.已知函数 f ( x) ? x ? (2a ?1) x ? a ? 2 与非负轴至少有一个交点,求实数 a 的取值范围.
2 2

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解析:方法一: ①方程 f ( x) ? 0 有一个实根是 0 ,则 f (0) ? 0 得: a ? ? 2 ;

?? ? 0 ? 2a ? 1 9 ? ②方程 f ( x) ? 0 有两个正根,则 ? ? 0 得: 2 ? a ? ; 4 ? 2 ? ? f (0) ? 0
③方程 f ( x) ? 0 有一个正根一个负根,则 f (0) ? 0 得: ? 2 ? a ? 综上可知: ? 2 ? a ? 方法二: 考虑命题的对立面:方程 f ( x) ? 0 没有实根或两个负根; ①方程 f ( x) ? 0 没有实根,则 ? ? 0 得: a ?

2;

9 . 4

9 ; 4

?? ? 0 ? 2a ? 1 9 ? ②方程 f ( x) ? 0 有两个负根,则 ? ? 0 得 a ? ? 2 ;故 a ? ? 2 或 a ? . 4 ? 2 ? ? f (0) ? 0
2 2 因此函数 f ( x) ? x ? (2a ?1) x ? a ? 2 与非负轴至少有一个交点实数 a 的取值范围是: ? 2 ? a ?

9 . 4

例 12.关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 只有较小的根在 (?1,1) 内,求实数 m 的取值范围.
2

解析:① f (1) ? 0 时, m ? 2 ,此时方程为 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,两根 x1 ? x2 ? 1,不成立;
2

②由 ?

? f (?1) ? 0 得m ? 2 ; ? f (1) ? 0
2

综上可知: m ? 2 . 例 13. 关于 x 的方程 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在区间 [0, 2] 上有实根,求实数 m 的取值范围. 解析:令 f ( x) ? x ? (m ?1) x ? 1 ,
2

①端点: f (0) ? 1 ? 0 ; f (2) ? 0 得: m ? ? ②在开区间 (0, 2) 上

3 ; 2

(i)在 (0, 2) 上仅有一个实根,则 f (0) ? f (2) ? 0 得: m ? ?

3 ; 2

第 10 页共 11 页

?? ? 0 ? (ii)在 (0, 2) 上有两个相等的实根,则 ? 得: m ? ?1 ; 1? m 0? ?2 ? ? 2

?? ? 0 ? 1? m ? ?2 3 ?0 ? (iii)在 (0, 2) 上有两个不等的实根,则 ? 得: ? ? m ? 1 ; 2 2 ? f (0) ? 0 ? ? ? f (2) ? 0
综上可知: m ? ?1 .

第 11 页共 11 页


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